Matrix Potenzreihe

[Stefan H. (cheeco)]

Hallo,

für meine Diplomarbeit habe ich eine Formel gefunden, die sehr nützlich 
ist. Ich kann sie herleiten und habe sie auch numerisch überprüft. 
Allerdings ist es eine unendliche Summe von Matritzen, und bis unendlich 
summiert selbst Matlab recht lange :o)
Ich möchte jetzt einen geschlossenen Ausdruck für die Formel haben, bzw. 
ich möchte halt nicht mehr bis unendlich summieren müssen.

Die Summenformel lautet:

$$\sum_{i=0}^{\infty}{A^i B Q B^T (A^T)^i}$$

Die Matrix Q ist Diagonal
Die Matrix A hat negative Eigenwerte (größtenfalls 0)
Die Matrix B hat keine besondern Einschaften.

Wer hat irgendwelche Tipps wie man das Teil lösen kann? Welche 
Vorraussetzungen müssen getroffen werden, damit man dieses Teil lösen 
kann?

Ich würde mich wirklich freuen, wenn jemand diesen Ausdruck lösen kann. 
Ich würde die Lösung dann natürlich auch in meine Diplomarbeit 
übernehmen und den Autor namentlich erwähnen, falls das gewünscht wird.

Viele Grüße und danke fürs knobeln,

Stefan


P.S.: Es gilt wohl

$$\sum_{i=0}^{\infty}{A^i} = (I-A)^{-1}$$

[Purzel H. (hacky)]

Wie war das nochmals : Lineare Algebra 4 ...
BQBt ist eine transformierte Matrix. Deren Eigenwerte veraendern sich 
durch die Transformation nicht. Nein ... nicht ganz.
AiQAit ist die transformierte Matrix. Nun muesste man B und Ai noch 
kommutieren... tun die das ?

Da war doch noch was mit Potenzreihen und der Exponentialfunktion. Fuer 
die Exponentialfunktion hab ich schon mal so einen aehnlichen Beweis 
gesehen.

[Stefan H. (cheeco)]

Also wenn du meinst ob in diesem speziellen Fall A*B = B*A ist, muss ich 
dich (oder besser gesagt mich) leider enttäuschen. Bei meinem 
Referenzbeispiel hat das leider nicht funktioniert :(

[Läubi .. (laeubi)]

Stefan Heindel schrieb:
> Ich kann sie herleiten
Vielleicht gibt die Herleitung ja einen Aufschluss

> und habe sie auch numerisch überprüft.
Hä? Hast du einfach alle möglichen Werte ausgerechnet?  ;)

> Allerdings ist es eine unendliche Summe von Matritzen, und bis unendlich
> summiert selbst Matlab recht lange :o)
So lange kann es ja nicht sein wenn du die Formel schon überprüft hast 
;)

> Ich möchte jetzt einen geschlossenen Ausdruck für die Formel haben, bzw.
> ich möchte halt nicht mehr bis unendlich summieren müssen.
Frag Chuck Norris, der hat schon bis unendlich gezählt... zwei mal!

Im Ernst: Was lässt dich den überhaupt annehmen es gäbe eine 
geschlossene Form?

[D. I. (Gast)]

frag mal bei den kollegen bei matroid, wenn dies nicht wissen gibt es 
keine geschlossene form

[Purzel H. (hacky)]

Darf man wenigstens voraussetzten, dass B eine unitaere 
Transformationsmatrix ist ? Denn dann wuerde die Spur von Q erhalten 
bleiben.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

$$X=\sum_{i=0}^{\infty}{A^i B Q B^T (A^T)^i}$$

ist eine unendliche geometrische Reihe. Auflösen des Summenzeichens
führt zur Gleichung

$$X-AXA^T=BQB^T$$

Die Gleichung setzt keine speziellen Eigenschaften der Matrizen A, B und
Q voraus.

Beim Auflösen der Gleichung nach X verlassen mich allerdings meine
Kräfte ;-)

Liegt die Größe der Matrizen fest, kann man natürlich das Gleichungssys-
tem für die einzelnen Elemente von X aufstellen und lösen. Vielleicht
findet jemand einen direkt Weg, ohne auf die Elementebene abzutauchen.

[Simon K. (simon)]

Bin ich eigentlich der Einzige, der kein Wort versteht. ;)

[Purzel H. (hacky)]

Lineare Algebra auf diesem Level ist wahrscheinlich Mathematikern und 
Physikern vorbehalten. Wenn man sich auf tieferer Stufe mit konvergenten 
Reihen beschaeftigt, untersucht man da die Konvergenz von Folgen von 
parametrisierten Reihen oder Konvergenzen von Matritzenreihen, 
Matritzenprodukten. Ist schon noch spannend.

[Stefan H. (cheeco)]

Alter Schwede,

danke erstmal für eure Antworten. Die Formel von Yalu ist ja ein bischen 
vom Himmel gefallen, hab davon nicht viel gehalten.. bis ich 
spaßeshalber mal ein bischen in Matlab rumgespielt hab und auf den 
Befehl "lyap" gestoßen bin:

 LYAP  Solve continuous-time Lyapunov equations.
 
    X = LYAP(A,Q) solves the Lyapunov matrix equation:
 
        A*X + X*A' + Q = 0
 
    X = LYAP(A,B,C) solves the Sylvester equation:
 
        A*X + X*B + C = 0
 
    X = LYAP(A,Q,[],E) solves the generalized Lyapunov equation:
 
        A*X*E' + E*X*A' + Q = 0    where Q is symmetric

dann hab ich gesehen dass die Formel ja im Grunde die Form von der 
"Sylvester Equation" hat, wenn man die Gleichung von Yalu mit A^(-1) 
multipliziert. Dann hat man

A_sylv = A^(-1)
B_sylv = -A'
C_sylv = -A^(-1)*B*Q*B'

Naja, ich hab das einfach mal in Matlab eingehackt und mir ist fast die 
Kinnlade runtergefallen als da wirklich die richtigen Werte rausgekommen 
sind!! Yalu, du bist ein echt krasser Typ! Du hast soeben gerade die 
Kovarianzmatrix P0 eines idealen Kalman-Filters bestimmt! Sag mal 
würdest du mir vielleicht nen Hinweis geben, wie man von meiner 
Gleichung auf deine Gleichung kommt? Wirst auch in meiner Diplomarbeit 
erwähnt, falls du das wünschst!

Stefan

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Stefan Heindel schrieb:
> Yalu, du bist ein echt krasser Typ!

Danke für das Kompliment :D

> Du hast soeben gerade die Kovarianzmatrix P0 eines idealen
> Kalman-Filters bestimmt!

Aha. Ich dachte, dass bzgl. des Kalman-Filters schon seit zig Jahren
alles gesagt sei. Das kann man doch sicher alles irgendwo nachlesen.

> Sag mal würdest du mir vielleicht nen Hinweis geben, wie man von
> meiner Gleichung auf deine Gleichung kommt?

Da ist eigentlich nichts Besonderes dabei. Ich habe oben schon geschrie-
ben, dass das eine geometrische Reihe sei. Diese lässt sich rekursiv
darstellen, wenn man aus allen Summanden bis auf den ersten den gemein-
samen Faktor ausklammert. Das ist schon alles.

Formal und ausführlich geht das so:

Deine Gleichung ...

$$X=\sum_{i=0}^\infty A^i B Q B^T (A^T)^i$$

Ersten Summanden (den mit i=0) vor das Summenzeichen stellen:

$$X=BQB^T+\sum_{i=1}^\infty A^i B Q B^T (A^T)^i$$

Von den Potenzen von A und AT jeweils einen Faktor abspalten:

$$X=BQB^T+\sum_{i=1}^\infty A A^{i-1} B Q B^T (A^T)^{i-1}A^T$$

A und AT aus der Summe ausklammern:

$$X=BQB^T+A\left(\sum_{i=1}^\infty A^{i-1} B Q B^T (A^T)^{i-1}\right)A^T$$

Laufindex i durch i+1 ersetzen, so dass die Summe wieder bei i=0
anfängt:

$$X=BQB^T+A\left(\sum_{i=0}^\infty A^i B Q B^T (A^T)^i\right)A^T$$

Erkennen, dass die innere Summe gleich X ist:

$$X=BQB^T+AXA^T$$

A X AT subtrahieren:

$$X-AXA^T=BQB^T$$

... meine Gleichung.

Dein Hinweis mit der Sylverster-Gleichung ist gut: Er legt nahe, dass
die Lösung dieser Gleichung tatsächlich nicht allgemein als Term von A,
B und Q dargestellt werden kann. Das habe ich nicht gewusst, weil ich um
lineare Algebra immer einen weiten Bogen mache und mich deswegen nicht
besonders gut damit auskenne. Jetzt habe ich also auch noch etwas
dazugelernt und brauche mir nicht mehr den Kopf darüber zu zerbrechen :)

> Wirst auch in meiner Diplomarbeit erwähnt, falls du das wünschst!

Nee, lass mal. Da wärst du einen Tag später sicher selber auf die Lösung
gekommen.

Edit: Was mich noch interessieren würde: Was studierst du, und was ist
das Thema deiner Arbeit?

[D. I. (Gast)]

Mathe Magic, immer wieder faszinierend

[Purzel H. (hacky)]

Echt genial die Umformung. Das konnt ich auch mal...