Analoger Tiefpass

[Urmel (Gast)]

Ein analoger Tiefpass mit der Übertragungsfunktion

$$G(s)=\frac{1}{To \cdot s + 1}$$

soll durch bilineare Transformation in ein digitales Filter überführt 
werden. Die Grenzfrequenz des digitalen Tiefpasses soll fg = 1 kHz sein.
Die Abtastfrequenz ist fs = 5 kHz.
Nun soll man die Übertragungsfunktion G(z) des digitalen Tiefpasses 
erstellen.

Laut Lösungsvorschlag wurde G(s) folgendermaßen umgestellt:

$$G(s)=\frac{1}{To \cdot s + 1}=\frac{1}{\frac{s}{wg} + 1}=\frac{wg}{s + wg}$$

Das müsste doch eigentlich falsch sein oder?

[Jupp (Gast)]

Sehe ich auch so.

[Urmel (Gast)]

So müsste es doch richtig sein:

$$G(s)=\frac{1}{To \cdot s + 1}=\frac{1}{\frac{s}{fg}+1}=\frac{fg}{s+fg}$$

Im Anschluss muss nur noch für das s in G(s) folgende Formel eingesetzt
werden:

$$s=2 \cdot fs \cdot \frac{z-1}{z+1}$$

[Urmel (Gast)]

Ich hab mir nochmals gedanken gemacht.
Wenn ich die Übertragungsfunktion so umstelle,

$$G(s)=\frac{1}{To \cdot s + 1}=\frac{1}{\frac{s}{fg}+1}=\frac{fg}{s+fg}$$

müsste ich doch das 2*pi berücksichtigen. Denn wenn man für "s" --> "jw"
einsetzt, dann hab ich ja den Faktor 2*pi mitdrin.

[Urmel (Gast)]

$$G(w)=\frac{fg}{jw+fg} A(w)=\frac{fg^(2)}{w^(2)+fg^(2)}$$

[Urmel (Gast)]

$$G(w)=\frac{fg}{jw+fg}$$

$$A(w)=\frac{fg^2}{w^2+fg^2}$$

[Daniel (Gast)]

es muss doch gelten ... abs(G(fg)) = 1/sqrt(2)
und das tut es doch laut Lösungsvorschlag
s ist ja gleich j*2*pi*f, wenn du f=fg machst,
steht j*2*pi*fg
und das kürzt sich mit im Nenner stehenden wg,
bleicht dann im Nenner j+1.
Was einen Betrag von sqrt(2) hat.

So denke ich ...

Grüsse, Daniel

[Urmel (Gast)]

Sorry, ich kann das nicht genau nachvollziehen, was du da geschrieben 
hast.
Hier habe ich nochmals die Übertragungsfunktion hingeschrieben und für
s --> j*2*pi*w eingesetzt

$$G(w)=\frac{1}{\frac{j\cdot 2 \cdot \pi \cdot f }{fo}+1}$$

[Urmel (Gast)]

Vorgabe war doch diese Übertragungsfunktion:

$$G(s)=\frac{1}{To \cdot s + 1}$$

Da kann ich dann nicht die Übertragungsfunktion so hinschreiben:

$$G(s)=\frac{1}{\frac{s}{wo} + 1}$$

[Daniel (Gast)]

ich weiss nicht ob ich dich richtig verstehe
die vorgabe war, grenzfrequenz 1kHz

die übertragungsfunktion mit T0 sehe ich nur als die
vorgegebene filterform. T0 ergibt sich aus grenzfrequenz.

bei der grenzfrequenz gilt nun mal bei passivem filter
-3dB verstärkung.
-3dB = 20*log(abs(G(fg)))
also muss betrag von G(fg), also abs(G(f)) = 1/sqrt(2) sein

G(f) = 1/(j*2*pi*f/2*pi*fg + 1)
erfüllt diese Bedingung.

T0 muss also 1/(2*pi*fg) sein

Wenn man bilineare Nährung macht, muss man dann
s = j*2*pi*f = 2/Ts * (1-z^-1)/(1+z^-1)
in G(f) ersetzen.
Hier ist natürlich Ts, Samplingzeit.

Ich bin kein Filterprofi, aber so erscheint es mir logisch.

Grüsse