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Forum: Offtopic [Help] Mathematisches Problem


Autor: Martin (Gast)
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Unter den Familien mit 2 Kindern, von denen eins ein - an einem Freitag 
geborener - Junge ist, haben wie viele 2 Jungen?

: Verschoben durch Moderator
Autor: P. M. (o-o)
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0 oder 1, weil 'von denen eins ein Junge ist' nicht ausschliesst, dass 
das andere auch ein Junge ist.

Autor: Simon Budig (nomis)
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Gib zu, dein Nachname ist Gardner.

Autor: D. I. (Gast)
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33,3333...%

Meine Überlegung, da ein Junge vorhanden sein muss:

K1 | K2
w    m
m    w
m    m

Also 2 Jungen nur in einem drittel der Fälle

Autor: Electronic R. (electronic_r)
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Kennt vll schon der eine oder andere:

Aufgabe: Eine Mutter ist 21 Jahre älter als ihr Kind und in 6 Jahren 
wird das Kind 5 mal jünger sein, als die Mutter.
Frage: Wo ist der Vater?

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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50%

vielleicht ein klein wenig weniger, da Mädchen statistisch gesehen ein 
klein wenig häufiger vorkommen.

Meine Überlegung:
2 geforderte Jungen sind irrelevant, da wir wissen das 1 Junge bereits 
vorhanden ist.
Die Frage ist daher einfach nur: welches Geschlecht hat das andere Kind. 
Und da gibt es nur 2 Möglichkeiten.

Autor: D. I. (Gast)
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Electronic R. schrieb:
> Kennt vll schon der eine oder andere:
>
> Aufgabe: Eine Mutter ist 21 Jahre älter als ihr Kind und in 6 Jahren
> wird das Kind 5 mal jünger sein, als die Mutter.
> Frage: Wo ist der Vater?

auf der Mutter, wenn die Zahlen stimmen :P

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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Etwas mehr als die Hälfte, wobei es ganz egal ist, ob der eine am 
Freitag oder sogar an Ostern oder Weihnachten geboren wurde...

http://www.gutefrage.net/frage/ist-die-wahrscheinl...

Autor: Justus Skorps (jussa)
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Lothar Miller schrieb:
> Etwas mehr als die Hälfte, wobei es ganz egal ist, ob der eine am
> Freitag oder sogar an Ostern oder Weihnachten geboren wurde...
>
> 
http://www.gutefrage.net/frage/ist-die-wahrscheinl...

das ist die Antwort auf die Frage nach dem nächsten Kind, für den Fall 
aus dem ersten Post hat  D. I. (grotesque) es ja schon gesagt...

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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> für den Fall aus dem ersten Post hat  D. I. (grotesque)
> es ja schon gesagt...
Da bin ich mir noch nicht so sicher.

Er hat die Annahme getroffen, dass eines ein Junge sein muss, und seine 
Kausalitäten entsprechend aufgestellt:
>>>> Meine Überlegung, da ein Junge vorhanden sein muss

Es ist aber vorgegeben, dass eines der Kinder schon ein Junge ist:
> von denen eins ein ... Junge ist

Es steht da nicht:
... von denen eins ein an einem Freitag geborener Junge sein muss.
Weil dann müsste ja die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen an einem 
bestimmten Wochentag zur Welt zu bringen, wieder mit reinspielen...

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Justus Skorps schrieb:

> das ist die Antwort auf die Frage nach dem nächsten Kind, für den Fall
> aus dem ersten Post hat  D. I. (grotesque) es ja schon gesagt...

Meiner Meinung nach, hat D.I. die Antwort auf eine ganz andere
Fragestellung geliefert.

"Unter den Familien mit 2 Kindern, von denen der Erstgeborne ein Junge
ist, haben wie viele 2 Jungen?"

Das war aber nicht gefragt. Aus der ursprünglichen Fragestellung geht
nicht hervor, dass die Reihenfolge eine Rolle spielt.
Sein 'Fall 1' und 'Fall 2' sind in der tatsächlichen Fragestellung als 
zusammengefasst aufzufassen: "Eines der beiden Kinder ist ein Mädchen"

Autor: Justus Skorps (jussa)
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edit: ich nehm alles zurück

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Justus Skorps schrieb:
> edit: ich nehm alles zurück

LOL

Bin schon neugierig, was rauskommt wenn Martin auflöst.

Statistik ist so eine Sache, wo man mit Intuition öfter falsch als 
richtig liegt :-)

Apropos: Ist auch das schon einmal aufgefallen:

Wenn 2 Möglichkeiten zur Wahl stehen, hat man eine >70% Chance, sich 
zunächst für die Falsche zu entscheiden. (frei nach Murphy. Wenn ich 
mich aber so beobachte: das ist was drann)

Autor: Justus Skorps (jussa)
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Karl heinz Buchegger schrieb:
> LOL
>
> Bin schon neugierig, was rauskommt wenn Martin auflöst.

nachdem ich meine Sichtweise begründet hatte, konnte ich es mir nicht 
verkneifen nach dem Problem zu googeln und bin da halt auf einen 
Uni-Vortrag gestoßen, wo das Problem auch auftaucht. Wobei die 
Begründung dabei auch etwas 'komplizierter' ist als die hier 
genannten...

Autor: D. I. (Gast)
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Karl heinz Buchegger schrieb:
> Justus Skorps schrieb:
>
>> das ist die Antwort auf die Frage nach dem nächsten Kind, für den Fall
>> aus dem ersten Post hat  D. I. (grotesque) es ja schon gesagt...
>
> Meiner Meinung nach, hat D.I. die Antwort auf eine ganz andere
> Fragestellung geliefert.
>
> "Unter den Familien mit 2 Kindern, von denen der Erstgeborne ein Junge
> ist, haben wie viele 2 Jungen?"
>
> Das war aber nicht gefragt. Aus der ursprünglichen Fragestellung geht
> nicht hervor, dass die Reihenfolge eine Rolle spielt.
> Sein 'Fall 1' und 'Fall 2' sind in der tatsächlichen Fragestellung als
> zusammengefasst aufzufassen: "Eines der beiden Kinder ist ein Mädchen"

Na, das passt jetzt aber nicht ganz. Wenn der ERSTgeborene ein Junge 
wäre dann gäbe es ja nur 2 Fälle:

1|2
m w
m m

und dann wäre wie du schon sagst die WSK 50%. Im Endeffekt ist die Frage 
ob m|w w|m dasselbe ist oder nicht. Für mich sind 2 Kinder halt 
unterschiedlich gewesen.

Autor: Justus Skorps (jussa)
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siehe auch hier
http://books.google.de/books?id=Q17M4sY-3jcC&pg=PA...
ich hoffe das geht mit dem Link...

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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In solchen Fällen mach ich am liebsten ein Experiment.
Da wir allerdings die Antwort gerne noch heuer hätten und unsere 
Sekräterinnen auf Nachfrage Arbeitsüberlastung vorschützten, musste ich 
zu meinem zweitliebsten Experiment greifen: Einer Simulation.

Ich habe also folgendes Programm geschrieben:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
  int i;
  int Kind1;
  int Kind2;
  int min1Junge = 0;
  int exakt2Jungen = 0;
  
  for( i = 0; i < 1000000; ++i ) {
    Kind1 = rand() % 2;
    Kind2 = rand() % 2;
    
    if( Kind1 + Kind2 > 0 )
      min1Junge++;
      
    if( Kind1 + Kind2 == 2 )
      exakt2Jungen++;
  }
  
  printf( "Simulierte Familien: %d\n", i );
  printf( "Davon 1 Junge:       %d\n", min1Junge );
  printf( "Davon 2 Jungen:      %d\n", exakt2Jungen );
  
  printf( "Das sind %lf%%\n", (double)exakt2Jungen * 100.0 / min1Junge );
}

Und das Resultat der Simulation von 1 Million Familien
Simulierte Familien: 1000000
Davon 1 Junge:       750027
Davon 2 Jungen:      250075
Das sind 33.342133%

D.I. hat also recht, Dieter und ich lagen falsch :-)

Die Vorgabe, dass einer der Jungen an einem Freitag geboren sein muss 
habe ich nicht mitsimuliert. Ich denke das ist irrelevant. Obwohl ...

Autor: Justus Skorps (jussa)
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Karl heinz Buchegger schrieb:
> D.I. hat also recht, Dieter und ich lagen falsch :-)

eben nicht (auch wenn ich das bis vorhin selber vertreten habe) 
:c)...das ist in dem Buch ja mit einem Baum erklärt: Der Schritt, das 
man erfährt, welches Geschlecht eines der Kinder hat, fehlt dabei...

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Justus Skorps schrieb:
> Karl heinz Buchegger schrieb:
>> D.I. hat also recht, Dieter und ich lagen falsch :-)
>
> eben nicht (auch wenn ich das bis vorhin selber vertreten habe)
> :c)...das ist in dem Buch ja mit einem Baum erklärt: Der Schritt, das
> man erfährt, welches Geschlecht eines der Kinder hat, fehlt dabei...

Ich denke, das Buch liegt falsch.

Das Programm macht keinerlei Annahmen.
Es simuliert Familien.
Jeder Familie werden 2 Kinder geboren.

Und danach wird einfach mitgezählt wieviele der Fälle auf exakt die in 
der Aufgabenstellung beschriebene Situation zutreffen und die Statstik 
gebildet.

Das Programm nimmt nichts an, es leitet nichts aus Beobachtungen her. Es 
spielt einfach nur 'das Leben' durch.


Edit: Mist. Jetzt hast du mich unsicher gemacht :-)

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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> Das Programm nimmt nichts an, es leitet nichts aus Beobachtungen her. Es
> spielt einfach nur 'das Leben' durch.
Du hast die Wochentage vergessen, denn einer der Jungen muss an einem 
Freitag geboren sein... :-o

Es ist schlicht und einfach so, dass wir wissen, dass einer der beiden 
schon ein Junge ist. Es muss nicht erst noch einer werden. Deshalb 
könntest du dein Programm so ändern:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
  int i;
  int Kind1 = 1; // Junge, am Freitag geboren
  int Kind2;
  int min1Junge = 0;
  int exakt2Jungen = 0;
  
  for( i = 0; i < 1000000; ++i ) {
    Kind2 = rand() % 2; // nur das Kind 2 ist noch fraglich
    
    if( Kind1 + Kind2 > 0 )
      min1Junge++;
      
    if( Kind1 + Kind2 == 2 )
      exakt2Jungen++;
  }
  
  printf( "Simulierte Familien: %d\n", i );
  printf( "Davon min. 1 Junge : %d\n", min1Junge );
  printf( "Davon 2 Jungen     : %d\n", exakt2Jungen );
  
  printf( "Das sind %lf%%\n", (double)exakt2Jungen * 100.0 / min1Junge );
}
Ergibt:
Simulierte Familien: 1000000
Davon min. 1 Junge : 1000000
Davon 2 Jungen     : 500000
Das sind 50.000000%

Autor: Justus Skorps (jussa)
Datum:

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Karl heinz Buchegger schrieb:
> Das Programm nimmt nichts an, es leitet nichts aus Beobachtungen her. Es
> spielt einfach nur 'das Leben' durch.

das war aber die nicht Frage ;o)...Ausgangspunkt muss sein 'Du siehst 
einen Jungen'...der Baum in dem Buch trifft es imho ziemlich gut...

aber ich weiss jetzt schon wieder, warum ich Stochastik schon in der 
Schule nicht ausstehen konnte...

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Lothar Miller schrieb:
>> Das Programm nimmt nichts an, es leitet nichts aus Beobachtungen her. Es
>> spielt einfach nur 'das Leben' durch.
> Du hast die Wochentage vergessen, denn einer der Jungen muss an einem
> Freitag geboren sein... :-o
>
> Es ist schlicht und einfach so, dass wir wissen, dass einer der beiden
> schon ein Junge ist.

Das hab ich berücksichtigt, indem ich in der Auswertung von den Familien 
nur die berücksichtigt habe, in denen mindestens 1 Junge existiert :-)


Meiner Meinung nach spiegelt die Auswertung genau diesen Sachverhalt 
wieder:
Unter den Familien mit 2 Kindern, von denen eins ein Junge ist

Da ist zunächst die Menge aller Familien mit 2 Kindern.
Bei mir 1000000

Von denen nehmen wir die Menge her, mit mindestens einem Jungen
Bei mir ~7500000


Ich denke ernsthaft, dass diese Art der Betrachtung dem Wortlaut der 
Fragestellung am nächsten kommt. Auch wenn ich vorher noch anderer 
Meinung war.

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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> Ich denke ernsthaft, dass diese Art der Betrachtung dem Wortlaut der
> Fragestellung am nächsten kommt.
Aber dann darfst du in deinem Programm doch nicht einfach ein Kind (sei 
es Kind1 oder Kind2) mit 50% Wahrscheinlichkeit an einem Freitag auf die 
Welt kommen lassen.

Du kannst in deinem Programm nicht das ignorieren, was dir bekannt 
ist...
Du hast von vorn herein mindestens 1 Jungen (von dem sogar der 
Geburtstag bekannt ist).

> Auch wenn ich vorher noch anderer Meinung war.
Mich konnstest du noch nicht umstimmen... ;-)

Autor: Sven H. (dsb_sven)
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Es fallen doch alle Familien weg, die keinen Jungen haben. Also ist das 
einzig interessante nur, ob das zweite Kind ein Junge oder ein Mädchen 
ist und da stehen die Chancen fast 50:50. Also haben 50% der Familien 
zwei Jungs und 50% einen Jungen und ein Mädchen.

Wer nun älter ist und ob das Mädchen hübsch wird oder aussieht wie nen 
Kerl spielt in dieser Überlegung keine Rolle.

Autor: J.-u. G. (juwe)
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Meine Version:

Familien mit 2 Kindern: 100%

Anteil der Familien mit 2 Jungs: 25%

Wahrscheinlichkeit einer Geburt an einem Freitag: 1/7

Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von zwei Kindern an einem 
Freitag geboren wurde: 2 * 1/7 (ca. 28.6%)

28.6% von 25% = 7.15%

d.h. 7.15% der Familien mit zwei Kindern haben zwei Jungs, von denen 
mindestens einer an einem Freitag zur Welt kam.

Oder?

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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J.-u. G. schrieb:
> d.h. 7.15% der Familien mit zwei Kindern haben zwei Jungs, von denen
> mindestens einer an einem Freitag zur Welt kam.
> Oder?
Das ist zwar soweit richtig, war aber gar nicht gefragt.

Die Frage lautet: Welches Geschlecht kann das zweite Kind einer 
vierköpfigen Familie haben, die schon einen Jungen hat? Dabei bitte 
beachten: ob der erwähnte Junge am Freitag geboren ist, eine Zahnspange 
und Pickel hat oder ein grünes T-Shirt trägt ist ganz uninteressant!

Autor: Stefanie B. (sbs)
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Martin schrieb:
> Unter den Familien mit 2 Kindern, von denen eins ein - an einem Freitag
> geborener - Junge ist, haben wie viele 2 Jungen?

Ok, ich habe die bisherigen Antworten nur überflogen, aber meine 
Überlegungen decken sich nicht mit dem bisher gesagten:

So wie ich den Text verstehe, ist ein an einem Freitag geborener Junge 
schon da.

> Unter den Familien bei denen "Ereignis A" schon eingetroffen ist,
> tritt zu welcher Wahrscheinlichkeit "Ereignis B" auf?

Nun, gibt es eine Korrelation zwischen den Einzelelementen der 
Kinderfolge?
Also ist das i-te Kind von den 1 bis (i-1) bisherigen Kindern abhängig?

Nun fragen wir die Biologen / Ärzte oder die FAZ ;)
http://www.faz.net/s/Rub268AB64801534CF288DF93BB89...

So wie ich den Text interpretiere gibt es eine gewisse Korrelation.
(Es ist kein Korrealtionskoeffizient dort gegeben.)

Daher würde ich sage die Wahrscheinlichkeit ist >50%

Viele Grüße
Stefan

Autor: D. I. (Gast)
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Lothar Miller schrieb:

> Die Frage lautet: Welches Geschlecht kann das zweite Kind einer
> vierköpfigen Familie haben, die schon einen Jungen hat?

Das überzeugt mich.

Bei "Geh aufs Ganze" hätte ich das Tor aber gewechselt ;)

Autor: Justus Skorps (jussa)
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Der Knackpunkt dürfte auch darin liegen, woher man denn weiß, das eines 
der Kinder ein Junge ist. Bei dem Beispiel im Buch steht ja, dass der 
Junge aus dem Haus winkt. Und für diesen Fall ist die Annahme von einem 
drittel, wie sie hier
Simulierte Familien: 1000000
Davon 1 Junge:       750027
Davon 2 Jungen:      250075
Das sind 33.342133%
anscheinend rauskommt, nicht richtig, weil bei den Familien mit Junge 
und Mädchen in der Hälfte der Fälle das Mädchen winken würde, gleiche 
Winkwahrscheinlichkeit vorausgesetzt...

Autor: Martin Nabe (Firma: ---) (martini-i)
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Es gibt 27 Kombinationen, dass ein Junge an einem Freitag (siehe 
Tabelle) geboren wurde. Davon sind in 13 Fällen beides Jungen. 13 / 27 
ca. 48 %

Die Aufgabe/Lösung stammt von Gary Foshee und wurde von ihm auf dem 
"Gathering 4 Gardner" im März vorgestellt.


     Mo  Di  Mi  Do  Fr  Sa  So

Mo
                    MJ
                    JJ

Di
                    MJ
                    JJ

Mi
                    MJ
                    JJ

Do
                    MJ
                    JJ

Fr  JM  JM  JM  JM  JM  JM  JM
    JJ  JJ  JJ  JJ  JJ  JJ  JJ
                    MJ

Sa
                    MJ
                    JJ

So
                    MJ
                    JJ

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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@Martin:
Vielen Dank für das sehr interessante Rätsel, das ich noch nicht kannte.
Ich habe es leider zu spät gelesen, sonst hätte ich mitgeraten :)

@alle Interessierten:
Man kann das übrigens auch rechnen, ohne die einzelnen Fälle abzuzählen.

Folgende Ereignisse werden definiert:

J₁: Das 1. Kind ist eine Junge.
F₁: Das 1. Kind ist an einem Freitag geboren.
J₂: Das 2. Kind ist eine Junge.
F₂: Das 2. Kind ist an einem Freitag geboren.

Gesucht ist
Anwenden der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
P(A|B) = P(AB)/P(B):
Ausmultiplizieren des Zählerarguments:
Anwenden von P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) in Zähler und Nenner:
Da J₁, F₁, J₂ und F₂ paarweise voneinander unabhängig sind, können die
Wahrscheinlichkeiten der Produkte als Produkte von Wahrscheinlichkeiten
geschrieben werden:
Einsetzen von P(J₁) = P(J₂) = 1/2 und P(F₁) = P(F₂) = 1/7:

Edit:

Hier ist noch ein kleines Python-Programm für die, die's gerne
simulieren möchten:
from random import random

n = 10000000

anzf = 0 # die Anzahl in Frage kommender Familien
anzt = 0 # davon die Anzahl mit zwei Jungen

for i in range(n):
  k1g = int(random()*2)  # Geschlecht des 1. Kinds
  k1w = int(random()*7)  # Wochentag des 1. Kinds
  k2g = int(random()*2)  # Geschlecht des 2. Kinds
  k2w = int(random()*7)  # Wochentag des 2. Kinds

  #       Junge       Freitag      Junge       Freitag
  #         v            v           v            v
  if k1g == 1 and k1w == 4 or k2g == 1 and k2w == 4:
    anzf += 1

    #       Junge        Junge
    #         v            v
    if k1g == 1 and k2g == 1:
      anzt += 1

print 'Anzahl Familien: %d' % anzf
print 'mit 2 Jungen:    %d' % anzt
print 'Anteil:          %.6f' % (float(anzt)/anzf)

Das Ergebnis
Anzahl Familien: 1376996
mit 2 Jungen:    663373
Anteil:          0.481388

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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> J₂: Das 2. Kind ist eine Junge.
Eine junge Frau?  ;-)

Autor: Matthias D. (madnap)
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Im übrigen wollte ich noch anmerken, das sich die Wahrscheinlichkeit 
erhöhen würde wenn wir mehr Wochentage hätten. So liegt sie bei 100 
Wochentagen schon bei 49,7%. Ihr Grenzwert liegt allerdings bei 50%.
Desweiteren möchte ich behaupten das ohne Wochentag die 
Wahrscheinlichkeit bei 50% liegt. Da zwei Jungen unterscheidbar(in jedem 
Falle durch die Bedingung.) sind. daher gibt es 4 
Kombinationsmöglichkeiten und nicht nur 3.
JfJ
JJf
WJf
JfW

Trotzdem finde ich es erstaunlich das der Wochentag überhaupt eine Rolle 
spielt, das wäre mir ohne Berechnung relativ unklar gewesen.

Im Übrigen bei 2 Wochentagen komt 33% raus. Mysteriös.

Autor: Matthias D. (madnap)
Datum:

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Ich möchte mich nochmals korrigieren.
So wie die Frage gestellt ist, müßte die Wahrscheinlichkiet doch immer 
50% betragen, wegen den 4 Möglichekeiten.Siehe oben.
Die anderen Wahrscheinlichkeiten gelten IMHO nur wenn die Bedingung so 
lautet, dass nur ein Junge am Freitag geboren sein darf, also der zweite 
kann von samstag bis donnerstag geboren werden. Dies erklärt meines 
erachtens auch die Abhängigkeit von den Wochentagen.
Denn wenn wir nur einen Wochentag(also nur Freitag) hätten wäre laut 
Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlickeit für 2 
Jungen 0%. Wenn wir hingegen unendlich viele wochentage hätten nähert 
sich die Wahrscheinlichkeit beliebig genau an 50% an.

Autor: Gerry E. (micky01)
Datum:

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Martin schrieb:
> Unter den Familien mit 2 Kindern, von denen eins ein - an einem Freitag
> geborener - Junge ist, haben wie viele 2 Jungen?

Warum macht ihr euch da so einen Kopf?
Den einen Jungen gibt es bereits, man kann ihn also ignorieren.
Freitag dient nur zur Verwirrung, also weg.

Was bleibt denn da?

Autor: Matthias D. (madnap)
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Nichts anderes habe ich gepostet. Ich denke eher die Frage ist falsch 
formuliert oder falsch bzw. ungenau vom englischen übersetzt.

Zitat von ein paar posts drüber->
Die Aufgabe/Lösung stammt von Gary Foshee und wurde von ihm auf dem
"Gathering 4 Gardner" im März vorgestellt.

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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Matthias D. schrieb:
> Die anderen Wahrscheinlichkeiten gelten IMHO nur wenn die Bedingung so
> lautet, dass nur ein Junge am Freitag geboren sein darf...
Das sehe ich auch so. Es darf die Möglichkeit, dass beide Jungs am 
Freitag geboren wurden, nicht ausgeschlossen werden. Dieser Term ist in 
Yalus Berechnung also zuviel:
>>>> Anwenden von P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) in Zähler und Nenner:
>>>> ....... -p(J₁J₂F₁F₂)
Und ohne den Term wären wir wieder bei 50%   ;-)

Autor: Vlad Tepesch (vlad_tepesch)
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Martin schrieb:
> Unter den Familien mit 2 Kindern, von denen eins ein - an einem Freitag
> geborener - Junge ist, haben wie viele 2 Jungen?

ist halt die Frage, ob mindestens oder genau einer (nämlich jeweils der 
erste) an einem Freitag geboren ist.


Unter den Familien mit 2 Kindern, von denen minstens eins ein - an einem 
Freitag geborener - Junge ist, haben wie viele 2 Jungen?

im dem Fall dürfte der 2. auch an einem Freitag geboren sein und die 
Wahrscheinlichkeit ist 50%. (wenn man von Erb- und Umwelteinflüssen, 
sowie der gering großernen P(weiblich) absieht).


Unter den Familien mit 2 Kindern, von denen genau eins ein - an einem 
Freitag geborener - Junge ist, haben wie viele 2 Jungen

da sieht es anders aus.

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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>>>> Unter den Familien mit 2 Kindern, von denen eins ein - an einem
>>>> Freitag geborener - Junge ist, haben wie viele 2 Jungen?
Ok, damit haben wir beide richtigen Lösungen  ;-)
Genau einer der beiden: 13/27
Mindestens einer der beiden: 50%

Autor: Daniel G. (daniel83)
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Geht es nicht eher um wieviele 2te Kinder sind ein Junge? Aus der Menge 
der Familien mit einem Jungen der an einem Freitag geboren wurde? Womit 
wir wieder bei 50% wären?
M.E. ist die Frage lediglich mit der wahrscheinlichkeit verbunden einen 
Jungen oder ein Mädchen zu bekommen. Der Rest ist zur Rechnung blödsinn 
und lediglich für die Statistik wichtig, die das Ergebnis bestätigen 
soll.

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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Technisch gesehen ist der Unterschied zwischen 50% und 48% sowieso im 
Rahmen der Messungenauigkeit und damit eigentlich gar nicht vorhanden. 
Verschärft wird die Situation dadurch, dass bereits die 
Wahrscheinlichkeit, einfach nur irgendeinen Jungen zu bekommen, größer 
als 50% ist... ;-)

Autor: Matthias D. (madnap)
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Ich hatte der Einfachheithalber mal angenommen, dass die Geburt eines 
Jungen bzw. eines Mädchens gleichwahrscheinlich ist. Aber ich wollte 
durch meine ausführungen lediglich klarmachen, dass auch eine bedingte 
Wahrscheinlichkeit, einer unbedingten entspricht, wenn die Bedingung zu 
100% vorliegt bzw. die gestellte Bedingung in dem zusammenhang 
irrelevant ist, (wie hier, der Wochentag spielt nur eine rolle wen GENAU 
ein Junge(und keiner mehr) am Freitag geboren werden sollte).
Ein Beispiel für eine 100% erfüllte Bedingung wäre zum Beispiel die 
Wahrscheinlichkeit mit 2 Würfeln einen Pasch zu würfeln unter der 
Bedingung das die summe der Augenzahlen beider Würfel gerade ist. Hier 
entspricht die bedingte Wahrscheinlickeit der unbedingten, da die Summe 
von zwei gleichen Zahlen immer gerade ist. Bedingte und unbedingte 
Wahrscheinlichkeit sind hier jeweils 1/6.

Und zum Thema Meßunsicherheit: Das hilft dir in einer Mathe Klausur 
leider nicht weiter, außerdem stehen da eh meist mehr Buchsatben als 
Zahlen...
[Rechnen hat mit Mathematik so viel zu tun wie Rechtschreibung/Grammatik 
mit Literatur]

Der Trick in der Stochastik und auch in der Statistik besteht darin für 
einen Vorgang das geeignete Modell zu wählen. Das ist übrigens Überall 
so, da Modelle die Wirklichkeit nur annähernd beschreiben können und 
nicht die Wirklichkeit selbst darstellen. In der Physik wäre da als 
Beispiel der Welle/Teilchen Dualismus. Nur die Auswahl des jeweils 
geeigneten Modells verspricht eine Lösung (die sich nicht Widerspricht). 
In der Chemie lassen sich auch komplizeirte Bindungsverhältnisse, welche 
eigentlich nur Quantenmechanisch zu erklären sind, auch anhand des 
Modells eines Federkraftschwingers errechnen(jedoch bleiben diesem 
Modell gewisse Quantenmechanische "Besonderheiten" verborgen, so z.B.: 
Tunneleffekte die es laut einem Federkraftmodell nicht geben könnte).

Ich denke es ging hier mehr um die Methodik/Theorie wie man etwas 
berechnen kann als um den exakten Zahlenwert.

Trotzdem möchte ich anmerken das eine gute Näherung in der Praxis meist 
genauso ausreicht(außer wenn man etwas wirklich Hochtechnisches macht).

Autor: Martin Nabe (Firma: ---) (martini-i)
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@Yalu

Vielen Dank für deine Ausführungen. Mathe ist einfach cool.

@all

Mein Eindruck ist, dass ca. 119 Prozent der Leute im Thread mit der 
Stochastik auf Kriegsfuß stehen ;)

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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> (wie hier, der Wochentag spielt nur eine rolle wen GENAU
> ein Junge(und keiner mehr) am Freitag geboren werden sollte).
Das wirft dann aber ein weiteres Problem auf...

>>> 2 Kindern, von denen eins ein an einem Freitag geborener Junge ist
Ich sage: das hier sind meine beiden Kinder. Der (eine) Junge ist an 
einem Freitag geboren.

Wenn das andere Kind dann ein Junge wäre, dann kann der (implizit) nicht 
auch am Freitag geboren sein, weil ja nur 1 Junge am Freitag zur Welt 
kam. Wenn das andere Kind aber ein Mädchen ist, dann darf die durchaus 
auch an einem Freitag zur Welt gekommen sein.

EDIT:
> dass ca. 119 Prozent der Leute im Thread mit der
> Stochastik auf Kriegsfuß stehen ;)
100% + MWSt.  ;-)

Autor: Matthias D. (madnap)
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@Lothar

Genau das ist ja der Grund Warum die Wahrscheinlichkeit einen 2. Jungen 
zu bekommen sinkt(Ich lasse jetzt mal Bewußt die Reihenfolge außer 
Acht).
Ein Junge kann noch an 6 Wochentagen zur Welt kommen, ein Mädchen an 7.
daher verschiebt sich die Wahrscheinlichkeit zu gunsten des Mädchens. 
Das wird um so drastischer je weniger wochentage man hat, bzw. umso 
entspanntet je mehr wochentage man hat, da es im Prinzip auf das 
verhältnis von (2n-1)/(4n-1) ankommt(n=anzahl der Wochentage). Den 
Grenzwert gegen unendlich kann man bilden indem man ausklammert und n 
gegen unendlich gehen läßt.
Lim(n->ue)=2n(1-1/2n)/4n(1-1/2n)  ->1/2n geht bei n->ue gegen 0
daraus folgt:
Lim(n->ue)=2n(1-0)/4n(1-0)=Lim(n->ue)2n/4n=1/2=50%
daraus folgt: bei nahezu unendlicher anzahl an Wochentagen ist die 
Wahrscheinlichkeit einen jungen zu bekommen unwesentlich kleiner als 
50%, also fast so groß als wenn beide Jungen auch an einem Freitag 
geboren werden könnten.
Für nur einen Wochentag ist die Wahrscheinlichkeit 0, da wenn schon ein 
Junge an einem Wochentag geboren worden ist, und es nur einen Wochentag 
gibt,kann kein zweiter an einem anderen wochentag geboren werden. Die 
Wahrscheinlichkeit für einen Jungen beträgt also 0%, da die Bedingung 
das er nicht am selben Tag geboren ist, nie erfüllt werden kann.
Im übrigen ergeben bedingte Wahrscheinlichkeiten mit einer nicht 
erfüllbaren Bedingung immer eine Wahrscheinlichkeit von 0%.

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Lothar Miller schrieb:
> Es darf die Möglichkeit, dass beide Jungs am
> Freitag geboren wurden, nicht ausgeschlossen werden. Dieser Term ist in
> Yalus Berechnung also zuviel:
>>>>> Anwenden von P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) in Zähler und Nenner:

Doch, die Möglichkeit, dass beide Jungs an einem Freitag geboren wurden,
ist sowohl in meiner Rechnung als auch in dem Python-Progrämmchen für
die Simulation berücksichtigt.

Die Regel P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) gilt immer, egal, ob A und B voneinan-
der abhängig sind oder nicht. Das -P(AB) am Schluss dient nicht dazu,
das gemeinsame Eintreten von A und B auszuschließen, sondern zu ver-
hindern dass es doppelt berücksichtigt wird.

Kleines Beispiel: Es wird zweimal gewürfelt, mit insgesamt 6²=36 Mög-
lichkeiten. In 6 dieser 36 Fälle liefert der erste Wurf eine Sechs. Auch
der zweite Wurf liefert in 6 von 36 Fällen eine Sechs.

Wie groß ist nun die Anzahl, dass mindestens einer der beiden Würfe
eine Sechs liefert? Man könnte annehmen, es ist einfach die Summe
6+6=12. Das stimmt aber nicht, denn der Fall einer Doppelsechs ist
sowohl bei den ersten 6 als auch bei den zweiten 6 Fällen, also doppelt
mitgezählt worden. Also muss man diesen einen Fall einmal von der Summe
subtrahieren, und das Ergebnis ist 6+6-1=11, was man leicht durch
Aufschreiben der Möglichkeiten nachprüfen kann.

Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Sechs zu
würfeln, nicht einfach die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, sondern

  P(SechsImErstenWurf oder SechsImZweitenWurf)

  = P(SechsImErstenWurf) + P(SechsImZweitenWurf)
    - P(SechsImErstenWurf und SechsImZweitenWurf)

  = P(SechsImErstenWurf) + P(SechsImZweitenWurf)
    - P(SechsImErstenWurf) · P(SechsImZweitenWurf)

  = 1/6 + 1/6 - (1/6)² = 11/36

Die 13/27 für das ursprüngliche Problem sind also schon richtig. Und wer
nicht gerne rechnet, kann ja die möglichen Fälle im Post von Martin, wo
der Sachverhalt schön visualisiert wird, einfach nachzählen:

  Beitrag "Re: [Help] Mathematisches Problem"

Auch dort ist der Fall von zwei Freitagskindern berücksichtigt, das sind
nämlich die drei Einträge im Schnittpunkt der Freitagszeile und -spalte.

Autor: Matthias D. (madnap)
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Nun ja hm ich hab mir das jetzt nochmal überlegt. Ist das überhaupt 
sinnvoll so ne Frage zu stellen?
Denn ich könnte  das ja genauso gut mit nem Monat machen wie zum 
Beispiel Januar. halt die selbe Frage bloß einer ist im Januar geboren.
da wär di chance so ungefähr 1/12.
also 23/47. das es ein Junge ist. 48,9%
Mit nem halb Jahr also erstes oder zweites wäre es:
3/7 42,85%.
 Das klingt für mich irgendwie unlogisch...
Hm ich hoffe ich hab mich net verrechnet.
Das würde ja bedeuten, wenn ich in einer Quizshow wäre und da wär ein 
Elternteil das sagt es hat 2 Kinder wie oben in dem Fall und eines davon 
ist ein Junge (Freitag/Januar/1.Halbjahr des Jahres) geboren. Und man 
mich fragt ob das 2. Kind ein Mädchen oder Junge ist, dann wären meine 
chancen besser wenn das elternteil sagen würde, der Junge ist im ersten 
halbjahr gebohren , da dann die chance auf ein mädchen (57,15%), als 
wenn es sagt der Junge ist im Januar geboren, da dann die chance auf ein 
mädchen nur bei(51,1%) liegen.
Kann mir das mal jemand anschaulich erklären sonst raff ich das nicht.

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