|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ISBN: 3464413012 ISBN: 3464413012 ISBN: 3464413012 ISBN: 3464413012 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Wir empfehlen: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Komplexe Zahlen1. Einführung (Definition) komplexer Zahlen 1.1. Erste Einführung komplexer Zahlen Die komplexen Zahlen haben den Sinn,
Lösungen für quadratische Gleichungen zu finden, die keine reelle Lösung
haben. Z.B.: x²+4x+13=0; Probe für x1 (=- 2 + 3i): (- 2 + 3i)2 + 4 *
(- 2 + 3i) +13 = 0 Nun gilt es noch zu beweisen, dass die in R gültigen Rechenregeln auch in C anwendbar und gültig sind. 1.2. Systematische Einführung komplexer Zahlen Erläuterung zur Zahl i: Potenzen:
i³ =
- i
weil i² * = -i
i5 “Zahlen“ der Art a + b*i mit a, bÎR heißen „komplexe Zahlen“. Die reelle Zahl a heißt Realteil der komplexen Zahl z = a + bi (a=Rez). Die reelle Zahl b heißt Imaginärteil der komplexen Zahl z = a + bi (b=Imz). Realteil Imaginärteil z = a + b * i (a,b ÎR) Für b=0 Þ a + 0 *i = a Î R Daher ergibt sich nun: Die Menge C aller komplexen Zahlen umfasst die Menge R aller reellen Zahlen: R Ì C. Diese „Teilmengenbeziehung“ ist nun in der GAUSS’schen Zahlenenbene darstellbar[CB1] : Aus dieser Darstellung ist nun zu erkennen, dass jeder reellen Zahl a genau ein Punkt der reellen Achse entspricht, und daher auch jeder imaginären Zahl b*i genau ein Punkt der imaginären Achse entspricht. Das Problem der komplexen Zahlen ist hier jedoch, dass die Zahlen in der GAUSS’schen Zahlenebene nicht angeordnet werden können. à daher ist keine Ordnung „£“ in C definiert werden kann, was bedeutet, dass keinerlei Monotonie – Gesetze auf C anwendbar sind. Es ist jedoch mit der Zahlenmenge C genauso wie mit der Zahlenmenge R möglich Rechenregeln und Rechenoperationen auf C anzuwenden, bzw. für a +bi so zu definieren, dass die Ergebnisse „stimmen“. 1.3. Grundrechenoperationen mit komplexen Zahlen a)
Addition b)
Subtraktion c)
Multiplikation d)
Division Dazu gehörige Aufgaben: 6a) z1 = 1,7
- 08 i w1 = (1,7 - 0,8i) + (2p + 1,3i)= 11a) z1 = 10 + 10i (10 + 10i) / (5 - 5i) = 2. Quadratische Gleichungen G = C ! D > 0 Wenn die Wurzel eine reelle Zahl ¹0 ist, hat die Gleichung 2 Lösungen: Bsp: D = i >
0 D = 0 Wenn die Wurzel 0 ist, hat die Gleichung genau 1 Lösung:
D =
0 D < 0 Wenn die Wurzel ist eine imaginäre Zahl ¹0 ist, hat die Gleichung 2 komplexe Lösungen: Bsp: D =
- 1 < 0
1) X² + px + q = (x - x1) * (x - x2) Þ jedes quadratische Polynom ist als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben. 2) x1 * x2 = q 3) x1 + x2 = -p Definition:
Bsp.:
konjugierte Zahl zu : Satz von den
konjugierten Lösungen für quadratische Gleichungen: Dazu gehörige Aufgaben: 39a) [(1) / (1 - x)] - [(1) / (1 + x)] = [(x² + 3) / (1 - x²)] 43b) (x) / (x + 5) + (x
- 4) / (x - 3) = (x² - 8x - 78) / ( x² + 2x + - 15) 49a) z1 = 7 - 9i
(7 - 9i) * (7 + 9i) = 3. Algebraische Gleichungen höheren Grades 3.1. Algebraische Gleichungen Definition:
anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x +
a0 = 0 an
¹ 0 Da
an ¹ 0 kann man jede algebraische Gleichung durch an
dividieren, und dadurch in „ihre“ zugehöreige normierte Gleichung
„überführen“, wobei das Ergebnis dabei nicht ändert. Für Gleichungen dritten und vierten Grades gibt es (wie auch für quadratische Gleichungen) Lösungsformeln (n = 3; n = 4), wobei hier nur die Rechenoperationen +, -, *, und n - teÖ auftreten. Wenn n ³ 5 gibt es keine. Heutzutage sind nun die Näherungsformeln bekannt, aufgrund derer die exakten Lösungsformeln nicht mehr so gebraucht werden. 3.2. Anzahl und Art von Lösungen – Abspalten von Lösungen Fundamentalsatz der
Algebra: Wenn
x1, eine Nullstelle von p(x) ist, wobei p(x) ein Polynom vom
Grad n ist, so kann p(x) ohne Rest durch (x - x1) dividieren. Þp(x) = (x - x1) * p1(x), wobei p1(x) ein Polynom vom
Grad n - 1 ist. (x - x1) heißt der zu x1 gehörige Wurzelfaktor (auch
Linearfaktor). Allgemeiner
Beweis: Durch das
Abspalten (des Linearfaktors) der Nullstelle x1 vom Polynom
p(x) erhöht man ein Polynom p1(x) vom Grad n - 1. Außerdem ist jede Nullstelle von p1(x) auch
Nullstelle von p(x). Wurzelsatz von VIETA für normierte
algebraische Gleichungen: Auch bei Polynomen beliebigen Grades gilt: · Wenn das Polynom p(x) nur reelle Koeffizienten besitzt, so ist mit jeder komplexen Nullstelle z auch die konjugiert – komplexe Zahl z(Strich drüber) Nullstelle dieses Polynoms. Sie besitzt dieselbe Vielfachheit wie z. · Die xi müssen nicht paarweise verschieden sein; wenn eine Nullstelle xi in dieser Zerlegung genau k – mal auftritt, heißt k die Vielfachheit der Nullstelle xi: Beispiel: x1 = 3 ist eine dreifache Nullstelle des Polynoms p(x) = x³ - 9x² + 27x - 27 = (x - 3)³. Dadurch folgt die Präzisierung des Fundamentalsatzes der Algebra: Wenn man jede Nullstelle mit ihrer Vielfachheit zählt, so hat ein Polynom n – ten Grades genau n Nullstellen. 3.3. Abspalten echt – komplexer Lösungen Kennt man von einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten eine echt – komplexe Lösung, so kann man diese auf zwei Arten abspalten: 1. Mit x1 = a + bi ist auch x1(mit Strich) = a - bi = x2 Lösung der Gleichung, so dass man (x - x1) * (x - x2) = x² - 2ax + (a² + b²) „auf einmal“ abspalten kann. 2. „Komplexe“ Polynomdivision p(x) : (x - (a + bi)
3.4. Finden von Lösungen Der Wurzelsatz von
VIETA ist nur ein Teil der Satzgruppe des selbigen, in dem allgemeine
Beziehungen zwischen den Lösungen xi der
Gleichung und den Koeffizienten ai eben dieser
Gleichung hergestellt werden Definition: Lösen von Gleichungen durch
Substitution Dazu gehörige Beispiele: 54d) x³ - bx² + 21x - 20 = 0, 57h) x³ - 2x² + 5x = 0 58d) x4
- 5x³ + 7x² - x - 2 = 0
(x4 - 5x³ + 7x² - x - 2) : (x - 1) = x³ - 4x² + 3x + 2 60f) x8
- 97 x4 + 1296 =
0 63h) 15x³ - 49x² + 49x - 15 = 0 66d) x4 + 4x²
- 5 4. Polardarstellung der komplexen Zahlen 4.1. <![endif]> Polardarstellung komplexer Zahlen Man spricht nun von der kartesischen Binomialdarstellung a + bi komplexer Zahlen. Da jeder komplexen Zahl z genau ein Punkt P in der GAUSS’schen Zahlenebene entspricht, kann man z durch das Zahlenpaar (aœb) der kartesischen Koordinaten von P darstellen: Z = a + bi entspr. P (aœb) = P(Re(z)œIm(z)). Ebenfalls ist es
möglich z durch den Pfeil OP festzulegen. Definition: r * (cos j + i * sin j) heißt Polardarstellung der komplexen Zahl
z. Umrechnungsformeln zwischen kartesischer
Binomialform und Polardarstellung: 4.2. Multiplizieren und Dividieren komplexer Zahlen in Polardarstellung: Der Vorteil der Polardarstellung
komplexer Zahlen besteht darin, dass Punktrechnungen (und auch
Rechenoperationen 3. Stufe) in dieser Darstellung sehr einfach ausgeführt
werden können. Dazu gehörige Aufgaben: 79h) 6 + 8i 80h)
Ö7
(cos 95° + i * sin 95°) 90h)
œ-9
+ biœ
= œ(-9
+ bi) +12œ 94a) z1 = (3,6
œ
75°); z2 = (1,2 œ
30°) 5. Rückblick und Ausblick 5.1. Die komplexen Zahlen als Zahlenbereichserweiterung Durch die Erfindung einer neuen Zahl i, i² = - 1, wird der Bereich der reellen Zahlen erweitert. Diese Zahl kann durch ihren Wert nicht reell sein, wodurch neue Zahlen a + bi (a, b Î R), die komplexen Zahlen. Dadurch enthält die Menge der komplexen Zahlen die Menge der reellen Zahlen als Spezialfälle. In diesem neuen Zahlenbereich lassen sich nun Probleme lösen, die mit den reellen Zahlen nicht lösbar waren. (z.B. Wurzeln aus negativen Zahlen, und man kann jede algebraische Gleichung p(x) = 0 lösen. ) Daraus ergibt sich die Frage ob man nun von C aus, noch in einen größeren Zahlenbereich erweitern kann. MAN KANN! Allerdings existiert kein größerer Zahlenbereich nach C, indem alle Rechenregeln wie in R oder C gelten würden. Insofert stellt C den logischen Abschluss dar. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Diese Seite ist Bestandteil des Projekts StudyPaper.com. Dieser Artikel wurde uns freundlicherweise von Constantin Benes zur Verfügung gestellt. Zurück zur Themenseite: StudyPaper.com/Startseite/Wissenschaft/Naturwissenschaften/Mathematik Das Setzen von Verweisen (Links) auf diese Seite ist gestattet und bedarf keine vorherige Absprache. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
english | Bookmark setzen | Webseite weiterempfehlen | Copyright © | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||