inhomogene DGL 3. Ordnung

[karsten (Gast)]

Hallo Leute!

Ich habe da nochmal ein Mathe-Problem. Es gilt folgende DGL zu lösen:

$$y''' - y'' + y' - y = 1-x$$

homogene Lösung habe ich wie folgt:

$$y = e^{\lambda x}$$

$$\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda - 1 = 0$$

$$x_1 = 1$$

$$x_2 = +j$$

$$x_3 = -j$$

$$y_h = C_1 e^x + C_2 \sin x + C_3 \cos x$$

Soweit okay - denke ich.

Jetzt zur partikulären Lösung:

$$y_p = A_0 + A_1 x$$

Das habe ich als Ansatz gewählt. Allerdings komme ich damit nicht weit.

In die DGL eingesetzt:

$$A_1-A_0+A_1x = 1 - x$$

Ich brauche ja eine Lösung für A0 und A1. Wie mache ich da jetzt weiter?
Oder mache ich da grundlegend was falsch?

Danke für eure Mühe!

[mr.chip (Gast)]

Koeffizientenvergleich sagt dir etwas? Man betrachtet jeweils nur die 
Koeffizienten einer einzelnen Potenz von x, jede Potenz ergibt eine neue 
Gleichung:

x ^ 1: A1 = -1
x ^ 0: A1 - A0 = 1

Jetzt noch diess einfache lineare Gleichungssystem lösen und fertig.

(Bezieht sich nur auf die letzte Gleichung, ob der Rest deiner Lösung 
stimmt, habe ich nicht geprüft!)

[Daniel R. (daniel_r)]

Hi,

1. hast Du falsch eingesetzt, bzw. eine Klammer vergessen

$$A_1-(A_0+A_1x) = 1 - x$$

Ausmultipliziert gibt das

$$A_1-A_0-A_1x = 1 - x$$

Koeffizientenvergleich:

$$A_1-A_0 = 1$$

und

$$A_1 = 1$$

Daraus folgt:

$$A_0 = 0$$

Die partikuläre Lösung der DGL ist also x.

Gruss Daniel