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Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik Phasenschieber Berechnung


Autor: Heinzi (Gast)
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Ich lese mir hier gerade was über einen Phasenschieber durch. Der 
mathematische Zusammenhang soll angeblich sein:

(A*sin(omega*t)+B*cos(omega*t))=Sqrt(A*A+B*B)*sin(omega*t+Phi) . Weiß 
jemand wie man da mathematisch drauf kommt? Ich finde da keinen 
mathematischen Zusammenhabg.

Autor: Heinzi (Gast)
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Achja, Phi=tan(B/A)

Autor: Jürgen R. (hobbyloeter)
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> (A*sin(omega*t)+B*cos(omega*t))=Sqrt(A*A+B*B)*sin(omega*t+Phi)

Ist das nicht ein ganz simples Additionstheorem. Schau doch einfach mal 
in einer Formelsammlung nach.

Autor: Heinzi (Gast)
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Finde leider nix, kann die meisten Theorem von früher ja noch auswendig. 
Aber das hier finde ich nirgends.

Autor: Jürgen R. (hobbyloeter)
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Hm, könnte es sein, daß Du irgendwo in Deiner Formel ein "i" oder "j" 
(imaginäre Einheit, i = j = sqrt(-1)) vergessen hast?

Das mit Sqrt(A*A+B*B)*... würde mich dann nämlich verdammt an die 
Moivre'sche Formel für komplexe Zahlen erinnern:

cos(x) + i*sin(x) = exp(i*phi).

Autor: Heinzi (Gast)
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Nee, keine Imaginärteile vorhanden.

Autor: karadur (Gast)
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Hallo

nimm mal A=Realteil und B=Imaginärteil an.

Sqrt(A*A+B*B) ist die Länge des Vektors in der komplexen Ebene.

Phi=tan B/A  ist der Winkel des Vektors.

Autor: Exe (Gast)
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Nicht so hurtig.
Der Winkel phi ist der Winkel zwischen Fahrstrahl des Vektors und der 
Realachse. Das kann man mal zunächst annehmen, stimmt aber nicht.

Nuhur nicht gleich, nicht auf der Stell denn bei der Post geht´s nicht 
so schnell.

Der Multiplikator A ist an den SINUS gebunden und B an den COSINUS.
So wäre phi = arcCOtan(B/A) und nicht arctan(B/A)
Schon der Beweis für A = B ist kein Zuckerschlecken.

Autor: Heinzi (Gast)
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Ups... Äh sorry.

tan Phi=B/A

Autor: Exe (Gast)
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Hi folks.
Hier könnt ihr´s euch geben. Sind A und B verschieden wird´s fröhlich in 
der Runde. Man kann es sich aber in cosy und siny "eingebaut" vorstellen
Viel Spass.

http://www.lsg.musin.de/rubenbauer/unterricht/Math...

Autor: Heinzi (Gast)
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ja das theorem:

sin (x+y) = cos y * sin x + sin y * cos x

habe ich schon gefunden aber man geht ja davon aus das A und B 
effektivwerte für Ströme sind.

also i1 = A*sin(omega*t), i2 = B*cos(omega*t)

setze ich A=cos y und B = sin y und sage

sin (x+y) = A*sin(omega*t) + B*cos(omega*t)

woher kommt dann das Sqrt(A*A+B*B) ?

und y = Phi = tan B/A?

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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Man kann das hier
>A*sin(omega*t) + B*cos(omega*t)

auch als das interpretieren (phasenverschobener Sinus):

... = Z * sin (omega*t + phi)

mit:

Z = Sqrt(A² + B²)

und

Phi = tan B/A

Autor: HildeK (Gast)
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>woher kommt dann das Sqrt(A*A+B*B) ?

>und y = Phi = tan B/A?

Ich veranschauliche mir das in einem Koordinatensystem.
A*sin(x), Zeiger der Länge A in y-Richtung
B*cos(x), Zeiger der Länge B in x-Richtung
Summenzeiger ist sqrt(A^2+B^2) (Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck)
Winkel zum Summenzeiger ist tan (B/A)

Das ist zwar auch kein mathematischer Beweis, aber die Antwort, woher 
die Amplitude und die Phase kommt, kann man damit schon geben.

Autor: Exe (Gast)
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Hilde die Sache hat so nur einen Haken.
Dein Winkel ist der Winkel des Fahrstrahls zur Im-Achse und nicht zur 
Real-Achse.
Sonst sind wir wieder bei arctan(A/B) und nicht wie es richtig wäre B/A.

Der korrekte Beweis geht nur entweder zeichnerisch wobei der Aufwand 
hoch ist oder eben über die Eulerformel.
Das ist mir zuviel Qual das ohne geeignete Tastatur durchzupflügen aber 
hier hat sich einer bei Havard durchgefressen. Da bekommt man allerdings 
graue Haare.


Hier der Ansatz.

Wandle Asinx in Euler und Bcosx in Euler

Ordne nach exp(jx) und exp(-jx)

Erweitere mit j

Es entstehen (A +jB) wie auch (A - jB)

Das sind sqrt(A² + B²) sowie arctan(B/A) wie auch die ADDITION des 
Arguments und des Winkels.

q.e.d.

Oder friss dich den den von Havard durch

http://www.math.harvard.edu/~yoshida/Tutorial.pdf

Autor: yalu (Gast)
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Oder ganz klassisch ohne komplexe Zahlen:

Fangen wir auf der rechten Seite an:

Mit dem Additionstheorem für den Sinus

bekommt man die Summe aus dem Argument heraus:

Mit den Beziehungen

ergibt sich

Erweitern der beiden Brüche mit A ergibt

Die Wurzelausdrücke kürzen sich heraus, so dass schließlich

übrig bleibt.

Autor: HildeK (Gast)
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@Exe (Gast)
>Hilde die Sache hat so nur einen Haken.
HildeK -  ich bestehe darauf :-)

>Dein Winkel ist der Winkel des Fahrstrahls zur Im-Achse und nicht zur
>Real-Achse.

Wir wollten doch auch ein Ergebnis bezogen auf sin(x), also der 
imaginären Achse?

Gut, deine und yalus Berechnungen gefallen mir auch besser.

Autor: Heinzi (Gast)
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Respekt yalu. Ich habe schon lange aufgegeben. Deine Rechnung stimmt, 
aber irgendwie habe ich das Gefühl, daß es auch anders gehen muss. Da 
kommt ja eigentlich niemand drauf, es sei denn man stolpert darüber.

Autor: yalu (Gast)
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> Da kommt ja eigentlich niemand drauf, es sei denn man stolpert darüber.

Die Herleitung von links nach rechts ist nicht sofort ersichtlich, aber
die von rechts nach links eigentlich schon: Da auf der rechten Seite
eine Winkelfunktion eine Summe als Argument enthält, auf der linken
Seite aber nicht, muss die rechte Seite erst einmal expandiert werden.
Wenn man dann schon einmal irgendwo gehört hat, dass man jede
Winkelfunktion durch jede andere ausdrücken kann, um die Verkettungen
von Winkel- und Arkusfunktionen wegzubekommen, ist man schon fast am
Ziel.

Ähnlich wie bei der Umformung algebraischer oder logischer Ausdrücke
gibt es auch in der Trigonometrie ein paar Rechenregeln, mit denen
solche Umformungen in den meisten Fällen systematisch erledigt werden
können.

> aber irgendwie habe ich das Gefühl, daß es auch anders gehen muss.

Sonst rechnet man's halt komplex, wie von Exe vorgeschlagen. Das ist
aber eigentlich ein Umweg, auf den man erst einmal kommen muss, da die
Aufgabenstellung an sich nur reelle Zahlen enthält. Für einen
Elektroniker, der das omega*t sieht, ist dieser Weg aber dennoch
naheliegend. Oder man versucht wie HildeK, sich das Ganze elektrisch
bildlich vorzustellen, dann kommt man sogar fast ohne Rechnung aus.

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