sigma Fourier transformieren

[Daniel (Gast)]

Ich habe folgende Korrespondenz

$$\sigma(t)= \begin{cases} 1 & \text{wenn } x > 0 \\ 0 & \text{wenn } x < 0 \end{cases}$$

daraus wird

$$\frac {1}{2} \delta(t) + \frac{1}{j2\pi f}$$

Wie kommt man denn dadrauf?
Wenn ich direkt in die Formel sigma reinsetzte, dann
kann ich die untere Integralgrenze auf 0 setzen und
sigma durch 1 ersetzen. Dann lässt sich e-Funktion
sehr einfach integrieren .. nur t=+inf kann man dann
doch nicht einsetzen!?

das wäre doch so ähnlich wie cos(t), t->inf

[Rafael (Gast)]

Ich weiß jetzt nicht, wie das d(t)/2 dahin kommt, aber im Grunde ist es 
kein Problem mit dem t=inf, denn lim e^(-jwt) für t->inf = 0.
Dagegen lim e^(-jwt) für t->0 = 1. Damit hast du ein Integral von 0 bis 
inf für e^-jwt dt = 1/-jw * [e^-jwt] von 0 bis inf = (-1/jw)*(0-1) = 
1/jw mit w=2PIf

Hm frag mich nur gerade auch wo der Deltaimpuls herkommt. Das kommt 
davon, wenn man nur nach Rechentabellen geht -.-

[joep (Gast)]

>>denn lim e^(-jwt) für t->inf = 0
das stimmt nicht, der Exponent ist imaginär!

Am einfachsten ist die Herleitung über die Zusammensetzung der 
Signumfunktion und einer Konstanten:

$$\sigma(t)=\frac{1}{2}*sign(t)+\frac{1}{2}$$

Die Fouriertransfomrierte der Signumfunktion ist

$$\frac{1}{j2\pi f}$$

und die von 1/2

$$\frac{1}{2}*\delta(t)$$

zusammengesetzt kommt dann deine Korrespondenz heraus.

[Daniel (Gast)]

@Rafael

Wenn man x'(t) Laplace transformiert, macht man das ja
mit der partiellen Integration. Der erste Summand ist ja
x(t)*exp(-st) in Grenzen von 0 bis +inf.
*Nur unter der Annahme, dass Re{s}>0 ist*, kommt das
bekannte -x(0) heraus. Also zusammen s*X(s)-x(0).
Daher diese Beschränkung auf Rechte s-Halbebene.

Bei der Fourier gibt es keinen Realteil von dem man
etwas fordern und einschränken könnte ...

@joep
Ich hab verzweifelt nachgedacht woher 0.5d(t) kommt
und hab keine Minute daran gedacht, dass manche
sigma(0) = 1/2 definieren!!!
Daran ist wohl auch das Buch was ich habe schuld.
Da steht nur sigma(x<0)=0 und sigma(x>0)=1
und nix für sigma(0). Aber bei der Transformierten
taucht dann 0.5d(t).
Ok, wäre damit aufgeklärt :)

Danke für die Antworten.

Grüsse

[joep (Gast)]

>Ich hab verzweifelt nachgedacht woher 0.5d(t) kommt
>und hab keine Minute daran gedacht, dass manche
>sigma(0) = 1/2 definieren!!!

Das ist aber auch nicht frei gewählt. Damit die fouriertransformierte 
der Funktion existiert muss die Dirichlet-Bedingung erfüllt sein, daher 
das sigma(0)=1/2.

[Daniel (Gast)]

so wie ich das weiss, könnte man schon eine Unstetigkeit
an der Stelle 0 machen, und zB sigma(0)=1 setzen.
Nur wird die Rücktransformierte dann nicht gleich der
definierten sigma Funktion sein, sondern an der Stelle
0 0.5 sein. Meinst Du das?

grüsse

[joep (Gast)]

Genau das meine ich.
Die Fouriertransformation macht natürlich nur Sinn, wenn nach der 
Rücktransformation wieder die ursprüngliche Funktion heraus kommt, sonst 
ist es ja eben nicht die Fouriertransformierte dieser bestimmten 
Funktion sondern einer anderen Funktion ;)