magnetischen flussdichte eines Leiters

[Michael Mueller (Gast)]

Guten Nachmittag,

möchte die Flussdichte eines stromdurchflossenen Leiters ausrechnen.
Dazu muss ich ja die mittlere Feldlinienlänge haben.
Leider habe ich keine Ahnung wie gross die ist. Wie kann ich dies 
herausfinden?

Es handelt sich nicht um eine Spule, sondern um einen einzigen, 
stromduchrflossenen Leiter, um welchen sich ein magnetfeld Bildet.

Grüsse M. Mueller

[Mario K. (Gast)]

Sie ist meineserachtens abhänig von der Fläche des Leiters abhänig.

[Dennis (Gast)]

Die Feldlinienlänge ist abhängig von der Stelle an der du die 
magnetische Flussdichte bestimmen willst.
Tip: Feldlinien um einen runden Leiter sind rund.
Wenn du einen andersförmigen Leiter hast, kannst du entweder schätzen 
oder durch Integralrechnung lösen...

[Mario K. (Gast)]

Lm =2Pixr so würd ich das ausrechnen dazu müßtest du den Durchmesser 
ausmessen (mit ein Messschieber z.B) und die Anzahl der Windung eine.

[Mandrake (Gast)]

Das könntest du mit dem magn. Durchflutungsgesetz ausrechnen:

$$\oint H ds = \sum I_o$$

Oder nochmal in Worten:

Das Umlaufintegral entlang einer geschlossenen Kontur (s) über die magn 
Feldstärke (H) ist gleich der vorzeichenbehafteten Summe der durch die 
Kontur umfassten Stromstärken (I).

Wenn man nun den Strom (I) durch das Integral der Stromdichte (S) über 
die vom Strom senkrecht durchflossene Fläche (A) ersetzt bekommt

$$\oint H ds = \int S dA$$

Gehen wir nun mal vom einfachsten Fall aus, dass deine Stromdichte im 
Leiter konstant ist.

Also

$$S = \frac{I_{gesamt}}{\pi R^2}$$

Die Fläche durch die der Strom fließt:

$$A = \pi \cdot r^2$$

$$\frac{dA}{dr} = 2 \pi \cdot r$$

$$dA = 2 \pi \cdot r \cdot dr$$

So die rechte Seite hätten wir schon soweit.
Jetzt zur Linken:

Wählen wir unsere geschlossene Kontur so, dass wir genau entlang einer 
Feldlinie gehen und diese ein Kreis ist.

So gilt:

$$s = 2 \pi \cdot r$$

$$\frac{ds}{dr} = 2 \pi$$

$$ds = 2 \pi \cdot dr$$

Weiter gehen wir davon aus, dass H nicht von ds abhängig ist.
Dann lautet jetzt die Gleichung

$$H \cdot 2 \pi \oint dr = \frac{I_{gesamt}}{\pi R^2} \cdot 2 \pi \int r \cdot dr$$

Vereinfachen wir und rechnen wir aus...

$$H = B / \mu = \frac{I_{gesamt} \cdot r}{2\pi R^2}$$

Die Gleichung gilt aber nur im Bereich [0 <= r <= R] wobei R der Radius 
des Leiters ist. Für r > R gilt dann eine andere Gleichung weil um den 
Leiter die Stromdichte Null ist. Für µ muss nur noch die richtige 
Materialkonstante eingesetzt werden.


Gruß

Mandrake

Anmerkung:
H, ds, S, dA sind normalerweise Vektoren, die in den og Gleichungen per 
Skalarprodukt verkettet sind. Ich gehe hier davon aus, das H || ds und S 
|| dA sind. Somit geht das Skalarprodukt in das normale Produkt über. 
Sonst muss tatsächlich das Integral im Vektorfeld gelöst werden.