Kondensator - mathematisches Problem

[Jürgen G. (jugagu)]

Hallo Problemlöser,

ich bin bei folgender Aufgabe mit meinen Mathe-Kenntnissen am Ende:

Ein Kondensator mit 0,015 F soll über einen Widerstand mit 1000 Ohm
in 10 Sekunden von 3 Volt auf 8 Volt aufgeladen werden. Wie hoch ist
die Betriebsspannung (UB) zu wählen?

Das Problem:

Die Grundformel Umax = UB*(1-EXP(-t/(R*C))) kann nur bei einer Aufladung 
von 0 auf Umax angewendet werden. Somit ergeben sich zwei Unbekannte, 
nämlich UB und tx (die Zeit für die Aufladung auf 3 Volt). Ich kann zwar 
zwei Gleichungen für UB aufstellen und durch Gleichsetzung dieser UB 
eliminieren. Ich erhalte dann allerdings eine Formel, in der mehrfach tx 
im Exponenten vorhanden ist. Die Aufgabe lässt sich dann nur mittles 
Solver ermitteln (zumindest mit meinen Kenntnissen).

Kann mir jemand bei diesem Problem weiterhelfen?

[Christian L. (lorio)]

Denk dir die 3 Volt einfach als nicht besonders wichtiger "Offset".
Im Endeffekt das gleiche Problem:

Ein Kondensator mit 0,015 F soll über einen Widerstand mit 1000 Ohm
in 10 Sekunden von 0 Volt auf 5 Volt aufgeladen werden. Wie hoch ist
die Betriebsspannung (UB) zu wählen?

Die Lösung deines Problems ist die Lösung dieses Problem plus 3 Volt.

Gruß
Christian

[Jürgen G. (jugagu)]

Einfach genial !!!

Deine Lösung ist absolut korrekt (auf 7 Nachkommastellen gerechnet).

Da die Zeit für eine Aufladung von 0 auf 5 Volt durch die e-Kurve 
natürlich nicht der von 3 auf 8 Volt entspricht, muss ich mir die 
(mathematische) Logig noch erarbeiten. Es wäre nett, wenn du mir hierzu 
noch kurz auf die Sprünge helfen würdest. Aber auch ohne dies möchte ich 
mich für deine Bemühungen schon ganz herzlich bedanken.

[Michael (Gast)]

Entweder man passt sich sein Potential an oder man rechnet lustig drauf 
los, d.h.:

Erstmal die Zeit ausrechnen, die es für drei Volt benötigt, dann die 
Zeit berechnen die es für acht Volt braucht. Natürlich symbolisch. Dann 
muss man nur noch beides subtrahieren und als Differenzzeit 10s 
eintragen. schon sollte Ub ausrechenbar sein.

Wenn ich mich jetzt auf die Schnelle net vertan hab müsste da etwa 
rauskommen

$$U_B=\frac{U_1-U_2*e^{\frac{t_2-t_1}{RC}}}{1-e^{\frac{t_2-t_1}{RC}}}=13.02V$$

[Michael (Gast)]

Ahh, wie hat sich denn die "0" eingeschlichen, es müssten 13.2757, 
sofern man auf vier Nachkommastellen genau sein will, sein.

[Gast (Gast)]

Mit Mathe hat dsas weniger zu tun, sondern mit Verständnis:

Die 3V sind in diesem Falle deine Bezugsspannung (GND potential). Nun 
musst du einen Einheitssprung der Eingangsspannung von 3V auf eine 
Unbekannte Spannung anlegen um die Ladung zu bewirken.
Die Sprungantwort eines P-T1 Systemes (Das ist dieses RC Glied) ist 
immer identisch. ob du nun einen Sprung von 0V auf 5V machst, oder von 
5V auf 10V ist dabei vollkommen egal.

[Falk B. (falk)]

@  Jürgen Ganguin (jugagu)

>noch kurz auf die Sprünge helfen würdest.

Ist doch einfach.

Du hast eine Funktion. Und du hast zwei definierte Punkte (Wertepaare), 
durch welche die Funktion verläuft. Macht zwei Gleichungen mit zwei 
Unbekannten. Sollte machbar sein.

$$U=U_0 \cdot e^{\frac{-t}{\tau}}$$

$$\tau = R \cdot C = 1k * 0,015F = 15s$$

1. Punkt

$$3=U_0 \cdot e^{\frac{-t_1}{\tau}}$$

2. Punkt

$$8=U_0 \cdot e^{\frac{-t_1+10}{\tau}}$$

Beide Gleichungen nach t1 umstellen und gleichsetzen, heraus kommt Uo.

MfG
Falk

[Michael (Gast)]

Und die Lösung steht schon oben, Falk ;)

[Michael (Gast)]

PS: Bei dir fehlt das "1-"