Filtereigenschaften einer z-Transformierten

[Alex (Gast)]

Hallo,

ich hätte ein mathematische Frage.

Ich habe einenen digitalen rückgekoppelten Filter.

$$y(z)=x(z)*z^{-1}+x(z)*2 -y(z)*z^{-2}$$

Daraus ergibt sich ja folgende Übetragungsfunktion

$$g(z)=\frac{z^{-1}+2}{z^{-2}+1}=\frac{2\cdot z^{2}+z}{z^{2}+1}$$

Wie kann ich da nun auf die Filtercharakteristik(Hochpass, Tiefpass, 
Bandsperre, Bandpass) schließen?

In der s-Ebene ist das ja klar, da kann ich mir die Pol/Nullstellen 
anschauen und u.a. auch s->0 und s gegen undendlich laufen lassen und 
schauen um welchen Filter es sich handelt.
Kann ich in der z-Ebene etwas ähnliches machen?

Vielen Dank schon einmal!

[joep (Gast)]

ersetze z mit e^(j*Omega), dann hast du den Frequenzgang deines 
korrespondierenden LTI Systems (ist eine Möglichkeit).

[Weinga-Unity (Gast)]

Hallo,

installier dir Scilab (www.scilab.org) und gib folgende Zeilen ein.

z=poly(0,'z');
gz=syslin('d',(2*z^2+z)/(z^2+1));
bode(gz);

Sieht nach was bandpassigen aus (mit sehr, sehr viel Verstärkung im 
Durchlassbereich).
Ich hoffe, ich hab keinen Fehler gemacht. Ist ja doch schon realtiv 
spät.

mfg Weinga-Unity

[Alex (Gast)]

Hallo,

vielen Dank für die Antworten!

Also bin dann doch eher für die Variante 1, weil ich das in der Klausur 
können muss.

Habe das Programm mal ausprobiert und des sieht nach einem Bandpass aus,
was aber dem Beitrag von joep widersprechen würde.

Ich kann ja mal beide Limes bilden

$$\lim\limits_{s \rightarrow 0}{\frac{2*e^{2st}+e^{st}}{e^{2st}+1}}=3/2$$

$$\lim\limits_{s \rightarrow \infty}{\frac{2*e^{2st}+e^{st}}{e^{2st}+1}}=\lim\limits_{s \rightarrow \infty}{\frac{2+e^{-st}}{1+e^{-2st}}}=2$$

Die Charakteristik weißt doch hier auf einen Hochpass hin oder?

[joep (Gast)]

Du musst z mit i*Omega ersetzen, also etwas komplexen, nicht einfach mit 
s*t.
Außerdem reicht es wenn du dann Omega von 0 bis pi berechnest da die 
Funktion ja periodisch ist (und achsensymmetrisch).
Außerdem würde ich, wenn du schon vermutest dass es sich um einen 
Bandpass handelt, noch einen Wert für Omega zwischen 0 und pi berechnen 
(pi/2 würde sich anbieten).

[joep (Gast)]

Meine natürlich oben z mit e^(i*Omega) ersetzen.

[Alex (Gast)]

s ist ja auch komplex

$$s=j*\omega$$

Also habe ich mit Ausnahme von t eigentlich das eingesetzt, was Du auch 
vorgeschlagen hast.
Ändern tut sich an meiner Rechnung ohne t oben nichts.

Außerdem vermute ich eher, dass das auf einen Hochpass hinweißt.
So sollte wohl damals auch die Antwort in der Klausur lauten...
Gab nur noch Bandsperre, Tiefpass, Hochpass als Auswahl.

Aber vielleicht sollte ich das mit den Grenzen nochmal ausprobieren.

[joep (Gast)]

Also ganz allgemein ist

$$s=\alpha + j * \omega$$

und wenn du das in die Gleichung einsetzt hast du die 
Laplace-Transformierte und nicht den Frequenzgang (das nur am Rande). 
Wenn du anstatt s mal j*w einsetzt, dann ist deine Grenzwertbildung für 
w gegen undenlich auch nicht das gleiche wie s gegen undendlich.

Ich würde nicht vermuten, dass es sich um einen Hochpass handelt, denn 
abgesehen davon, dass Weinga-Unity ja bereits eine Bandpass-Vermutung 
nach seinem Plot aufgestellt hat ergibt die Bildung des Betrags ab der 
Stelle w=pi einen Wert von 0.5, der ja eindeutig kleiner ist als 3/2, 
also wenn könnte man vermutten dass es ein Tiefpass ist. Wenn du dir 
jetzt noch eine Stelle zwischen 0 und pi anschaust (pi/2 wäre bestimmt 
ganz nett), wirst du feststellen, dass Weinga-Unity mit seiner Vermutung 
Recht hat.

[T. H. (pumpkin)]

joep wrote:
> Wenn du anstatt s mal j*w einsetzt, dann ist deine Grenzwertbildung für
> w gegen undenlich auch nicht das gleiche wie s gegen undendlich.

Zumal

$$e^{j \cdot \omega} = cos( \omega ) + j \cdot sin( \omega )$$

mit

$$\omega \rightarrow \infty$$

unbestimmt ist. Um das Frequenzverhalten zu bestimmen setzt du für dein 
normiertes Omega 0 oder 0.5 ein. Das normierte Omega läuft für 
gewöhnlich von 0 bis 1 ("0 bis Abtastfrequenz").

[joep (Gast)]

> Das normierte Omega läuft für
> gewöhnlich von 0 bis 1 ("0 bis Abtastfrequenz").
Das Omega sollte hier aber sinnvollerweise von 0 bis pi laufen, da die 
Funktion ja in 2 pi periodisch ist und achsen-symmetrisch.
Wenn du über ein normiertes Omega von 0 bis 1 gehen möchtest musst du

$$j2\pi\omega$$

einsetzen.