Zeitverschiebungsregel bei einer periodischen Zeitfunktion

[Daniel (Gast)]

Hallo Fourieranalysten :)

ich habe heute versucht, die Zeitverschiebungsregel auf
eine T-periodische Funktion anzuwenden.

x(t) = x(t-T)
 |      |
X(f) = exp(-j*2*pi*f*T)*X(f)

da sich die Funktion bei einer T-Verschibung immernoch
dieselbe ist, muss exp(-j*2*pi*f*T) = 1 werden/sein

=> 2*pi*f*T = 2*pi*n

=> f*T = n

T kann beliebig gewählt werden und f läuft über alle Frequenzen
und der Produkt muss ganzzahlig sein.
Das ist nur auf den ersten Blick ein Widerspruch.
Denn später habe ich mich erinnert, dass das Spektrum X(f)
nur an den diskreten Frequenzen Beiträge hat, also
aus Dirakimpulsen aufgebaut ist. Für das Produkt aus
exp(-j*2*pi*f*T) und X(f) ist es somit unwichtig,
nur fur die Frequenzen an denen Dirakimpuls steht, muss
die obige Bedingung f*T = ganzzahlig gelten.

Ist diese "Herleitung" sauber?

Grüsse, Daniel

[FL (Gast)]

Hallo,

wieso meinst Du, dass

    exp(-j*2*pi*f*T) = 1

gilt? X(f) ist im allgemeinen komplex-wertiges, und lediglich |X(f)| 
muss gleich bleiben.

Der Therm

    exp(-j*2*pi*f*T)

beschreibt dann die Zeitverschiebung.

Gruß
FL

[AVRFan (Gast)]

>da sich die Funktion bei einer T-Verschibung immernoch
>dieselbe ist, muss exp(-j*2*pi*f*T) = 1 werden/sein

Wegen T = 1/f ist exp(-j*2*pi*f*T) = exp(-j*2*pi) = 1

Du darfst die Originalfunktion x(t) sogar um n T mit beliebigem 
ganzzahligem n verschieben; auch das lässt sowohl diese als auch ihre 
Fouriertransformierte X(f) unverändert:

exp(-j*2*pi*n*f*T) = exp(-j*2*pi*n) = 1

[FL (Gast)]

Ja, wenn T die Abtastperiode ist, hast Du recht.
Das war in Daniels Beitrag aber nicht angegeben, ich habe T als 
beliebige Zeitkonstante augefasst. Es war ja noch nicht einmal davon die 
Rede, dass wir hier von einem zeitdiskreten System reden...


Gruß
FL

[AVRFan (Gast)]

>Ja, wenn T die Abtastperiode ist, hast Du recht.
>Das war in Daniels Beitrag aber nicht angegeben,

Abtastperiode?  Ich habe recht, wenn T schlicht die Periode des Signals 
ist, und als solche hat Daniel es auch spezifiziert (erstes Posting, 
dritte Zeile: " [...] T-periodische Funktion [...]")

>ich habe T als beliebige Zeitkonstante augefasst.

Periodische Funktionen bleiben nur unter Verschiebungen um ganzzahlige 
Vielfache ihrer Periode erhalten.  Aus der Verschiebung um was 
Beliebiges resultiert i. a. eine andere Funktion.

[FL (Gast)]

Du schreibst aber: T=1/f, dass ist "überlichweise" ein abgetastetes 
System (natürlich geht es auch zeitkontinuierlich).

Nur war eben dieses T=1/f dem Original-Post nicht so ohne weiteres zu 
entnehmen. Dass Daniel erst nach einigen Berechnungen auf die Gleichung 
f*T=n kommt, läßt ja eher anderes vermuten ;-)

Wenn f=1/T ist, muß man ja diese Berechnungen nicht vornehmen.

Dann ist
    exp(-j*2*pi*f*T) = exp(-j*2*pi)

und damit ist der Term 1.

Gruß
Frank

[Daniel (Gast)]

Hallo,

>wieso meinst Du, dass
>   exp(-j*2*pi*f*T) = 1
>gilt?

weil wenn die Funktion T-periodisch ist, dann ist
x(t) und ihre verschobene x(t-T) bzw x(t-nT) absolut identisch.
Also müssen auch ihre Spektren identisch sein.

Wenn jetzt aber das Spektrum von x(t) nur Beiträge an den
Vielfachen von 1/T hat, was dann auf f=n/T hinausläuft,
dann wird diese Forderung "exp(-j*2*pi*f*T) = 1"
automatisch erfüllt. Mathematisch ergibt sich halt
der Ausdruck
exp(-j*2*pi*f*T)*X(f)
als Produkt von zwei Funktion von f => a(f)*b(f)
Wobei b(f) = X(f) ist.

a(f) für sich alleine ist eben nicht für alle f gleich 1.
Aber an den entscheidenden Stellen wo b ungleich 0 ist, wird sie 1.
Somit gilt dann a(f)*b(f)=b(f)

Ich hoffe, ich hab's verständlich ausgedruckt.

Grüsse, Daniel