schiefe Ebenen

[Franz (Gast)]

Hallo,

angenommen, man würde zwei Kugeln reibungsfrei von den Bahnen rollen 
lassen, die in der Abbildung zu sehen sind. Mich interessiert, wie man 
allgemein bestimmen kann, welche Kugel schneller ist. Vermutung: Beide 
Kugeln sind gleich schnell.

Überlegung:
Man bestimmt eine Funktion, die x, dem horizontalen Weg, die 
Hangabtriebskraft zuordnet. Dabei ist die Hangabtriebskraft um so 
großer, um so steiler die Bahn an einer Stelle ist.
Das Integral dieser Funktion ist ein Maß für die verrichtete Arbeit, die 
in Bewegungsarbeit steckt.
Da die Flächen gleich groß sein werden, egal wie die Bahn geformt ist, 
müssten die Geschwindigkeiten also gleich sein.

Richtig?

Franz

[Franz (Gast)]

Nachtrag:

Vergleicht man die Fallzeiten, müsste die Zeit rechts kleiner sein, weil 
eine hohe Beschleunigung schon direkt am Anfang wirkt.

[Jürgen F. (unterstrom)]

Hallo,
deine Überlegung ist leider nicht richtig; dein Nachtrag schon eher.
Die Sache mit den Fallzeiten (besser: Rollzeiten) war schon vor 
Jahrhunderten ein Problem; es ist als Brachistochronenproblem bekannt.
Google mal danach.
z.B.: http://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone

Jürgen

[Füsicker (Gast)]

Wenn Du Reibungsfreiheit annimmst, brauchst Du Dir um die Kurvenform 
keine Gedanken zu machen!
Du mußt nur die Fallgesetze beachen (freier Fall).
Also, angenommen, die Kugel startet aus der Höhe h (Ausgangsniveau der 
Ebene), dann gilt:

$$h = {1\over 2}\ g\ t^2$$

(gleichmäßig beschleunigte Bewegung, g: Erdbeschleunigung).

So, jetzt stellst Du das mal nach t um:

$$t = \sqrt{{2\ h}\over g}$$

t ist also die Zeit, welche die Kugel braucht, um die Bahn zu passieren. 
Die Kurvenform geht nicht ein!
Wenn Du das Ganze allerdings mit Reibung betrachten willst, wird's 
schwieriger. Dann mußt Du Kurvenform und Reibkoeffizienten 
berücksichtigen.

[Johann L. (gjlayde)]

Füsicker schrieb:
> Wenn Du Reibungsfreiheit annimmst, brauchst Du Dir um die Kurvenform
> keine Gedanken zu machen!
>
> So, jetzt stellst Du das mal nach t um:
>

$$t = \sqrt{{2\ h}\over g}$$

>
> t ist also die Zeit, welche die Kugel braucht, um die Bahn zu passieren.
> Die Kurvenform geht nicht ein!

Das ist nicht korrekt, denn es wirkt nur die Komponente von g, die in 
Bewegungsrichtung zeigt (bzw, parallel dazu ist). Die 
Normalen-Komponente von g hat keinen Einfluss auf die Bewegung, was 
deine Formel unterschlägt. Deine Formel ist dann korrekt, wenn das Ding 
frei fällt, was hier aber nicht der Fall ist.

Johann

[Johann L. (gjlayde)]

Jürgen Franz schrieb:
> Hallo,
> deine Überlegung ist leider nicht richtig; dein Nachtrag schon eher.
> Die Sache mit den Fallzeiten (besser: Rollzeiten) war schon vor
> Jahrhunderten ein Problem; es ist als Brachistochronenproblem bekannt.
> Google mal danach.
> z.B.: http://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone

Dazu sei engemerkt, daß bei dieser Lösung keine rollende Kugel 
betrachtet wird! Bzw. das Trägheitsmoment wird =0 gesetzt. Mit einer 
rollenden Kugel wird die Betrachtung komplizierter, weil man nicht nur 
potentielle und kinetische Energie zu betrachten hat, sondern auch die 
der Rotation:

$$0 = E_\text{kinetisch} + E_\text{potentiell} + E_\text{rotation}$$

Damit erhält man eine etwas andere Gleichung, nämlich

$$0 = \frac{1}{2} \, \left(m+\frac J{r^2}\right) \, \left(\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\right)^2 \left(1 + \left(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right)^2 \right) + m \cdot g \cdot y(x)$$

Damit kann man nun weiterrechnen, wobei r der Radius der Kugel ist und J 
ihr Trägheitsmoment. Im Gegensatz zu einer nicht-rotierenden Masse kürzt 
diese sich nun nicht mehr aus der Formel heraus, und man muss sie mit in 
den Lagrange-Mechanismus hineinschleppen.

Johann

[Jochen64 (Gast)]

Ist es nicht ganz einfach so, das in beiden Fällen die gleiche Höhe - 
also potentielle Energie - komplett in Geschwindigkeit + Rotation, also 
kinetische Energie, umgesetzt wird?
Demnach wäre in beiden Fällen die Endgeschwindigkeit gleich, wegen der 
Energieerhaltung.

[pfft. (Gast)]

Eine reibungsfrei rollende Kugel hat kein Massentraegheitsmoment von 
Null.  Das ist der gesammte Witz der Aufgabe. Und nein, die 
Endgeschwindigkeiten sind nicht gleich.

[Benedikt K. (benedikt)]

http://www.hcrs.at/KUGEL.HTM

[Johann L. (gjlayde)]

Jochen64 schrieb:
> Ist es nicht ganz einfach so, das in beiden Fällen die gleiche Höhe -
> also potentielle Energie - komplett in Geschwindigkeit + Rotation, also
> kinetische Energie, umgesetzt wird?
> Demnach wäre in beiden Fällen die Endgeschwindigkeit gleich, wegen der
> Energieerhaltung.

Ja, aus dem Grund sind die Endgeschwindigkeiten gleich. Zuminsest dann, 
wenn es keine Reibung gibt und die Kugel nicht schlittert.

Allerding ist in OP nicht gesagt, was "schnell" bedeuten soll. In Beiden 
Fällen sind die Kugeln gleich schnell (im Endpunkt) trotzdem gewinnt 
eine Rennen, sie erreicht also vor der anderen das Ziel und ist damit im 
landläufigen Sinne schneller.

Johann

[Tommi H. (drmota)]

Benedikt K. schrieb:
> http://www.hcrs.at/KUGEL.HTM

Interessanter Link ist das

Die Kugel B wird aber irgendwann auch hinter Kugel A ankommen. Nämlich 
dann wenn die Mulde tief genug ist.

[Jürgen F. (unterstrom)]

> Allerding ist in OP nicht gesagt, was "schnell" bedeuten soll.

Im Fall von: welche Kugel ist unten schneller:
Beide Kugeln sind gleich schnell (Geschwindigkeiten sind gleich)

Im Fall von: welche Kugel ist schneller unten:
Die rechte Kugel wird schneller unten sein (Fallzeiten sind ungleich, 
Brachistochronenproblem)

Jürgen

[Füsicker (Gast)]

Mensch Johann, Du bist vielleicht ein Käpsele ... Chapeau, Chapeau...

Warum ist denn die Betrachtung analog zum freien Fall nicht 
gerechtfertigt? Wir haben doch keine Reibung.
Oder wie wärs mit dem Energieerhaltungssatz?

Also, wenn die Kugel die Bahn durchlaufen hat, gilt doch:

$$W_{kin} = W_{pot}$$

$${1\over 2}\ m\ v^2 = m\ g\ h$$

Daraus nun:

$$v = \sqrt{2\ g\ h}$$

WOHLGEMERKT: Ohne Reibung!

In diese Formel für v geht weder Masse noch Bahnverlauf ein.

[Johann L. (gjlayde)]

Füsicker schrieb:
> Mensch Johann, Du bist vielleicht ein Käpsele ... Chapeau, Chapeau...
>
> Warum ist denn die Betrachtung analog zum freien Fall nicht
> gerechtfertigt? Wir haben doch keine Reibung.
> Oder wie wärs mit dem Energieerhaltungssatz?

Steht oben. Da:
   Beitrag "Re: schiefe Ebenen"

>

$$v = \sqrt{2\ g\ h}$$

> WOHLGEMERKT: Ohne Reibung!
>
> In diese Formel für v geht weder Masse noch Bahnverlauf ein.

Das die Endgeschwindigkeit unabhängig vom Bahnverlauf ist steht oben. 
Auch mit Begründing. Was nicht geht, ist deine Betrachtung für die Zeit, 
die du in
   Beitrag "Re: schiefe Ebenen"
gemacht hast. Denn da geht der Bahnverlauf sehr wohl ein, und die 
dortige Betrachtung ist nicht korrekt. Und Zeit ist nun mal was anderes 
als Gecshwindigkeit...

Lesen hilft. Manchmal ;-)

Johann

[Karl H. (kbuchegg)]

Füsicker schrieb:
> Mensch Johann, Du bist vielleicht ein Käpsele ... Chapeau, Chapeau...
>
> Warum ist denn die Betrachtung analog zum freien Fall nicht
> gerechtfertigt?

Weil es nun mal kein freier Fall ist.
Wenn es so wäre, dann wäre ja die Zeit die beim freien Fall benötigt 
wird und die Zeit die zum Abrollen auf einer Ebene benötigt wird, 
gleich.

Das kann aber offensichtlich nicht stimmen. Je weniger die Ebene geneigt 
ist, desto länger benötigt die Kugel, bis sie eine bestimmte 
Höhendifferenz überwunden hat (und alle Kugelbahnen für Kinder wären 
nutzlos, da in ein paar Zehntelsekunden der ganze Spass der rollenden 
Kugel vorbei wäre).

Geh ins Extrem: lass die Kugel eine Ebene mit einer Neigung von 0 Grad 
'runterlaufen'. Die Kugel braucht offensichtlich unendlich lange um 
dabei eine Höhendifferenz von 1 Meter zu überwinden. Im freien Fall 
schafft sie das aber in einer knappen halben Sekunde.


Das ist aber nur die Betrachtung: Wie /*lange*/ braucht die Kugel.
Eine andere Frage ist: Mit welcher /*Geschwindigkeit*/ kommt sie unten 
an.

Aber deine ursprüngliche Formel war ja:
t = sqrt( 2*h/g)
also die Frage nach der Zeit, wie lange die Kugel unterwegs ist.

[Karl H. (kbuchegg)]

Karl heinz Buchegger schrieb:

> Geh ins Extrem: lass die Kugel eine Ebene mit einer Neigung von 0 Grad
> 'runterlaufen'. Die Kugel braucht offensichtlich unendlich lange um
> dabei eine Höhendifferenz von 1 Meter zu überwinden. Im freien Fall
> schafft sie das aber in einer knappen halben Sekunde.

Eine amüsante Konsequenz:
Um 1 Meter aus dem Stillstand heraus zu durchfallen, benötigt die Kugel 
rund 0.45 Sekunden.

Jetzt nehmen wir eine schiefe Ebene, die 0.5 Grad geneigt ist und 
ebenfalls 1 Meter Höhendifferenz herstellt.
Wenn die Kugel diese Ebene in derselben Zeit wie im freien Fall 
durchlaufen könnte, dann hätten wir:

  Länge der Kugelbahn  1 / sin(0.5) = 114.5 Meter

und um die in 0.45 Sekunden zu bewältigen, benötigt die Kugel (ich 
rechne jetzt unbeschleunigt) eine Geschwindigkeit von 254 m/s oder 916 
km/h.
Beschleunigt gerechnet kommt das doppelte raus: 1832 km/h.
Nicht schlecht für eine kleine Kugel auf einer schiefen Ebene!

[Johann L. (gjlayde)]

Karl heinz Buchegger schrieb:

> Beschleunigt gerechnet kommt das doppelte raus: 1832 km/h.
> Nicht schlecht für eine kleine Kugel auf einer schiefen Ebene!

Vor allem muss die Kugel dann noch das Kunststück vollbringen, den 
Energiesatz zu erfüllen. Also ganz schnell die geborgte kinetische 
Energie wieder irgendwo parken ;-)

Johann