Verständnisproblem Summenzeichen

[Tobias (Gast)]

Hallo,

ich habe ein Verständnisproblem mit folgender Summenfunktion.

$$E_{skin}=\sum_{\lambda=380}^{\lambda=3000} E_{\lambda} * \Delta \lambda$$

Meine Interprätation wäre folgende:

$$E_{skin}= E_{380}*2620 + E_{381}*2620 + ... + E_{3000}*2620$$

Verstehe ich das so mit dem

$$\Delta$$

 richtig?
Oder wie würdet ihr das interpretieren?

Zur Erklärung:
Es geht hier um Grenzwerte (aus EU-Richtlinie) zur maximalen optischen 
Bestrahlungsstärke. Folgende Erläuterungen gibt es noch:

$$E_{\lambda}$$

 spektrale Bestrahlungsstärke oder spektrale Leistungsdichte: die auf 
eine Fläche enfallende Strahlungsleistung je Flächeneinheit, ausgedrückt 
in Watt pro Quadratmeter pro Nanometer.

$$\Delta_{\lambda}$$

 Bandbreite der Berechnungs- oder Messintervalle, ausgedrückt in 
Nanometern

[Karl H. (kbuchegg)]

Tobias schrieb:

> Verstehe ich das so mit dem

$$\Delta$$

 richtig?
> Oder wie würdet ihr das interpretieren?

Als Delta.
Und Delta bezeichnet in der Technik meistens eine Differenz

Bei deinem Beispiel wäre delta lambda gleich 1

$$E_{skin}= E_{380}*1 + E_{381}*1 + ... + E_{3000}*1$$

wenn du allerdings eine höhere Bandbreite hast, zb 2, dann hättest du

$$E_{skin}= E_{380}*2 + E_{382}*2 + ... + E_{3000}*2$$

Beachte wie sich der Index beim E immer um 2 erhöht. Du hast daher nur 
die Hälfte der Summenglieder. Aber dafür multiplizierst du ja auch jedes 
Glied mit 2, so dass in Summe (in etwa) wieder das gleiche rauskommt. Je 
größer allerdings das delta wird, desto mehr entfernt sich die Endsumme 
vom Wert bei delta 1.
Das sollte aber auch klar sein. Messe ich die Energieverteilung bei 
vielen Wellenlängen, dann erhalte ich ein genaueres Bild, als wie wenn 
ich (im Extremfall) nur bei einer Wellenlänge messe.

Die Umkehrung des Prozesses, also das Delta immer kleiner werden zu 
lassen, ist genau das was im Mathematikunterricht von Summenberechnungen 
über den Begriff des Grenzwertes zum Integral führt.

[Tobias (Gast)]

Ah, ich glaube ich verstehe verstehe. Würde ich folgenderweise 
summieren, dann wäre das delta 10, oder?

Eskin = E380*10 + E390*10 + ... + E3000*10

[Tobias (Gast)]

Super, danke für die ausführliche und schnelle Erklärung.

[Karl H. (kbuchegg)]

Tobias schrieb:
> Ah, ich glaube ich verstehe verstehe. Würde ich folgenderweise
> summieren, dann wäre das delta 10, oder?
>
> Eskin = E380*10 + E390*10 + ... + E3000*10

Ganz genau.

Stell dir einfach eine Kurve vor, die die Energieverteilung über den 
Wellenlängen repräsentiert.

Was du ausrechnen willst, ist die Fläche unter der Kurve.

Da die Kurve aber keiner Formel genügt, macht man das so, dass man unter 
die Kurve Rechtecke reinlegt. Die komplette Fläche wird dann durch die 
Summe der Flächen der Rechtecke angenähert. Wie groß ist so ein 
Rechteck? Entlang der y-Achse wird ein Rechteck durch den Messwert 
Eirgendwas beschrieben. Entlang der x-Achse ist es die Breite des 
Rechtecks. Misst du den E Wert nun alle 5 Nanometer, dann ist ein 
Rechteck logischerweise 5 Nanometer breit und hat als Fläche

   Eirgendwas * 5

Oder im allgemeinen Fall   Eirgendwas * delta lambda

Du willst die Summe über alle Rechtecke und damit ergibt sich dann die 
Summenformel so wie sie ist.

[Sven P. (Gast)]

Das nennt man dann Ober- bzw. Untersumme. Macht man den Grenzübergang 
für

$$E_{skin}=\lim_{\Delta\lambda\to 0} \sum_{\lambda=380}^{\lambda=3000} E_{\lambda} \cdot \Delta \lambda$$

so hat man quasi das Integral

$$E_{skin} = \int\limits_{380}^{3000} E_\lambda d\lambda$$

Wenn ich mich nicht irre.

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

ich denke aus physikalischer Sicht ist uns allen klar was mit der 
Gleichung von Tobias beabsichtigt ist. Allerdings läuft in Euren 
Kommentaren mathematisch doch einiges durcheinander. Ihr könnt doch 
nicht einfach bestimmen, dass der Summationsindex um den Wert 2, 5, 10 
oder ... steigt! Der Wert mit dem der Summationsindex der Reihe nach 
belegt wird ist vorgeschrieben. In dem Beispiel von Tobias heißt dies 
Lambda = 380, Lambda = 381, Lambda = 382 usw. Die von Tobias erwähnte 
Gleichung macht (physikalisch) folglich nur für DeltaLambda = 1 Sinn. 
Wobei hier natürlich noch entsprechende Einheiten zu berücksichtigen 
sind (auch beim Summationsindex). Mathematisch korrekt wäre z. B. die 
Intervalle durchzunummerieren und den Summationsindex über diese 
Nummerierung laufen zu lassen.

Vermutlich wurde hier versucht ein Integral durch eine Summe zu 
ersetzen. Aus meiner Sicht ist die Summe jedoch recht "unglücklich" 
formuliert.

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Daniel V. (volte)]

> Vermutlich wurde hier versucht ein Integral durch eine Summe zu
> ersetzen. Aus meiner Sicht ist die Summe jedoch recht "unglücklich"
> formuliert.

Das glaub ich auch eher.
Die oben angegebene Gleichung würde ich auf den ersten Blick so 
verstehen.

E380 * 2620 + E381*2619..........

Da der Index ja erhöht wird, könnte man meinen, dass sich auch das Delta 
somit verkleinert, hmmm.

Aber, dass hier nur ein Integral umzuschreiben versucht wurde, wird 
schon stimmen. ;-)

[Sven P. (Gast)]

Naja, ursprünglich ist von einer Messreihe die Rede. Da dürfte ein 
Integral recht unbequem sein, wenn man nicht herummodellieren und 
interpolieren möchte.

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

@Daniel
DeltaLambda ist nicht vom Summationsindex abhängig. DeltaLambda bleibt 
daher bei der Bildung der Summe konstant. Dieser Wert könnte sogar aus 
der Summe "herausgezogen" werden.

@Sven
> Da dürfte ein Integral recht unbequem sein, ...
Stimmt, allerdings wird vermutlich auch nur sehr selten die spektrale 
Bestrahlungsstärke mit einer Bandbreite von 1 (nm) vermessen. Wie 
bereits erwähnt wäre es glücklicher gewesen den Summationsindex über die 
Nummerierung der Intervalle laufen zu lassen.

Mit freundlichen Grüßen
Guido