Wie berechnet man diese Verhältnisse

[Mark (Gast)]

Hallo,
folgendes ist gegeben:

a, b Element R+ (positive reelle Zahlen)

3*a+2*b=C
1*a+3*b=D
4*b=E

Z soll die kleinste der Zahlen C,D und E sein.

Für welche Verhältnisse a/b ist Z=C, für welche ist Z=D, für welche ist 
Z=E.

Wie kann man sowas berechnen?
Man könnte das ja nähern, indem man einfach verschiedene Verhältnisse 
"abtastet" und guckt wo Z von C zu D springt, usw.
Aber wie kann man das ausrechnen?


Mark

[Franz (Gast)]

Auf Matheknobeleien hat wohl über Ostern keiner Lust!

[yalu (Gast)]

Nennen wir das Verhältnis a/b der Einfachheit halber x. Wegen b>0 gelten
die drei Äquivalenzen

C ⋚ D  <=>  3*a+2*b ⋚ a+3*b  <=>  2*a/b ⋚ 1  <=>  x ⋚ 1/2
C ⋚ E  <=>  3*a+2*b ⋚ 4*b    <=>  3*a/b ⋚ 2  <=>  x ⋚ 2/3
D ⋚ E  <=>  a+3*b   ⋚ 4*b    <=>  a/b   ⋚ 1  <=>  x ⋚ 1

Damit kann nun bestimmt werden, wann welche der drei Variablen C, D und
E die kleinste ist:

Z = C  <=>  C ≤ D ^ C ≤ E  <=>  x ≤ 1/2 ^ x ≤ 2/3  <=>  x ≤ 1/2
Z = D  <=>  D ≤ C ^ D ≤ E  <=>  x ≥ 1/2 ^ x ≤ 1    <=>  1/2 ≤ x ≤ 1
Z = E  <=>  E ≤ C ^ E ≤ D  <=>  x ≥ 2/3 ^ x ≥ 1    <=>  x ≥ 1

Das Ganze kann man sich auch grafisch veranschaulichen (s. Anhang).