Tach zusammen, ich habe mir eine kleine CNC Steuerung geschaffen, die nun mittels des Algoritmus von Bresenham auch Kreise fräsen kann. Mein Problem ist nun Folgendes: Der momentane Algorithmus kann nur Kreise ziehen, deren Startpunkttangenten parallel zur x- oder y-Achse liegen. Dafür werden ja diese drei Variablen wie folgt initialisiert: d = 1 - r dx = 3 dxy = -2 * r + 5 Es müsste doch nun eine Möglichkeit geben diese Startwerte für einen beliebigen Startpunkt zu berechnen, aber ich komm' nicht drauf. Ausgegangen werden soll von folgenden Daten (wie vom G-Code bekannt): - Startpunkt X1, Y1 - Endpunkt X2, Y2 - Radius r z.B.: Kreisbogen X1 = 0, Y1 = 0, X2 = 10, Y2 = 10, r = 20 Schönen Gruß & Danke fürs Lesen
Der Algoritmus von Bresenham zeichnet ja im Prinzip keinen Kreis, sondern nur ein Achtel. Durch z.B. mehrmaliges Wiederholen kann dann ein ganzer Kreis gezeichnet werden. Wenn du nun das erste Achtel nimmst, so ist die Starttangente immer Achsenparallel (ergibt sich ja aus der Bresenham-Konstruktion). Um das zu ändern, kannst du einfach eine Achsentransformation vornehmen wobei eine Achse dann die Tangente, die andere die Senkrechte ist. Die Skalierung muss aber so gewählt werden, dass möglichst keine Rechengenauigkeit flöten geht. Gruss Jörg P.S. warum brauchst du andere Tangenten als die Achsenparallelen?
>warum brauchst du andere Tangenten als die Achsenparallelen?
Das fängt z.B. schon mal mit den jeweils "ungeraden" Kreisachteln an:
Das erste Segment geht von 0° bis 45°, das zweite von 45° bis 90°. Beim
zweiten ist also schonmal die Starttangente auf 45°. Hat man eine
SetPixel Funktion, ist das nicht schwer, weil man die 8 Segmente
gleichzeitig z.B. mit x0-x und x0-x etc. zeichnen kann. Bei einer Fräse
möchte man aber natürlich die 8 Segmente nacheinander fahren.
Des weiteren gibt es den Fall dass man ein Kreisviertel fahren möchte,
selbigen aber z.B. um 30° gedreht zu einer Achse haben möchte (also von
30° bis 120°).
Meine Geometriekenntnisse sind leider etwas eingerostet, werde aber mal
nach "Achstransformation suchen".
Ach ja, das Stichwort CNC hätte ja schon meine Frage beantwortet, habe aber nur an Bildschirmausgabe gedacht. Deine Frage bezog sich also nur auf Tangenten von 45 Grad, wiel du ja alle Achtel hintereinander fahren möchtest. Dann kannst du folgendes machen: Zeichne ganz normal das erste Achtel, ausgehend von (r,0) als Startpunkt. Dann kommt das zweite Achtel mit 45-Grad-Tangente. Die Achstransformation ist jetzt (1,1) für die neue X-Achse und (-1,1) für die neue Y-Achse, der Radius ist jetzt r2 = r/sqrt(2). Jetzt einfach so tun, als hätte man ein neues erstes Achtel mit neuem r2. Das dritte Achtel ist wieder wie das erste, nur mit X-/Y-Achse vertauscht usw. Zeichne einfach mal die ersten zwei Achtel auf Karopapier und mach dir die Skalierungen 1/sqrt(2) und die Achstransformation klar. Gruss Jörg
Habe ich noch vergessen zu erwähnen: Die Skalierung mit 1/sqrt(2) setzt natürlich voraus, dass deine Rechengenauigkeit hoch genug ist, z.B. bei grösseren Kreuztisch mindestens 32-Bit, um die Übergänge bei den Achteln "unsichtbar" zu halten. Gruss Jörg
>der Radius ist jetzt r2 = r/sqrt(2). Das ist Klasse! Ich hatte mir bisher so geholfen, dass ich die "Laufvariablen" dx und dxy nach einem Kreisachtel nicht zurücksetze, sondern im 2. Oktanten subtrahiere, anstatt zu addieren. Z.B. für den Fall das man gerade im Kreis ist mache ich im 2. Oktanten nicht dx+=2; dxy+=2; sondern dx-=2; dxy-=2; Nach dem jeweils 2. Oktanten initialisiere ich dann dx und dxy neu. Werde das aber auf Deinen Vorschlag umbauen, gefällt mir besser. Dann nochmal zurück zum Kreisabschnittsproblem: Ich habe also 2 Punkte, zwischen denen ein Kreisbogen mit Radius r gefahren werden soll. Ich könnte damit den Mittelpunkt bestimmen, und den Bresenham zunächst "leer" laufen lassen bis der erste Punkt erreicht ist. Müsste von der Theorie her klappen, habe aber gerade bemerkt dass sich da leider noch mehr Lücken in der Mathematik auftun: http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment Ich habe durch meine 2 Punkte also die Sehne s gegeben. Um nun den Mittelpunkt bestimmen zu können, muss ich ein Mittellot von meiner Sehne mit der Länge sqrt(r² - (s/2)²) fällen, dort befindet sich mein Mittelpunkt. So die Theorie, aber wie komme ich "numerisch" ausgehend von x0, y0, x1, y1 (Sehne) an xm und ym ? Mit deprimierten Grüßen Ja mann
Angehängte Dateien:
-
Mitte.jpg
110 KB
Gibt zu einer Sehne/Radius zwei Mittelpunkte und die liegen da, wo das angehängte jpg sagt ;-) Math rulez ! Cheers Detlef PS: Ja, das ist ein Verstoß gegen gültige Bildanhängeregeln.
Also den Kreismittelpunkt bekommst du z.B. mit der Lotkonstruktion:
0. Sehne (sx,sy) := (x1-x0,y1-y0)
1. Sehnenmittelpunkt (xms,yms) := 0.5*(x0+x1,y0+y1)
2. Senkrechte (tx,ty) := (-sy,sx) (oder auch (sy,-sx) !!!!)
3. (xm,ym) := (xms,yms) - faktor1*(tx,ty)
mit faktor1 := sqrt(0.5*(sx^2+sy^2)/(tx^2+ty^2))
4. Zenitpunkt (xz,yz) := (xm,ym) + faktor2*(tx,ty)
mit faktor2 := sqrt(r^2/(tx^2+ty^2))
Dann kannst du ausgehend vom Zenitpunkt in beide Richtungen jeweils
solange per Achsentransformation + Bresenham-Ansatz die Fräsbahn
berechnen, bis die Punkte (x0,y0) bzw. (x1,y1) überschritten werden.
Achtung: u.U. müssen in beiden Richtungen jeweils zwei Achtel
"gezeichnet" werden.
Bem: es sind zu zwei Punkten und einem Radius zwei Kreisbögen möglich!
Gruss
Jörg
>PS: Ja, das ist ein Verstoß gegen gültige Bildanhängeregeln. Nicht nur das, das ist eindeutig schwere Körperverletzung! Jörg: Super, vielen Dank einstweilen, werde mich da etwas tiefer reindenken; >u.U. müssen in beiden Richtungen jeweils zwei Achtel >"gezeichnet" werden. Hm, eigentlich können es bis zu 4 Oktanten sein (es ist ja bis zu einem Halbkreis möglich) >Bem: es sind zu zwei Punkten und einem Radius zwei Kreisbögen möglich! Danke, das ist klar, deswegen gibt es in der CNC Sprache (G-Code) auch zwei verschiedene Kommandos, eines für linksrum und eins für rechtsrum. Bis dann, Ja mann
@Ja mann, ja klar, können insgesamt 4 Achtel sein; bin von der Graphik auf Wikipedia ausgegangen, also (x0,y0) links, (x1,y1) rechts, (xm,ym) unten und den Zenitpunkt oben (hmm, schreibt man jetzt unten/oben/links usw. klein oder GROSS??). Eine einfache Version testet z.B. für jeden Punkt, ob die Schenkel (links,rechts) schon erreicht sind, eine bessere fragt erst bei den beiden inneren Achteln nach, ob sie innerhalb der beiden Schenkel liegen. Gruss Jörg P.S. worauf läuft G-Code, auf PC oder auf spezieller Hardware?
>P.S. worauf läuft G-Code, auf PC oder auf spezieller Hardware?
Überall :-) Es gibt CNC-Achssteuerungen für den PC, welche direkt
mittels G-Code am Parallelport ein paar Schrittmotoren steuern. Selbiger
Code wird auch von vielen X-Y-Tisch gebilden etc. verstanden. Ich möchte
nun mit einem µC + LCD + MMC den G-Code auf der Maschine abspielen.
Der Hammer wäre natürlich wenn man einfach XML Daten (SVG) z.B. aus
Inkscape fräsen könnte, aber das ist dann wohl doch ein paar Hausnummern
zu groß...
hmmm, habe mir das ganze mal etwas durchgerechnet, aber bei Nr.3 blieb ich stecken: >3. (xm,ym) := (xms,yms) - faktor1*(tx,ty) > mit faktor1 := sqrt(0.5*(sx^2+sy^2)/(tx^2+ty^2)) xm und ym sollen vermutlich den Kreismittelpunkt darstellen. Allerdings geht hier an keiner Stelle der Radius mit ein, was ja nicht sein kann ?
Sorry, war bei meiner Ableitung bzw. "in die Mail kopieren" in die Falsche Zeile geraten. Du musst ja bei der Konstruktion vom Sehnenmittelpunkt soweit "runter gehen", bis der Abstand von z.B. (x0,y0) zum Kreismittelpunkt (xm,ym) genau Radius r ist. Da die Vektoren (sx,sy) und (tx,ty) nicht normiert sind, muss noch skaliert werden. Aus der Konstruktion ergibt sich mittels a^2+b^2=c^2 im rechtwinkligen Dreiecken factor1 := sqrt[(r^2-0.25*(sx^2+sy^2)) / (tx^2+ty^2)] glaube jetzt stimmt's (zeichne es einfach mal auf ein Blatt Papier und rechne es nach). Gruss Jörg
Jau! Hab's eben nochmal anhand eines Beispieles durchgerechnet und gezeichnet. Passt astrein! Also herzlichsten Dank nochmal für Deine Mühen. Nun muss ich den ganzen Spaß nur noch meinem µC beibringen, aber die Theorie dafür ist ja nun klar. Gruß Ja mann
.. was ich aber nicht verstehe: wieso rechnet Mathematika oder Mapple wie im obigen Beitrag so einen Mist ?? Lehre daraus: versuchs immer zu verstehen als blind einem Tool zu vertrauen. Jörg
Meine Einlassung weiter oben war nicht als Körperverletzung gedacht.Es
ergeben sich sehr einfache (naja) Formeln, zB für die Koordinate ym des
Kreismittelpunkts:
ym= -dy/2+y0 +/- sqrt(dy^2*sq^3*(dy^2-sq)*(sq-4rq))/(2*dy*sq^2)
mit rq als Quadrat des Radius, sq als Quadrat der Sehnenlänge und dy als
(y0-y1). xm gibts analog wenn man die y durch x ersetzt.
Das ganze läßt sich also relativ elegant analytisch lösen, ohne
irgendwelche anschaulichen 'Konstruktionen' heranziehen zu müssen.
Ja.
Cheers
Detlef
Edit:
@Jörg: Das Mathematica Ergebnis ist mathematisch korrekt. Schön und
einfach wird das Ergebnis erst durch Einführung von sq, rq und dy.
>>Lehre daraus: versuchs immer zu verstehen als blind einem Tool zu vertrauen.
Das sehe ich genauso, aber wie gesagt, das Mathematice Ergebnis ist
richtig. Ich würde mich nicht mit der Suche nach einfachen Formeln für
xm/ym aufhalten, wenn ich Zeit und Rechenpower habe sondern mir von
Maple/Mathematica das Ergebnis produzieren lassen und direkt in die
C-Source kopieren. BTW, der Optimierer wird die gemeinsamen Terme schon
finden.
moin moin, bei mir läuft auf einem 8051 ein solcher G-Code Interpreter. Da für die Fräserradienkorrektur auch der Winkel Start/Stop notwendig war, konnte darüber auch der Quadrant berechnet werden. Von da aus lasse ich einfach eine Schleife laufen, wird die Startposition erreich, wird die Motorsteuerung freigegeben. Beim Erreichen der Stopposition wird die Schleife abgebrochen. Mit Gruß Pieter
@Detlef _a, ich habe nicht die Korrektheit bezweifelt, du hast ja die zu lösende Gleichung korrekt formuliert. Mathematika weiss aber nicht, wie du's gerne hättest und bietet dir eine, oft aber keine schöne Lösung. Für die Formulierung solcher Probleme und deren graphische Ausgabe aber schon ein schönes Tool. Gruss und schönes Wochenende, Jörg
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