Hey Leute, brauch mal ne gedankliche Hilfestellung. Mir ist klar wie die Radontransformation funktioniert und kann diese auch interpretieren. In DFT/FFT bin ich auch fit. Nur fehlt mir die Vorstellung, warum eine Radontransformation über eine 2D FFT anschließenden Koordinatentransformation (kartesisch -> polar + Interpolation) und anschließende 1D IFFT berechenbar ist. Also von den mathematischen Formelumstellung ist das klar. Nur wie man sich den Zusammenhang vorstellt ist mir noch nicht 100%'ig klar. Liegt aber alles am Fourier Zentralscheiben Theorem. Hat jemand ne gute Erklärung? Gruß Alexander.
Hallo Alexander, ich versuche mal Deine Fragestellung zu raten, indem ich das für mich anhand meiner alten Literatur noch mal nachvollziehe. Zunächst: die Grundlage der Radon-Transformation ist das Projektionstheorem. Die Radon-Transormierte ist ja die Gesamtheit aller Projektionen, z. B. bei einer CT. * Nur kurz zusammengefasst, damit die Begriffe klar sind: 1) Grundlage ist zunächst die Tatsache, dass die Absorptionskoeffizienten eines Körpers bestimmt werden können, wenn man den Körper von allen Seiten durchleuchtet, das Intensitätsprofil aufzeichnet und das sich ergebene Gleichungssystem löst. Der diskrete Fall ... I_0 -> |µ11|µ12| -> I_1 I_0 -> |µ21|µ22| -> I_2 führt nach Drehung um jeweils 90° auf ein Gleichungssystem: I_1 = I_0 exp(-(µ11-µ12)dx) I_2 = I_0 exp(-(µ21+µ22)dx) ... (Kombinationen für alle Winkel) Die Nachteile dieser diskreten Betrachtungsweise (großes Gl.-System, num. Instabilität) führen zu 2). 2) Im kontinuierlichen Fall werden diese Gleichungen zu Scharen aus Integralen längs eines winkelabhängigen Weges (Projektionen): Intensitätsfunktion(Abstand, Winkel) = Integral(Dämpfungsfunktion(x,y)) längs des winkelabhängigen Weges Also durch die Messung gegeben: Eine Intensitätsfunktion, die von (Abstand, Winkel) abhängt Zu bestimmen: Die Dämpfungsfunktion der durchleuchteten Fläche in Abhängigkeit der kartes. Koordinaten (x,y) Das Linienintegral (besser die Schar) lässt sich nun nach Koordinatentransformation in ein Produkt von Fouriertransformationen schreiben. Soweit das Bekannte. * Interpretationen: Projektionstheorem Es geht um Transformationen. Transformationen vermitteln zwischen mathematischen Räumen. Hier dem Projektionsraum und dem Transformationsraum. Die Fouriertransformierten FÜR einen gegeben Winkel im Projektionsraum entsprechen der Fouriertransformierten im Transformationsraum ENTLANG des gegebenen Winkels - das ist das Projektionstheorem. Im Klartext: Führe eine FT für einen Messwert FÜR bestimmten Winkel durch und Du erhältst die FT des Intensitätsprofils ENTLANG dieses Winkels. (Natürlich immer in der Gesamtheit der Messwerte gesehen). Koordinatensysteme Sie haben mit dem eigentlichen Geschehen zunächst nicht viel zu tun. Die Messung des Intensitätsprofils erfolgt in Polarkoordinaten; für die Berechnung der Rückprojektion sind kartes. Koordinaten erforderlich, weil die DFT im Kartesischen 'spielt', d. h. das DFT-Raster muss auf Werte 'treffen', die aus einer Messung per Rotation stammen. Daher werden die Intensitätsprofile aus den Messungen interpoliert. Was wird daraus? Wir reden nun von inversen Transformationen, d. h. aus Projektionen (Intensitätsmessungen) werden Rekonstruktionen eines 2-Dim. Gebiets (Rückprojektionen). Das war ja das Ziel - ein Objekt von allen Seiten durchleuchten und dann auf sein Innenleben zu schließen. Das das Linienintegral - also die kontinuierliche Schreibweise des diskreten Gleichungssystems als Produkt zweier FTs schreibbar war, wurde schnell klar. Durch die Berücksichtigung unterschiedlicher Koordinatensysteme kamen in den FTs radiusabhängige Koeffizienten ins Spiel und wir so zu unserer Radon-Transformierten. Dabei mussten wir Federn lassen: Die ursprüngliche Integration über -Unendlich bis +Unendlich im kartes. Raum, zwang uns schrittweise zu Integrationsbereichen 0..2Pi, -Pi..Pi, bis zu Koeffizienten K in Abhängigkeit des Durchleuchtungsradius. Was soll das olle K in den FTs? Wir reden ja nun eigentlich über ein Intergral mal Koeffizienten K. Diese K sind nichts anderes als Filter. Per Rückprojektionen projizieren wir Messwertprofile in dem xy-Gebiet, indem wir die Fouriertransformierte mit Filterkoeffizienten multiplizieren und die Gesamtheit überlagern. Etwas elektrotechnischer oder warum die Koeffizienten K Filter sind: Die Messung der Intensitäten des rotierenden Gebiets ergibt nichts anderes als ein Spektrum. Dieses Spektrum soll uns etwas über das Innenleben (die infinitesimalen Absorbtionskoeffizeinten) des Gebietes sagen. Das ist Projektionstheorem. Wir finden ein Spektrum im Ortsbereich, denn unsere Messung ist eine Messung Amplitude/Ort. Die (dikretisierten) Bereiche sind Amplituden im Spektrum multipliziert mit Filterkoeffizienten K. Das ist eine Filterung. Was ist dise Filterung im Frequenzraum? Eine Faltung. Warum? Weil die inverse FT genau der Faltungskern der Filterf'on |K| ist. Was bringt das? Spiele an der Filterfunktion und Du modifizierst, beispielsweise eine CT: - TP: Grundstrukturen - HP: Feinheiten - BP: Gezielte Untersuchungen Mit Sicherheit keine gute Erklärung - trotzdem - ich hoffe mein Geschreibsel bringt Dir trotzdem was. Gruß, Nils
Hey Danke Nils, sehr ausführlich. Was ich brauche ist die Hintransformation. Die inverse Radon (wie bei CT notwendig) benötige ich im Moment nicht. Also laß mich kurz zusammenfassen: Ich mache eine 2D FFT/DFT und erhalte ein 2D Spektrum. Der Grundgedanke ist, dass eine Projektion mit Winkel 0° genau der Fouriertransformierten entspricht. (Zentralscheiben-Theorem) Mal angenommen ich habe genau eine Linie parallel zur x-Achse. Dann sollte folgendes Spektrum entstehen: Spektrum x-Richtung: Nur Zeile 0 enthällt Werte (DC Anteil) Spektrum y-Richtung: Spaltfunktion da Linie einer Deltafunktion entspricht. Beide Richtungen überlagert ergibt dann mein Ausgangsspektrum. Nun führe ich die Projektion bei 0° durch und erhalte für Zeile 0 meine Funktionswerte (Zeile 0 enthält im Spektrum DC-Anteil). Anschließend drehe ich meine Projektionseben. Neue Projektion durchführen und unter genau dem Winkel in mein Spektrum eintragen. Bei 45° dürft ich als Projektion etwas annäherndes wie ein rechtwinkliges Dreieck erhalten. Was ich nicht verstehe ist: Bei genau 90° habe ich als Projektion nur noch einen Peak. Im Spektrum müsste ich doch nun aber die Spaltfunktion sehen??? Bild im Ortsraum: ooo = Linie ######################## # | # # | # # | ooooooo # # | # # | # #----------------------# # | # # | # # | # # | # # | # ######################## Gruß Alex
Hallo Alex,
> Spektrum y-Richtung: Spaltfunktion da Linie einer Deltafunktion entspricht.
Wenn mich meine Anschauung nicht veräppelt, würdest Du die Spaltfunktion
erhalten, wenn Du für die Linie eine Linie mit endlicher Breite nimmst
(was ja numerisch immer der Fall ist). Wenn Du das mit der 'echten'
Delta-F'on rechnest, sollte eine Konstante rauskommen.
Liege ich da falsch?
Gruß,
Nils
Absolut richtig! Da die Deltafunktion unendlich kurz ist, besitzt sie Ausblendeigenschaft und hat ein unendliches Spektrum, also eine Linie da alle Frequenzen enthalten sind. Erst wenn ich ein Rechteck draus mache wird es zu einer Spaltfunktion. Kleiner Denkfehler. Danke. Nach dem ich also die 2D FFT durchgeführt habe, habe ich alle Projektionen bestimmt. Diese findet man wieder, wenn man eine Ebene durch den Ursprung legt und diese um einen Winkel Phi dreht, dann kann man die Projektion aus dem Spektrum ablesen. Lieg ich richtig? Wenn man die Koordinatenumwandlung weg lässt, müsste man eine inverse 1D FFT auf genau dieser gedrehten Ebene für alle Winkel Phi durchführen. Für diesen Schritt fehlt mir noch die Vorstellung. Denn wenn jede Projektion bereits auf einer um Phi gedrehten Ebene liegt, bräuchte ich diese doch nur in ein Diagramm r,Phi zu schreiben und hätte die Radontransformierte. Oder sollten etwa die komplexen Werte in Polarkoordinaten aufgetragen werden? Und dann ist immer noch die inverse 1D FFT offen.
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47 KB
> Wenn man die Koordinatenumwandlung weg lässt, müsste man eine inverse 1D > FFT auf genau dieser gedrehten Ebene für alle Winkel Phi durchführen. Da kann ich Dir nicht ganz folgen. Es ist doch so: Deine Messwerte, mit denen Du in die FFT rein gehst sind in Polarkoordinaten. Die FFT selbst setzt kartesische Koordinaten voraus. Die kleine (schlampige) Skizze deutet das an: Die Fouriertransformierte der Projektion sind durch die roten kleinen Kreise gekennzeichnet. Die diskrete FT benötigt aber Werte im kartes. Raster (blau). In der Praxis muss daher interpoliert werden, bevor man in die FFT reingeht. Mit anderen Worten: die Interpolation findet im Koordinatenraum statt und nicht im Transformationsraum. Erst dann geht es in die FFT. Kann es sein, das da das Problem liegt? Die Sache mit der inversen 1D FFT folgt ja aus dem Projektionstheorem: 1-Dim FT der Projektion = 2-Dim FT für einen gegebenen Projektionswinkel Phi. Die Gesamtheit der Projektionen für alle Winkel Phi ist dann die Radon-Transformierte. Ich überlege, ob man sich das vorstellen kann: Wenn ich auf Fourierentwicklungen für bestimmte Winkel aus bin, kann ich natürlich das fragliche Gebiet f(x,y) für jeden Winkel entwickeln. Dabei integriert man das gesamte Gebiet für jede Koordinate und benötigt also eine 2-Dim FT. Das ist aber überflüssig, weil es reicht, die Projektion für den fraglichen Winkel zu betrachten. Ich benötige also nur eine FT entlang der Projektion. Das Wissen über das gesamte Gebiet entsteht aus allen Winkeln - der Radon-Transformierten. Ich hoffe, ich habe jetzt nicht an Deinem Problem vorbeigeredet. Ansonsten schildere doch mal, was Du genau vor hast.
Also ich meine das schon etwas anders. Mein Ausgangsdatum ist ein Bild 2D und kartesisch. Jetzt führe ich eine 2D-FFT durch. Im Transformationsraum bin ich immer noch kartesisch. Da ja eine 1D-FFT von einer Projektion mit Winkel phi gleich der 2D-FFT entlang einer Linie durch den Koordinatenursprung um den Winkel phi gedreht ist, folgt nun: Die 2D-FFT habe ich bereits, nur entlang einer Linie ebend noch nicht. Dies geht einfach durch Wandlung in Polarkoordinaten. OK. Jetzt muss das noch mit der inversen 1D-FFT zurücktransformiert werden. Übrig bleibt die Projektion. Die 1D-FFT wird auf jeden Polarwinkel meiner 2D-FFT angewendet. Ich glaub das ist des Rätsels Lösung. Interpolieren muss ich natürlich bei den Polarkoordinaten, da mit größerwerdendem Abstand natürlich immer mehr Werte für benachbarte Winkel entfallen. Bzw.gibt es Winkel, die nicht genau auf meinen gewünschten Projektionswinkelstücken liegen. Fraglich ist jetzt nur wie man das am besten umsetzt??? Also 2DFFT auf ein Bild ist kein Problem. Einfach 2-mal ne 1D-FFT laufen lassen. Ein wenig schmalz muss man natürlich in die Polarkoordinaten und der Interpolation stecken. Ich würde dann einfach spaltenweise meine Polarkoordinaten anreihen.(Also jede Spalte für ein bestimmten Winkel 0...360°) Da man nur eine Auswahl von Winkeln verwendet, müssen Ergebnisse mit nicht 100% zutreffenden Winkelangaben interpoliert werden. OK. Letzter Schritt ist dann eine spaltenweise 1D-IFFT um wieder aus dem Transformationsraum zurück zu kehren. Ich glaub jetzt hab ich es verstanden. Danke für die Diskussion. Gruß Alexander
>>Ich glaub jetzt hab ich es verstanden.
Ich noch nicht. Kannst/willst Du Deinen Code posten für die Bilder vom
15. !?
THX
Cheers
Detlef
:
Wiederhergestellt durch Admin
Oh, es gibt auch Mitleser, wie schön. Anbei das M-File. Das Eingangsbild muss ein Grauwertbild der Größe 50x50x3 Pixel sein, da ich das Intensitätsbild aus Farbkanal 1 sofort übernehme. Ansonsten musst du den Code anpassen. Wie gesagt, das Prinzip der Radontransformation ist sehr einfach. Kann man sich auch gut erklären. Ich habe für die Erklärungsversuche nicht die Projektionsebene gedreht, sondern das Bild an sich. Anschließend immer alle Zeilen von links nach rechts integriert (aufsummiert). Diese Spalte habe ich dann in ein Koordinatensystem gelegt f(r,phi). Und nun das Ursprungsbild um den Winkel phi drehen und immer von links nach rechts aufsummieren und diese Spalte an der entsprechenden Stelle im f(r,phi) Koordinatensystem ablegen. Anbei dazu noch ein kleines Bild. Nur die Berechnung über FFT ist eher schwierig. Der eigentliche geistige Knacks ist das Fourier Slice Theorem. Gruß Alexander
Alex, Du wirst's nicht glauben, aber es gibt noch einen Mitleser ;-) ! Irgendwie erinnert mich die Radon-Transformierte an die Hough-Transformierte einer um 45 Grad geneigten Geraden. Ist das Zufall? Gruss, Harald
Angehängte Dateien:
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polar_skizze.png
3,7 KB
Hallo Alex, ok, ich denke ich habe verstanden was Du vor hast: Die 2Dim-FT bildet den Koordinatenraum für Deine Radon-Transformierte. Du führst nun eine inverse FT entlang r für jeden Winkel Phi durch, um Dein Gebiet zu rekonstruieren. Korrekt? Dann müsstest Du auf einem komplexwertigem Gebiet interpolieren. Der einfachste Ansatz wäre eine lineare Interpolation. Bei den oben erwähnten CT-Anwendungen arbeitet man mit Polynomen oder Splines - aber da ist die Problemstellung ja anders (man hat Messungen aus einem rotierenden System und muss in kartes. Koord. um die FFT durchzuführen). Vielleicht ist es ja eine Schnapsidee, aber man könnte so eine Art Mittelwertbildung machen. In der angefügten Skizze ist das 2Dim-FT-Raster blau. Es geht darum, einen Wert in dem Raster aus C1, C2, C3, C4 für P(r,Phi) zu interpolieren. Die C1 bis C4 sind komplexwertig aus der 2D-FT. Dann könnte man die Werte mit Hilfe einer Abstandsfunktion D gewichten: P(r,Phi) = (D(C1,P)*C1 + D(C2,P)*C2 + D(C3,P)*C3 + D(C4,P)*C4)/4 Dabei ist das D auf 1 normiert, d. h. D(C,P) = 1, falls Abstand minimal. Natürlicher wäre es vielleicht mit einem quadratischen Abstands-Begriff zu spielen. Ich bin mir nicht sicher, inwieweit das pratikabel für Dich ist. Gruß, Nils
@Nils: Du liegst absolut richtig. So meinte ich es. Wenn ich deine Interpolation verstehe, machst du folgendes: Berechnung des Schwerpunktes an der Stelle P. Für die entsprechende Wichtung verwendest du den Abstand zwischen dem gesuchten Punkt P und den jeweileigen C1-C4. Anschließend den komplexen Wert in Polarkoordinatensystem eintragen. Somit kann man sich selbst die Winkelaufteilung für die Berechnung wählen. Dürfte eigentlich so gehen. Echt super. Wenn ich mal bissel mehr Zeit hätte würde ich versuchen das Ganze mal zu proggen. Hab zwar schon einige FFT-Algorithmen in C/Basic und ASM geschrieben aber en M-File solltes für die Interpolation sollte es erst mal tun. Möchte das ganze am Ende mal auf nem µC-Integrieren. @Harald: Hey Mitleser :-) Also du hast das Erfasst. Bin über Hough auf die Radontransformation gekommen. Und musste dann feststellen, daß der Herr Hough sich vielleicht doch ganz schön mit fremden Blumen schmückt. Die Hough-Transformation ist lediglich eine simple Abwandlung der Radontr. Bzw.hat sich Hough einen Spezialfall zu nutzen gemacht. Gruß Alexander
@Alex: > Berechnung des Schwerpunktes an der Stelle P. Das trifft es. > Möchte das ganze am Ende mal auf nem µC-Integrieren. Das meinte ich mit 'praktikabel'. Könnte auf einem µC zeitkritisch werden. > Wenn ich mal bissel mehr Zeit hätte... Geht mir genauso. Berichte doch weiter, wenn Du weiter gekommen bist. Hört sich sehr interessant an, was Du da machst. Gruß, Nils
Moin, Moin, also hab mir das wie folgt gedacht: Winkelschritt festlegen: delta phi = 5° Wertebereich der Y-Achse in Radonebene:
Jetzt müssen alle r für jeden Winkelschritt von phi durchlaufen werden.
1 | delta_phi=5; |
2 | r_max = sqrt(power(x-1,2)+power(y-1,2)); |
3 | for(phi=0;phi<360;phi+= delta_phi) |
4 | {for(r=1;r<= r_max;r++) |
5 | {x1=r*cos(phi); |
6 | y1=r*sin(phi); |
7 | //Interpolation
|
8 | }
|
9 | }
|
Auf die Punkte C1...C4 kommt man eigentlich auch ganz leicht. C1(x,y) = [RoundDown(x1);RoundUp(y1)] C2(x,y) = [RoundUp(x1);RoundUp(y1)] C3(x,y) = [RoundDown(x1);RoundDown(y1)] C4(x,y) = [RoundUp(x1);RoundDown(Y1)] Nun die Abstände:
Nun deine Formel für die Gewichtsfunktion im Punkt P:
Alle Punkte C1-C4 und der Punkt P(x,y) sind natürlich komplex. Der Ergebniswert wird dann in eine Matrix POL[r,phi] eingetragen. Jetzt noch die IFFT spaltenweise (also für alle phi). Na mal schauen was Matlab zu der Überlegung sagt...
Ach ja, in meinem M-File ist ein Fehler. Ich habe dort nicht kartesisch zu Polar transformiert sondern die komplexen Frequenzen nach Betrag und Phase ausgegeben. Dies ist natürlich falsch.
Der Ursprung für die Polarkoordinaten muss ja nun eigentlich in der Mitte des Bildes(Frequenzraum) liegen??? FT=FFT2(image) [xmax ymax] = size(FT) Für die Polarkoordinatenberechnung des Punktes P(r,phi) als Beispiel sei r=2 und phi = 45° --> x=1.41 y=1.41 also liegt der Punkt zwischen C1(1,2);C2(2,2);C3(1,1);C4(2,1). Die Wichtung kann auch berechnet werden. Der Ursprung liegt doch nun in der Bildmitte. Also ist P(2,45°)=(dC1*C1(xmax/2+xC1, ymax/2+yC1)..../(dC1+dC2+dC3+dC4) Liege ich da richtig? Muss ich das komplette Spektrum verwenden? Ich denke mal ja. Somit wäre im Quadrant I das Spektrum für x,y. Im Quadrant IV dann der gespiegelte Spektralteil (gespiegelt an der x-Achse).
Alex, Deine FFT sollte eigentlich die Frequenzen von -f_max bis +f_max umfassen, d.h. der Nullpunkt sollte in der Mitte der Realwert-Achse (x-Achse) liegen. Genauso müssten die Phasen, also der Imaginärteil, alle Werte zwischen -180° und +180° umfassen, d.h. der Nullpunkt sollte in der Mitte der Imaginärwert-Achse (y-Achse) liegen. In der angehängten pdf-Datei findest Du auch den Vorschlag für eine alternative Interpolationsmethode. Bin ein bisschen in Eile, deshalb alles nur in Kurzform; ich hoffe Du kannst es trotzdem lesen ;-). Ciao Harald.
> Der Ursprung für die Polarkoordinaten muss ja nun eigentlich in der > Mitte des Bildes(Frequenzraum) liegen??? Ja, hätte ich so vorausgesetzt. Ansonsten kriegst Du einen Verschiebungsvektor bei der Polarumrechnung rein, der Dir Deine IFFT ziemlich erschweren würde. Das hat Harald ja beschrieben. > Muss ich das komplette Spektrum verwenden? Wenn Du es prinzipiell meinst: Für die Rekonstruktion des Gebiets auf jeden Fall. Die Information über das Gebiets ist ja durch die 2D-FT 'integral formuliert'. Wenn Du das in Richtung Optimierung meinst: Da grüble ich auch drüber nach. Eigentlich reicht es ja die benachbarten Gitterpunkte entlang des Radiusvektors für jeden Winkel zu betrachten. Dafür fällt mir aber kein schlauer Algorithmus ein (außer ganz brachial die interpolierten Werte in ein Array zu schreiben und dann der IFFT mundgerecht zu servieren. Aber das ist nicht wirklich toll). Aber in einem Schritt? Dein P(x,y) ist richtig normiert. Wie gesagt, wenn das nicht gut funktioniert, könnte man auch ein quadratisches Mittel versuchen. Vielleicht liefert Haralds lineare Interpolation ja schon gute Ergebnisse - das müsste man probieren. Mein 'Gefühl' bei der Sache ist aber, dass ein gewichtetes quadratisches Mittel optimal wäre, weil dies (salopp gesagt) zum Abstandsbegriff der Fouriertransformation passt. > Somit wäre im Quadrant I das Spektrum für x,y. Im Quadrant > IV dann der gespiegelte Spektralteil (gespiegelt an der x-Achse). Wieso? Gibt es Symmetrien, die ich übersehe?
Alex, wie Nils schon sagt: Die gesamte verfügbare Information ist in den x*y Zahlen der 2D FFT vollständig enthalten - mehr gibt's nicht. Auch durch Interpolation kann man nicht mehr herausholen: Das ist genauso, als wenn Du ein Foto vergrösserst und dabei zwischen den Bildpunkten interpolierst. Es kommen keine zusätzlichen Details zum Vorschein, sondern das Bild wird immer flauer, weil sich dieselbe Informationsmenge auf eine grössere Bildfläche verteilt. @Nils, ich hab' mal versucht, Deinen Vorschlag der quadratischen Gewichtung umzusetzen, weil er tatsächlich mit Ausdrücken hantiert, die der FFT angemessener sind. Die Schwierigkeit entsteht beim Normieren: Der grösste mögliche Abstand ist die Diagonale, darauf muss die Distanz normiert werden. Das hat aber zur Folge, dass z.B. im Punkt (x1,y1) mit dem Wert c1, die Gewichte der Punkte c2 bei (x1+1,y1) und c3 bei (x1,y+1) nicht gleich Null sind. Betrachte ich jetzt das Quadrat links daneben und berechne den interpolierten Wert im Punkt (x1-e,y1), dann bekomme ich Beiträge von c1 und c3 aber auch vom Punkt c1' bei (x1-1,y1). Deshalb gibt's auf dem Rand zwischen den benachbarten "Punktquadraten" bei starken Gradienten einen Sprung. Oder mach' ich einen Fehler? Ciao, Harald.
@Harald Nur kurz von mir, da es ja schon spät/früh ist: In der Diskussion habe ich die Interpolation nur kurz angerissen und etwas nebulös auf die Umsetzung hingewiesen. Mein erster Gedanke dabei war, dass man die Ränder jeweils vorbesetzen muss, bzw. gesondert betrachtet. Im Grunde genommen werden die Gewichte auf dem Rand maximal und fallen zur Mitte eines Rasters hin ab - dass muss stetig passieren. Da hast Du den Finger genau in die Wunde gelegt - ich denke Deine Überlegungen sind richtig. Ich hoffe ich finde etwas Zeit das genauer zu überlegen - wahrscheinlich sind Alex und Du bei der Lösung wieder schneller. Gruß, Nils
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