Frequenz eines Vco berechnen

[newb (Gast)]

Hallo,

wie kann ich die Frequenz meiner Rechteckspannung an einem Vco 
berechnen?

[Düsendieb (Gast)]

Operationsverstärker Multivibrator bei Google eingeben und den Artikel 
Operationsverstärker-Grundschaltungen lesen.

Axel

[Nobody (Gast)]

Und, Falk hat das sicher nur übersehen, 
http://www.mikrocontroller.net/articles/Bildformate beachten.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Rechnet man das RDSon des Mosfets zu R5 mit hinzu, ist die Frequenz

$$f=\frac{R_2(R_1R_4-R_2R_5)(R_6+R_7)}{R_1^2R_4(R_2+R_4)R_6C} \cdot \frac{U_\mathrm E}{U_\mathrm{AH}-U_\mathrm{AL}}$$

UE ist dabei die Eingangsspannung am Anschluss "in", UAH die maximale
und UAL die minimale Ausgangsspannung des rechten OpAmps.

Eine symmetrische Ausgangsspannung (Tastverhältnis 50%) erhält man mit

$$R_5=\frac{R_1R_4}{2R_2}$$

Die Frequenz ist dann

$$f=\frac{R_2(R_6+R_7)}{2R_1(R_2+R_4)R_6C} \cdot \frac{U_\mathrm E}{U_\mathrm{AH}-U_\mathrm{AL}}$$

Zu diesen Ergebnissen kommt man, wenn man zuerst die Spannungsanstiegs-
(R5 aktiv) und -abfallgeschwindigkeit (R5 inaktiv) am Ausgang des durch
den linken OpAmp gebildeten Integrieres und die Hysterese des Schmitt-
Triggers auf der rechten Seite berechnet. Aus beidem zusammen ergeben
sich die High- und die Low-Dauer am Ausgang.

[newb (Gast)]

Hy,

vielen Dank für die Formeln. Das ist echt klasse. Kannst du mir aber 
noch sagen, aus welchen Formeln ich mir die Frequenz selber berechnen 
kann?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

newb schrieb:
> Kannst du mir aber noch sagen, aus welchen Formeln ich mir die
> Frequenz selber berechnen kann?

Im letzten Beitrag habe ich den Rechenweg ja schon kurz angerissen.

Kurz zur Funktionsweise der Schaltung, falls sie noch nicht ganz klar
sein sollte:

Der linke OpAmp arbeitet als Integrierer. Im Gegensatz zum gewöhnlichen,
invertierenden Integrierer

  http://de.wikipedia.org/wiki/Operationsverst%C3%A4rker#Integrierer

kann er je nach Dimensionierung von R1, R2, R4 und R5 auch nichtinver-
tierend betrieben werden. Das Umschalten zwischen invertierendem und
nichtinvertierendem Betrieb geschieht mit dem Mosfet, der R5 entweder
wegschaltet (Mosfet sperrt) oder mit GND verbindet (Mosfet leitet). Bei
konstanter Eingangsspannung liefert der Integrierer also entweder ein
linear abfallendes oder ein linear ansteigendes Signal am Ausgang.

Dieses Signal wird auf den invertierenden Schmitt-Trigger rechts
gegeben. Hier

  http://de.wikipedia.org/wiki/Schmitt-Trigger#Invertierender_Schmitt-Trigger

wird gezeigt, wie man die obere und die untere Schaltschwelle berechnet.
Steigt das Ausgangssignal des Integrierers an, wird irgendwann die obere
Schaltschwelle erreicht, was einen Wechsel des Schmitt-Trigger-Ausgangs
von high (maximale positive Ausgangsspannung des OpAmps) nach low
(maximale negative Spannung) bewirkt.

Der Low-Pegel sperrt den Mosfet und trennt damit R5 von GND. Jetzt
arbeitet der Integrierer invertierend, so dass seine Ausgangsspannung
linear fällt, bis die untere Schaltschwelle des Schmitt-Triggers
erreicht ist. Der Schmitt-Trigger-Ausgangsspannung springt auf high, so
dass der Mosfet leitend wird und R5 mit GND verbindet. Jetzt arbeitet
der Integrierer wieder nichtinvertierend, und das Spiel beginnt von
neuem.

Am Ausgang des Integrierers entsteht also ein (nicht notwendigerweise
symmetrisches) Dreieckssignal, dessen Anstiegs- und Abfallgeschwindig-
keit proportional zur Eingangsspannung (die integriert wird) ist. Dieses
Dreieckssignal pendelt zwischen der unteren und der oberen Schaltschwel-
le des Schmitt-Triggers hin und her.

Um die Zeitdauern zwischen den Schaltvorgängen zu ermitteln, muss man
erst die Anstiegs- und Abfallgeschwindigkeit berechnen:

Die Spannung U1 am nichtinvertierenden Eingang des linken OpAmps ergibt
sich aus der Eingangsspannung und den als Spannungsteiler geschalteten
Widerständen R2 und R4:

$$U_1=\frac{R_4}{R_2+R_4}\cdot U_\mathrm E$$

Die gleiche Spannung erscheint wegen der Gegenkopplung auch am invertie-
renden Eingang. Der Strom, der durch R1 in die Schaltung hineinfließt
ist also

$$I_1=\frac{U_\mathrm E-U_1}{R_1}$$

Ist der Ausgangspegel des Schmitt-Triggers low und damit der Mosfet
gesperrt, fließt der gesamte Strom I1 durch den Kondensator

$$I_\mathrm {CL} = I_1$$

was am Ausgang des Integrierers eine Spannungsanstiegsgeschwindigkeit
von

$$\dot U_{2\mathrm L}=-\frac{I_\mathrm{CL}}C$$

— wegen des negativen Vorzeichens also eine linear fallende Spannung —
ergibt.

Ist der Ausgangspegel des Schmitt-Triggers high und damit der Mosfet
leitend, fließt ein Strom über R5 nach GND ab. Der Strom durch den
Kondensator ist jetzt

$$I_\mathrm {CH} = I_1 - \frac{U_1}{R_5}$$

R5 wird so gewählt, dass I_CH negativ und damit die Anstiegsgeschwin-
digkeit am Ausgang

$$\dot U_{2\mathrm H}=-\frac{I_\mathrm{CH}}C$$

positiv wird.

Mit diesen Informationen dürfte es dir nicht mehr schwer fallen, die
Ansteigs- und die Abfallzeit des Dreiecksignals und daraus die Frequenz
zu berechnen.

[newb (Gast)]

Hy Yalu,

vielen Dank. Das ist ja echt genial wie du das erklärst. Super!

Mit der Schaltung komm ich immer besser zurecht. Aber eines kann ich 
noch nicht so richtig deuten.

In den Datenblättern wird immer angegeben das der Wiederstand R5 gleich 
R1/2 betragen soll (bzw. R1 = 2*R5). DAmit erhalte ich ein 
Tastverhältnis von genau 50%. In deinem ersten Beitrag hast du eine 
Formel für die Dimensionierung angegeben. Wie komme ich darauf?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

newb schrieb:
> In den Datenblättern wird immer angegeben das der Wiederstand R5 gleich
> R1/2 betragen soll (bzw. R1 = 2*R5).

In welchen Datenblättern?

Das ist jedenfalls dann richtig, wenn R4=R2 ist. Die Rechnung in meinem
ersten Beitrag geht von beliebigen R2 und R4 aus, deswegen hängt R5 auch
von diesen beiden Widerständen ab.

> In deinem ersten Beitrag hast du eine Formel für die Dimensionierung
> angegeben. Wie komme ich darauf?

Indem du einfach I_CH=-I_CL setzt, so dass der Strom durch den Kondensa-
tor in der High-Phase entgegengesetzt gleich dem Strom in der Low-Phase
ist. Dann ist die Abfallgeschwindigkeit gleich der Anstiegsgeschwindig-
keit und damit die Abfallzeit gleich der Anstiegszeit.

Im italienischen Wikipedia ist übrigens die Frequenz für R4=R2, R5=R1/2,
R7=R6, U_AH=+VCC und U_AL=-VCC angegeben.

  http://it.wikipedia.org/wiki/Oscillatore_controllato_in_tensione#Calcolo_della_frequenza

[newb (Gast)]

Hy,

ich hab nochmal eine Frage zur berechnung der Frequenz. Ist es richtig, 
dass ich die Formel zur Aufladung des Kondensators, bzw die Formel zur 
Entladung des Kondensators nehme und diese dann nach t umstelle?

In diese Formel setze ich dann U2h bzw. U2l als momentanen Wetr ein?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

newb schrieb:
> Ist es richtig, dass ich die Formel zur Aufladung des Kondensators,
> bzw die Formel zur Entladung des Kondensators nehme und diese dann
> nach t umstelle?

Ja, du musst aber die richtige Formel nehmen, also nicht die, wo der
Kondensator über einen Vorwiderstand mit einer konstanten Spannung,
geladen wird und die Ladekurve eine Exponentialfunktion ist.

In diesem Fall ist der Ladestrom während der High- bzw. Low-Phase
konstant und damit die Ladekurve eine Gerade. Die Anstiegszeit, also die
Zeit, in der die Ausgangsspannung U2 des Integrierers von U_AL bis U_AH
steigt, ist deswegen einfach

$$t_\mathrm H = \frac{U_\mathrm{AH}-U_\mathrm{AL}}{\dot U_{2\mathrm H}}$$

Wie man auf die im Nenner auftauchende Anstiegsgeschwindigkeit kommt,
steht in meinem letzten Beitrag.

Edit (Fehlerkorrektur):

In diesem Beitrag müssen U_AH und U_AL (Ausgangsspannungen des Schmitt-
Triggers durch U_SH bzw. U_SL (Schaltschwellen des Schmitt-Triggers)
ersetzt werden. Richtig heißt der obige Text und die Formel so:

In diesem Fall ist der Ladestrom während der High- bzw. Low-Phase
konstant und damit die Ladekurve eine Gerade. Die Anstiegszeit, also die
Zeit, in der die Ausgangsspannung U2 des Integrierers von U_SL bis U_SH
steigt, ist deswegen einfach

$$t_\mathrm H = \frac{U_\mathrm{SH}-U_\mathrm{SL}}{\dot U_{2\mathrm H}}= \frac{U_\mathrm{AH}-U_\mathrm{AL}}{\dot U_{2\mathrm H}}\cdot \frac{R_6}{R_6+R_7}$$

[Neuer (Gast)]

AAh,

und in diese Formel setze ich dann für U2h die Formeln aus dem oberen 
Beitrag ein. Und die gleiche Formel benutze ich auch für t_low ?

Und dazu muss ich noch die Hysterese des Scmitt-Triggers addieren.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Autsch, in meinem letzten Beitrag hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Damit künftig niemand darüberstolpert, habe ich die Korrektur gleich vor
Ort in einem Edit-Abschnitt angefügt.

Neuer schrieb:
> und in diese Formel setze ich dann für U2h die Formeln aus dem oberen
> Beitrag ein.

Ja, es muss aber U̇2h (mit einem Punkt darüber) heißen, das ist die
zeitliche Veränderung von U2 während der High-Phase.

> Und die gleiche Formel benutze ich auch für t_low ?

So ist es.

> Und dazu muss ich noch die Hysterese des Scmitt-Triggers addieren.

In der korrigierten Formel steckt die Hysterese in Form von
U_SH-U_SL bereits drin.

[newb (Gast)]

Sooo,

auch ich hab jetzt die Formatierung gefunden. Los geht´s ;-)
Ich hab einen Hänger in der Formelumstellung zur Frequenz. Ich addiere 
beide Zeiten:

$$f = \frac {1}{T} = \frac {1}{t_H + t_L}$$

Wenn ich nun beide Brüche einsetze komme ich zu:

$$f = (U_{2H} + U_{2L}) \cdot \frac {1}{U_{AH} - U_{AL}} \cdot \frac {R_6 + R_7}{R_6}$$

Setze ich nun

$$\frac {I_{CH}}{C} ; \frac {I_{CL}}{C}$$

 ein und da wiederum

$$I_{CL} = {I_1}$$

und

$$I_{CH} = I_1 - \frac {U_1}{R_5}$$

kommt man zu

$$f = (-2 \cdot I_1 + \frac {U_1}{R_5}) \cdot \frac {1}{C} \cdot \frac {1}{U_{AH} - U_{AL}} \cdot \frac {R_6 + R_7}{R_6}$$

ist das bis dahin erstmal richtig?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

newb schrieb:
> auch ich hab jetzt die Formatierung gefunden.

Schön, damit diskutiert es sich viel leichter :)

> Wenn ich nun beide Brüche einsetze komme ich zu:

$$f = (U_{2H} + U_{2L}) \cdot \frac {1}{U_{AH} - U_{AL}} \cdot \frac {R_6 + R_7}{R_6}$$

Das stimmt nicht. Erstens sind bei tL die Rollen von USH und USL und
damit auch von UAH und UAL vertauscht (in meiner Formel vom 23.5. müssen
zur Berechnung von tL alle H und L vertauscht werden. Es ist also

$$t_\mathrm H = \frac{U_\mathrm{SH}-U_\mathrm{SL}}{\dot U_{2\mathrm H}}= \frac{U_\mathrm{AH}-U_\mathrm{AL}}{\dot U_{2\mathrm H}}\cdot \frac{R_6}{R_6+R_7}$$

und

$$t_\mathrm L = \frac{U_\mathrm{SL}-U_\mathrm{SH}}{\dot U_{2\mathrm L}}= \frac{U_\mathrm{AL}-U_\mathrm{AH}}{\dot U_{2\mathrm L}}\cdot \frac{R_6}{R_6+R_7}$$

Zweitens hast du die in den Nennern von tH und tL stehenden U̇2H  U̇2L
einfach addiert. Bruchrechnen?

Richtig muss es heißen:

$$f = \frac{\dot U_{2\mathrm L}\cdot\dot U_{2\mathrm H}} {\dot U_{2\mathrm L}-\dot U_{2\mathrm H}} \cdot\frac 1{U_{\mathrm{AH}}-U_{\mathrm{AL}}}\cdot\frac{R_6 + R_7}{R_6}$$

Setzt man erst für U̇2H  U̇2L und dann für ICH und ICL die entsprechen-
den Ausdrücke ein (dabei aber die Vorzeichen beachten), erhält man

$$f = \left(1-\frac{I_1R_5}{U_1}\right)\cdot I_1\cdot\frac 1C \cdot\frac 1{U_{\mathrm{AH}}-U_{\mathrm{AL}}}\cdot\frac{R_6 + R_7}{R_6}$$

Jetzt musst du nur noch I1 einsetzen, um auf das Ergebnis vom 20.5. zu
kommen.

[newb (Gast)]

Hy Yalu,

ich hab da nochmal eine Frage zu diesem Thema.
Ich möchte die High bzw. Low Zeiten dieses Dual-Slope Wandlers 
berechnen.

Kann ich da auch so beginnen:

Meine Spannung am nichtinvertierenden Eingang des Integrators ist 
diesmal

$$V_{ref} = \frac{R_5}{R_5 + R_6} \cdot V_{cc}$$

Der Strom der in die Schaltung hineinfließt ist:

$$I_1 = \frac{U_{Messsp.}}{R_1}$$

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

newb schrieb:
> Meine Spannung am nichtinvertierenden Eingang des Integrators ist
> diesmal

$$V_{ref} = \frac{R_5}{R_5 + R_6} \cdot V_{cc}$$

R5 und R6 kann ich in der Schaltung nirgends finden, aber sonst
stimmt's:

$$V_\mathrm{ref} = \frac{R_{22}}{R_{16} + R_{22}} \cdot V_\mathrm{cc}$$

> Der Strom der in die Schaltung hineinfließt ist:

$$I_1 = \frac{U_{Messsp.}}{R_1}$$

Am nichtinvertierenden Eingang liegt Uref an, und R1 heißt in der
Schaltung R33, also:

$$I_1 = \frac{U_\mathrm{mess}-U_\mathrm{ref}}{R_{33}}$$

[newb (Gast)]

Oh Mist. Bauteile falsch benannt. Aber auch hier kann ich doch nun sagen 
dass wenn der Ausgangspegel des Schmitt-Triggers low ist dann fließt der
Strom I1 durch den Kondensator C11 und damit ist:

$$I_\mathrm {CL} = I_1$$

Und die daraus resultierende Anstiegsgeschwindigkeit ergibt:

$$\dot U_{2\mathrm L}=-\frac{I_\mathrm{CL}}C$$

[newb (Gast)]

Hy Yalu X.,

hast du da nochmal draufgeschaut? Ich komme noch nicht so recht weiter.

[newb (Gast)]

So, ich habe nochmal weiter gemacht mit der Berechnung der Zeiten:

Befinde ich mich in der High-Phase des Komparators, so schaltet der 
Multiplexer die Eingänge  12,2,5 auf dei Ausgänge 14,5,4. Damit liegt an 
dem invertierenden Eingang des Integrators die derzeitige Messspannung 
an. Der Strom der den Condensator lädt ergibt sich aus:

$$I_1 = \frac{U_\mathrm{mess}-U_\mathrm{ref}}{R_{33}}$$

Der Integrator lädt mit diesem Strom:

$$I_\mathrm {CH} = I_1$$

bis er die obere Schaltschwelle des Komparators erreicht hat. Diese 
Aufladung ist auch eine Gerade:

$$\dot U_{2\mathrm H}=\frac{I_\mathrm{CH}}C$$

Schaltet der Multiplexer in seiner Low-Phase nun die Eingänge 13,1,3 auf 
die Ausgänge 15,5,4 so kann der Strom aus dem Kondensator über R35 nach 
GND abfließen. Da nichts anderes darauf einwirkt ist der Entladestrom:

$$I_\mathrm {CL} = -I_1$$

und die daraus fallende Gerade:

$$\dot U_{2\mathrm L}=\frac{I_\mathrm{CL}}C$$

Bin ich soweit erst mal richtig unterwegs? Wäre nett wenn mir nochmal 
jemand etwas dazu sagen könnte.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

newb schrieb:
> Befinde ich mich in der High-Phase des Komparators, so schaltet der
> Multiplexer die Eingänge  12,2,5 auf dei Ausgänge 14,5,4.

Wenn du die High-Phase auf den Komparatorausgang beziehst, ist es anders
herum: Der Multiplexer schaltet beim High-Pegel an den Steuereingängen
die Einänge 13, 1, und 3 auf die Ausgänge.

Deine Überlegung für den Fall, dass 12, 2 und 5 durchgeschaltet werden,
ist aber richtig.

Wenn 13, 1 und 3 durchgeschaltet werden, ist der Strom aber nicht -I1,
sondern -Uref/R35, das jetzt vor dem Widerstand 0V statt Umess anliegen.

[newb (Gast)]

Hy,

du hast Recht. Ich habe nochmal in´s Datenblatt geschaut. Wenn die 
Eingänge SX, SY und SZ einen HIGH Pegel haben, so schalten die Eingänge 
X1, Y1 und Z1 auf die Ausgänge X Y und Z. Und bei einem LOW Pegel genau 
andersherum.

Also ergibt sich nun mein:

$$\dot U_{2\mathrm H}=\frac{I_\mathrm{CH}}C$$

aus

$$I_\mathrm {CH} = I_1$$

Und:

$$\dot U_{2\mathrm L}=\frac{I_\mathrm{CL}}C$$

aus

$$I_\mathrm {CL} = -\frac{U_\mathrm{ref}}{R_{35}}$$

und die Zeit wird dann berechnet aus:

$$t_\mathrm H = \frac{U_\mathrm{SH}-U_\mathrm{SL}}{\dot U_{2\mathrm H}}= \frac{U_\mathrm{AH}-U_\mathrm{AL}}{\dot U_{2\mathrm H}}\cdot \frac{R_{30}}{R_{30}+R_{29}}$$

[newb (Gast)]

Hy Yalu,

waren meine letzten Überlegungen denn richtig?

[newb (Gast)]

Halli Hallo,

hast du nochmal drübergeschaut?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Im letzten Bruch muss im Zähler R29 statt R30 stehen, sonst stimmt's.

Aber warum fragst du bei jedem Rechenschritt nach? Der Aha-Effekt ist
viel größer, wenn du die Sache komplett bis zum Ende durchrechnest und
dann die Schaltung real oder im Simulator aufbaust und die Ergebnisse
vergleichst. Stimmen sie nicht überein, kannst du die Zwischenergebnisse
deiner Rechnung überprüfen, indem du Spannungen und Ströme einzelner
Bauteile misst.

Gerade ein Simulationsprogramm (wie z.B. LTSpice) ist für so etwas
äußerst praktisch, weil man sich den unüberischtlichen Steckbrettaufbau
erspart, ein perfektes "Oszilloskop" mit beliebig vielen Kanälen und
beliebig viele hochgenaue "Labornetzgeräte" zur Verfügung hat und ganz
schnell die Werte von Widerständen, Kondensatoren u.ä. ändern kann, ohne
die Teile bei Nichtvorhandensein erst bestellen zu müssen.

Ich habe mal die Dual-Slope-Schaltung als LTSpice-Datei in den Anhang
gestellt. Der Einfachheit halber habe ich den Analogmultiplexer durch
zwei elektrisch gesteuerte Schalter und die Referenzspannungsquelle aus
Spannungsteiler und Opamp durch eine einfache 2,5V-Quelle ersetzt.

In den Plots kannst du dir alle relevanten Spannungen und Ströme an-
schauen: Die grüne Kurve ist die Ausgangsspannung des Schmitt-Triggers.
Sie springt zwischen UAL=0V und UAL=4V. Diese beiden Spannungen und der
Spannungsteiler aus R29 und R30 legen die Schaltschwellen USH=3,6V und
USL=0,6V fest (rote Kurve). Die Ausgangsspannung des Integrierers (blaue
Kurve) pendelt genau zwischen diesen beiden Werten hin und her. Der
Strom durch den Kondensator (türkisfarbene Kurve) liegt in den beiden
Phasen konstant bei 50µA bzw. -250µA, weswegen die Ausgangsspannung des
Integrierers jeweils eine konstante Steigung hat. Auch diese Steigung
(Anstiegs- bzw. Abfallgeschwindigkeit) kannst du dir anzeigen lassen,
indem du für die Spannung U2 zwei Cursors aktivierst und diese auf zwei
unterschiedliche Punkte der blauen Kurve setzt. In dem kleinen Fenster
wird der gewünschte Wert als "Slope" angezeigt: -73,1V/s.

Damit kannst du alle Zwischenergebnisse deiner Rechnung mit den entspre-
chenden Werten der Simulation vergleichen und sofort sehen, wo du einen
Fehler gemacht hast. Die Ergebnisse werden nicht immer exakt überein-
stimmen, da du bspw. in der Rechnung von einem idealen Opamp ausgehst,
während die Simulation auch "Dreckeffekte" berücksichtigt. Aber so
ungefähr sollten sie schon passen.

Probier's mal aus!

Ich mache das auch, wenn ich eine neue Schaltung auf Tauglichkeit testen
möchte: Zuerst versuche ich, die Schaltung zu berechnen. Stimmen die Er-
gebnisse mit der Simulation überein, war die Berechnung wahrscheinlich
richtig. Treten kleinere Unterschiede auf, versuche ich, diese auf jene
Parameter der verwendeten Bauteile zurückzuführen, die ich in der Rech-
nung als ideal angenommen habe. Falls die Ungenauigkeiten zu groß sind,
sehe ich daraus, an welchen Stellen die Schaltung optmiert werden kann
oder bessere Bauteile eingesetzt werden müssen. Liegen die Ergebnisse
der Berechnung hingegen weit neben der Simulation, obwohl ich keine Re-
chenfehler gemacht habe, liegt das meist daran, dass ich die Schaltung
nicht verstanden und deswegen den falschen Ansatz gewählt habe. Oft ist
dann aber der zweite oder dritte Anlauf erfolgreich.

Wenn ich trotz mehrerer unterschiedlicher Ansätze einfach nicht mehr
weiterkomme ... ja, dann ist der Zeitpunkt gekommen, jemanden zu fragen,
der Ahnung von Elektronik hat ;-)

[newb (Gast)]

Du bist ein Gott !

Ich Idiot such seit Tagen nach dem verdammten Modell vom 
Multiplexer.....und das geht so einfach.