Tensorprodukt dritter Stufe

[Walter T. (nicolas)]

Hallo zusammen,

ich habe hier ein Tensorprodukt dritter Stufe, das ungefähr so aussieht:

$$\int A\,\vec{X} \otimes A\,\vec{X} \otimes A\,\vec{X} \;dV$$

(A ist eine konstante Matrix, X ein Vektor).
Ich kenne A, ich kenne X aber nicht. Was ist kenne sind aber die 
folgenden Groessen:

$$\int \;dV, \qquad \int \vec{X} \;dV, \qquad \int \vec{X} \otimes \vec{X}\;V, \qquad \int \vec{X} \otimes \vec{X} \otimes \vec{X} \;dV$$

Was ich suche ist also die R"uckf"uhrung der obigen Form auf die 
genannten Größen, vermutlich etwas in der Form wie:

$$\int A\,\vec{X} \otimes A\,\vec{X} \otimes A\,\vec{X} \;dV = B \left(\int \vec{X} \otimes \vec{X} \otimes \vec{X} \;dV\right) \;C$$

Ich gebe zu, daß dies in einem Elektronikforum eigentlich nichts zu 
suchen hat - aber das haben ja Mogelpackungen normal auch nicht :-).

Hat vielleicht jemand einen Tip?

Viele Grüße
Nicolas

[Reg P. (regprofi)]

Guckst du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Produkt

Demnach ist deine Lösung:

$$\int AX \otimes AX\otimes AX\;dV = \left(A\otimes A\otimes A\right)\int X\otimes X\otimes X\;dV$$

Verrätst du uns auch noch, wofür du das brauchst?

[Walter T. (nicolas)]

Hallo Reg Profi,

(verwandt mit Reg Schuh?), vielen Dank für die Antwort. Ausgeschlafen 
und wenn man die Lösung vorgesetzt bekommt sieht plötzlich alles ganz 
logisch aus. Und läßt sich dann auch aus

$$A\,C \otimes B\,D = (A \otimes B)\,(C \otimes D)$$

herleiten. Vielen Dank, Du hast mir den Morgen noch süßer als der Kaffee 
bereitet!

Wofür ich das brauche hat leider überhaupt nichts mit Elektronik, 
sondern mit reiner Mechanik zu tun.

$$\int \;dV, \qquad \int \vec{X} \;dV, \qquad \int \vec{X} \otimes \vec{X}\;V, \qquad \int \vec{X} \otimes \vec{X} \otimes \vec{X} \;dV$$

sind das statische Moment nullter Ordnung (Volumen), erster Ordnung 
(statisches Moment), zweiter Ordnung (Eulertensor) und dritter Ordnung 
(kenne ich keinen Namen).

Wenn ich die Flaeche mit diesen Momenten drehen und skalieren will, 
wende ich auf X die Transformation A an, also:

$$\vec{X}^* = A\,\vec{X}$$

(und auf die Integrationsgrenzen). Woraus sich dann das 
Transformationsgesetz

$$\int_{X^*} \vec{X}^* \otimes \vec{X}^* \otimes \vec{X}^* dV = \int_{X} A\,\vec{X} \otimes A\,\vec{X} \otimes A\,\vec{X} \,||A|| \;dV = (A \otimes A \otimes A) \,\int_{X} \vec{X} \otimes \vec{X} \otimes \vec{X} \,||A|| \;dV$$

ergibt. (Nur für den Fall, daß das nochmal jemand sucht.)

Gebraucht wird das ganze für eine kleine Finite-Elemente Routine für 
Balkenstrukturen. Die Terme mit dem Moment dritter Ordnung werden fast 
immer weggelassen, bei mir sind sie jetzt drin (waren sie vorher auch, 
nur nur komponentenweise aufgeschrieben).

Einen schönen Tag wünscht
Nicolas