Komplexe Rechnung- Drehstreckung

[Thomas B. (detritus)]

Seit kurzem habe ich im Studium nach langer Zeit wieder mit komplexen 
Zahlen zu tun und steh da bei einem bestimmten Sachverhalt voll aufm 
Schlauch.

Wir ham mal im Zuge der komplexen Zahlen gelernt, dass z.B.

$$e^{j\frac{\pi}{2}}\sin(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$$

d.h. Drehstreckung des rotierenden sin-Zeigers durch nen komplexen 
Faktor, in diesem Fall eben nur Drehung.

Mir gehts nun um die Eulerformel

$$e^{jx}=\cos(x)+j\sin(x)$$

mit

$$j=e^{j\frac{\pi}{2}}$$

also

$$e^{jx}=\cos(x)+e^{j\frac{\pi}{2}}\sin(x)$$

Benutze ich nun die oberste Formel, erhalte ich

$$e^{jx}=2\cos(x)$$

und das sieht eben einfach nicht mehr richtig aus bzw. ist so auch 
nirgends zu finden.

Sieht wer den Denkfehler?

[Arc N. (arc)]

exp(i * pi/2) * sin(x) = i sin(x), exp(i*pi/2) = i
und nicht sin(x + pi/2)

[Delete M. (skywalker)]

Sehe ich auch so, die erste Zeile ist falsch.

[Thomas B. (detritus)]

Hm ok, die fand ich schon immer etwas suspekt... Wir haben damit zwar 
durchaus gerechnet, aber nur in einer recht beschränkten Anwendung.

Wenn ich also allgemein vor sowas

$$(a+jb)*\sin(wt)$$

stehe, dann kann ich es nicht in eine rein reelle Darstellung umformen?