OFDM - Basisfunktion

[willi (Gast)]

Hallo,

ich bezüglich zu OFDM eine Frage. Wie sieht die OFDM Basisfunktion im 
Frequenzbereich

$$\phi m(f)$$

auf?

Hier ist die OFDM Basisfunktion im Zeitbereich angegeben:

$$\phi m(t)=e^{j \cdot 2 \cdot \pi \cdot fm \cdot t} \Rightarrow 0 \leq t < Tsym$$

Besten Dank schonmal im voraus!

[willi (Gast)]

Wenn ich zum Beispiel die OFDM Basisfunktion von "f" integrieren möchte 
nach der Frequenz "f", wie müsste da dann die Funktion aussehen?

Vielleicht so?

$$\phi m(f)=e^{j \cdot 2 \cdot \pi \cdot fm \cdot t} \Rightarrow 0 \leq t < \frac{1}{Tsym}$$

[Gast (Gast)]

Vorneweg: Mein Wissen über ODFM ist sehr mager, allerdings kenne ich das 
Grundprinzip.

Trotzdem habe ich keine Ahnung, was du eigentlich willst.
Spontan hätte ich gesagt, dass Zeitsignal Fouriertransformieren, um 
daraus ein Frequenzsignal zu machen?

[willi (Gast)]

Ok ich hab mich vielleicht nicht ganz klar ausgedrückt was ich genau 
will.
Nun, ich möchte nur Wissen wie OFDM Basisfunktion abhängig von der 
Frequenz aussieht.

Hier ist die OFDM Basisfunktion im Zeitbereich angegeben:

$$\phi m(t)=e^{j \cdot 2 \cdot \pi \cdot fm \cdot t} \Rightarrow 0 \leq t < Tsym$$

OFDM Basisfunktion in Abhängigkeit von der Frequenz:

$$\phi m(f)= ???$$

[willi (Gast)]

Ich möchte quasi den Orthogonalitätsbeweis im Frequenzbereich 
durchführen.

$$\int_{0}^{\frac{1}{Tsym}}~\phi_l(f) {\phi_m(f)}^*~df$$

[Yupp (Gast)]

Hallo,

sinnigerweise ein Dirac-Impuls bei f, sonnst wäre sie (im Idealfall) ja 
auch nicht orthogonal.

Gruß, Yupp

[willi (Gast)]

Hi Yupp, danke erstmal für deine Antwort. Ich verstehe nicht was du 
genau meinst! Wie sieht die Funktion aus?

$$\phi_l(f)= ???$$

$$\phi_m(f) = ???$$

[willi (Gast)]

Ich möchte es halt mathematisch über das Integral beweisen!

[Ron (Gast)]

Es muss nicht notwendigerweise ein Dirac-Impuls sein. Rect-Funktionen im 
Zeitbereich auf der jeweiligen Frequenz führen bei entsprechender Länge 
im Zeitbereich dazu, dass die jeweiligen Si-Funktionen im 
Frequenzbereich in den Nullstellen aller anderen Si-Funktionen landen.

[Ron (Gast)]

@willi
Wo ist denn das Problem? Transformiere deine Funktion einfach mit der 
Fourier-Transformation in den Frequenzbereich. Dann kannst du ja deinen 
Beweis für beide Frequenzen f_m und f_l durchführen.

[willi (Gast)]

Ich hab ein Problem bei der Transformierung. Was müsste da herauskommen?

[willi (Gast)]

e-Funktion im Zeitbereich transformiert in den Frequenzbereich ist eine 
Frequenzverschiebung F(w-wo).

[Yupp (Gast)]

Hallo nochmal,

ok, dass war sehr vereinfacht ausgedrückt. Bei realen und somit i.A. 
zeitdiskreten Systemen sieht es wie ein Diracimpuls aus. In Wahrheit hat 
Ron schon recht, es sind si-Funktionen, deren Nulldurchgäge gerade 
1/Tsym auseinanderliegen. Deshalb wählt man den Trägerabstand des 
OFDM-Signals mit 1/Tsym => Orthogonalität. Das sollte sich durch 
Integration auch so ergeben.

Kommt es nun zu einer Verschiebung (z.B. Dopplereffekt, Abweichungen zw. 
Sender und Empfänger) dann sitzen die Nulldurchgänge der si-Funktionen 
nicht mehr genau auf 1/Tsym und es muss z.B. entzerrt werden oder die 
Empfangsqualität verschlechtert sich.

Gruß Yupp

[Yupp (Gast)]

Jepp,

das Integral entspricht einem Rechteckfenster im Zeitbereich => 
si-Funktion im Frequenzbereich. Dieses wird nun mit der e-Funktion 
multipliziert => Verschiebung im Frequenzbereich. Hast Du nun zwei 
gefensterte e-Funktionen, deren Frequenzen ein ganzes vielfaches von 
Tsym (=Fensterbreite) auseinanderliegen, so sind diese im Frequenbereich 
auch gerade um ein vielfaches von 1/Tsym verschoben. Somit liegt jeweils 
das Maximum gerade bei einem Nulldurchgang der anderen e-Funktion => 
orthogonal.

Zum Lösen des Integrals ist mein Studium gerade zu lange her, vielleicht 
kann das jemand anderes besser erledigen.

Gruß, Yupp

[willi (Gast)]

Vielen vielen Dank Yupp für deine bisherige Unterstützung.

[Gast (Gast)]

Wobei im Studium die Integralansätze nur für die Herleitung und 
Verständnis verwendet werden, also in der Vorlesung, in der 
Integraltransofmrationen durchgenommen werden.

In Nachrichtenübertragung etc. läuft das alles fast nur noch über 
Korrespondenzen, Verschiebungsregel usw.

[willi (Gast)]

Ertmal vielen Dank für eure Unterstützung. Trotzdem, weiss jemadn wie 
der mathematische Beweis im Frequenzbereich genau funktioniert?

[Mirko K. (mkeuner)]

Den Beweis der Orthogonalität geht analog zur Definition der Diskreten 
Fourier-Transformation.

Du hast das Ausgangssignal (also die zu sendenden Daten) im Freq. 
Bereich:

$$x(f) = \sum_{n=0}^{N} \delta(f - f_0 - {\Delta}f \cdot n)$$

Das wird in den Zeitbereich transformiert, wieder in den Frequenzbereich 
transformiert, und ... Hurra ..., es ist bis auf eine Konstante das alte 
Signal geblieben.

$$F(F^{-1}(x(f))) = c \cdot x(f)$$

Die DFT F(x) musst Du natürlich nun über ihre Definition als Summe (bzw 
die kontinuierliche Fouriertransformation als Integral) einsetzen, es 
wird sich dann nach einigen Seiten herumgerechne alles bis auf eine 
Konstante auflösen.

Viel Spass dabei ;-)