www.mikrocontroller.net

Forum: Offtopic Trigonometrie-Aufgabe


Autor: Hannes (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe in Mathe zu lösen (von einem Kollegen):

Von einem ebenen Viereck ABCD sind gegeben:

a=736,42m
b=1261,40m,
beta = 122,19°
delta_1 = 33,77°  zwischen d und f also der Winkel ABD
delta_2 = 42,40°  zwischen c und f also der Winkel BCD

f ist die Diagonale zwischen den Punkten B und D

Ermittle konstruktiv und rechnerisch die fehlenden Umfangstücke.

Ich habe inzwischen kapituliert, mir fällt nicht mal eine Lösung zum 
konstruieren ein. :(

Wäre nett, wenn mir jemand eine Denkanstoß geben könnte, wo ich anfange 
muss. Das Dreieck ABC lässt sich ja mit dem Cosinussatz noch ganz 
einfach bestimmen, aber dann wirds kompliziert.
Ich habe es auch schon damit versucht, verschiedene Winkel und Seiten in 
Gleichungssysteme zu packen, die aber alle nur wahre Aussagen lieferten.

Autor: Aha (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Eine Skizze als png waere das absolute Minimum um sich das mal zu 
ueberlegen.

Autor: Hannes (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Ich will keine Hausübung von anderen erledigen lassen, sondern nur eine 
ANSTOSS.

Ich möchte von niemanden, dass er mir etwas ausrechnet, oder mir genau 
sagt, was ich tun muss.
Nur, in welche Richtung ich ungefähr gehen muss.

Außerdem ist das keine Hausübung, sondern er ist im Mathebuch 
darübergestolpert. Wir sind beide in Mathe sehr interessiert und haben 
bis jetzt nichts zustande gebracht.

Autor: Hannes (Gast)
Datum:
Angehängte Dateien:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Hier die etwas verspätete Skizze.

Der betrag von Hanner um 07.01.2009 20:44 kommt nich von mir.
Der Troll hat hoffentlich bald was besseres zu tun.

Autor: Versucher (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Na, wenn das mal so stimmt mit den Maßen?
Und die Winkel sollte man auch hinschreiben.
Die Winkelfunktionen sind nur für rechtwinklige
Dreiecke anwendbar.
Anstoß: ziehe eine Linie von Schnittpunkt f,e
zur Grundlinie A-B und teile das ungleichschenklige
Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke auf.
Auf der Grundlage das diese Hilfslinie für beide Dreiecke
gleich ist müßte man eine Gleichung über die Winkel
generieren können.

Autor: Take it easy (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Pythagoras: a²+b²=c²
und schon hast Du c ; das war der Anstoß, den Rest mußt Du schon selbst 
rausfinden.

Autor: Aha (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Der Punkt D ist bestimmt, da er Schnittpunkt der beiden Umkreise ist. 
Der Umkreis ABD ist definiert durch a und den gegenueberliegenden 
Winkel. Der Umkreis BCD desgleichen, durch die Seite b und den 
gegenueberliegenden winkel.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Beta ist der Winkel ABC?

Als alter Vektor-spezi würd ich so vorgehen.

Ich leg einen virtuellen 0-Punkt in B, mit AB als x-Achse

Dann bestimme ich mir die Geradengleichung für f.

Den Punkt C kenn ich, bzw. kann seine Koordinaten berechnen.
Weiters kenne ich ja die Steigung von c aus den Winkeln
Damit kann ich für c eine zweite Geradengleichung aufstellen

Die beiden Geradengleichungen für c und f zum Schnitt bringen

Damit hat man die Koordinaten von D

Alles weitere ist dann trivial.

(Im Grunde ist das auch genau der gleiche Lösungsweg, den man auch mit 
Lineal und Bleistift machen würde, nur diesmal gerechnet)

Autor: Hannes (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
>Der Punkt D ist bestimmt, da er Schnittpunkt der beiden Umkreise ist.
>Der Umkreis ABD ist definiert durch a und den gegenueberliegenden
>Winkel. Der Umkreis BCD desgleichen, durch die Seite b und den
>gegenueberliegenden winkel.

Ja, aber das hilft mir auch nicht wirklich weiter...

>Beta ist der Winkel ABC?

Ja.


>Den Punkt C kenn ich, bzw. kann seine Koordinaten berechnen.
>Weiters kenne ich ja die Steigung von c aus den Winkeln
>Damit kann ich für c eine zweite Geradengleichung aufstellen.

An die Lösung mir der Vektorrechnung habe ich ach schon gedacht.
Nur woher nehme ich die Steigung von c?
Wenn ich eine Geradengleichung für c habe, dann kann ich mit dem Winkel 
BCD eine Geradengleichung für f aufstellen.
Aber dazu brauche ich erst c.

Autor: Zardoz (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Wie wär's denn mit dem Sinussatz?

Der gilt nämlich auch für nicht-rechtwinklige Dreiecke ...

Nice week,
Zardoz

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Hannes wrote:

>>Den Punkt C kenn ich, bzw. kann seine Koordinaten berechnen.
>>Weiters kenne ich ja die Steigung von c aus den Winkeln
>>Damit kann ich für c eine zweite Geradengleichung aufstellen.
>
> An die Lösung mir der Vektorrechnung habe ich ach schon gedacht.
> Nur woher nehme ich die Steigung von c?

2 Möglichkeiten

* in deiner ursprünglichen Angabe ist die Definition für delta_2
  als Winkel zwischen BCD korrekt
  Da du den Winkel ABC kennst, kannst du dir den Winkel von c
  in Bezug zu AB leicht bestimmen. Und AB war ja als x Achse definiert.
  (einfach mal einzeichnen)

* in deiner ursprünglichen Angabe ist die Definition für delta_2
   als Winkel zwischen f und c korrekt
   Da du den Winkel ABD kennst und den Winkel BDC, kannst du auch
   den Winkel den c in Bezug zur Achse AB hat ausrechnen.
   Auch hier wieder. Einfach mal aufzeichnen und eine Parallele zu AB
   durch den Punkt D zeichnen. Der Winkel von c ergibt sich dann wieder
   durch Addition bzw. Subtraktion


Einfach mal in der Zeichnung die bekannten Winkel einzeichnen, und 
rumspielen, ist wirklich nicht weiter schwer

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
Datum:
Angehängte Dateien:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Für den 2.ten Fall, sähe eine Skizze so aus

Autor: Aha (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
>>Der Punkt D ist bestimmt, da er Schnittpunkt der beiden Umkreise ist.
>>Der Umkreis ABD ist definiert durch a und den gegenueberliegenden
>>Winkel. Der Umkreis BCD desgleichen, durch die Seite b und den
>>gegenueberliegenden winkel.
>
>Ja, aber das hilft mir auch nicht wirklich weiter...
>

Etwas mager... Schon mal was vom Thaleskreis gehoert ? Der besagt dass 
jedes dreieck mit dieser Hypotenuse und dem gegenueberliegenden Punkt 
auf dem Kreis rechtwinklig ist. Nun gilt das mit den Kreisen fuer alle 
Winkel. Zu einem Umkreisdurchmesser gibt es fuer eine gegebene 
Hypotenuse nur einen Winkel. Das bedeutet man kann zur gegebenen 
Hypotenuse irgend ein Dreieck mit dem passenden Winkel zeichnen und 
bekommt so den Umkreis. Und wenn man beide Umkreise hat...

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Aha wrote:

> Etwas mager... Schon mal was vom Thaleskreis gehoert ? Der besagt dass
> jedes dreieck mit dieser Hypotenuse und dem gegenueberliegenden Punkt
> auf dem Kreis rechtwinklig ist. Nun gilt das mit den Kreisen fuer alle
> Winkel. Zu einem Umkreisdurchmesser gibt es fuer eine gegebene
> Hypotenuse nur einen Winkel. Das bedeutet man kann zur gegebenen
> Hypotenuse irgend ein Dreieck mit dem passenden Winkel zeichnen und
> bekommt so den Umkreis. Und wenn man beide Umkreise hat...


Hat bei mir etwas gedauert, aber dann hats klick gemacht.
Die Generalisierung des Thaleskreises nennt sich 'Umfangswinkelsatz'.
Und das ist in der Tat eine sehr elegante Methode. Kannte ich noch gar 
nicht (oder hab ich schon längst wieder vergessen). Danke für den 
Denkanstoss, das könnte sich manchmal als nützlich erweisen.

Autor: Hannes (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Danke, das mit dem Umkreis hilft mir immerhin, das Viereck zu 
konstruieren.
Aber kann ich damit auch das Viereck (ohne Vektorrechnung) berechnen?
Ich habe ja den Umkreisradius, aber kann damit keine Schnitte 
durchführen, dazu müsste ich es erst in ein Koordinatensystem 
transferieren.

Leider ist mir auch aufgefallen, dass ich geschrieben habe:

>delta_1 = 33,77°  zwischen d und f also der Winkel ABD
>delta_2 = 42,40°  zwischen c und f also der Winkel BCD

sollte heißen:

delta_1 = 33,77° zwischen d und f also der Winkel ADB
delta_2 = 42,40° zwischen c und f also der Winkel BDC

Womit die Lösungen mit dem Koordinatensystem von Karl heinz Buchegger 
nicht funktionieren.

Tut mir Leid, aber das Problem lässte mir keine Ruhe mehr.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Hannes wrote:

> delta_1 = 33,77° zwischen d und f also der Winkel _ADB_
> delta_2 = 42,40° zwischen c und f also der Winkel _BDC_
>
> Womit die Lösungen mit dem Koordinatensystem von Karl heinz Buchegger
> nicht funktionieren.

Doch das tut sie.
Ich hab 2 Lösungswege angegeben und für den 2.ten (den du jetzt als den 
richtigen identifiziert hast) ist auch die zugehörige Skizze gedacht.
Den Steigungswinkel von c kann man nach dieser Skizze leicht bestimmen. 
Wo der Punkt C liegt, kann man berechnen und mit beiden Angaben kann man 
dann eine Geradengleichung für c aufstellen.

Sinnigerweise wird man sich den 0-Punkt des gedachten Koordinatensystems 
in den Punkt B verlegen. Dann wird die Gleichung für f besonders einfach 
und auch die Formeln für den Punkt C nehmen dann eine einfache Gestalt 
an.

Autor: Hannes (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Ich glaube ich sah vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr.
Danke Karl Heinz, jetzt habe ich sämtliche Lösungen gefunden, auch ohne 
Vektoren. :)

Vielen Dank an alle, die mir geholfen haben.

Bitte melde dich an um einen Beitrag zu schreiben. Anmeldung ist kostenlos und dauert nur eine Minute.
Bestehender Account
Schon ein Account bei Google/GoogleMail, Yahoo oder Facebook? Keine Anmeldung erforderlich!
Mit Google-Account einloggen | Mit Yahoo-Account einloggen | Mit Facebook-Account einloggen
Noch kein Account? Hier anmelden.