Berechnung der n-ten Stelle von PI

[Lehrmann M. (ubimbo)]

Servus Zusammen,

ich möchte gerne die n-te Stelle von PI berechnen. Erzählt mir bitte 
jetzt nicht, dass das niemand braucht (das tut eigentlich auch niemand) 
- ich möchte es trotzdem tun. Da man ja für PI die vorgehenden 
Dezimalstellen (inzwischen nur noch teilweise benötigt) bin ich auf 
folgende Formel gestoßen. Ich wollte daher wissen, ob diese

a) so stimmt
und
b) meine Umformung folgender Maßen richtig ist.

gefundene Gleichung:

Summe k=0 bis Unendlich (1/16^k * (4/(8k+1) - 2/(8k+4) - 1/(8k+5) - 
1/(8k+6))

Umgeformt siehe Anhang.

LaTeX Code nachdem das Forumsinterne nicht funktioniert (hier hab ich 
math und /math schon weggelassen - []nicht vergessen:

\sum_{k=0}^{\infty} 
\frac{1}{16^{(k*\frac{4}{(8k+1)})-\frac{2}{(8k+4)}-\frac{1}{(8k+5)}-\fra 
c{1}{(8k+6)}}}

bei http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

[Jobst M. (jobstens-de)]

Die Formel im Bild ist falsch. Da kommt irgendwas bei 11 heraus ...

$ echo "`for ((i=0;i<20;i++)) ; do echo -n \"\`echo \\\"1/(16^$i)*(4/($i*8+1)-2/($i*8+4)-1/($i*8+5)-1/($i*8+6))\\\" | bc -l\`+\" ; done`0" | bc -l
3.14159265358979323841

... Was rechne ich da eigentlich ... ?

1/(16^k)*(4/(k*8+1)-2/(k*8+4)-1/(k*8+5)-1/(k*8+6))

Ist die Formel, die Du hast ...

1/16^k * (4/(8k+1) - 2/(8k+4) - 1/(8k+5) - 1/(8k+6)


Viel Spaß damit ! :-)


Gruß

Jobst

[Lehrmann M. (ubimbo)]

Jobst M. schrieb:
> 1/(16^k)*(4/(k*8+1)-2/(k*8+4)-1/(k*8+5)-1/(k*8+6))

dann nehme ich wohl diese Gleichung. Umgeformt sieht Sie dann also so 
aus:
siehe Anhang

\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{1}{16^{k}*\left ( 
\frac{4}{(8k+1)}-\frac{2}{(8k+4)}-\frac{1}{(8k+5)}-\frac{1}{(8k+6)} 
\right )}

[Axel R. (Gast)]

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{16^{k}*\left ( \frac{4}{(8k+1)}-\frac{2}{(8k+4)}-\frac{1}{(8k+5)}-\frac{1}{(8k+6)} \right )}$$

[jug (Gast)]

Dieser Ausdruck:

Jobst M. schrieb:
> 1/16^k * (4/(8k+1) - 2/(8k+4) - 1/(8k+5) - 1/(8k+6))

würde aber diese Reihe ergeben:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{16^{k}}* \left( \frac{4}{(8k+1)}-\frac{2}{(8k+4)}-\frac{1}{(8k+5)}-\frac{1}{(8k+6)} \right)$$

welche tatsächlich gegen PI zu konvergieren scheint.

[Lehrmann M. (ubimbo)]

Juhuuu perfekt - vielen Dank irgendwie mag ich's nicht wenn so wenige 
Klammern da sind =)

Danke nochmal

[Jobst M. (jobstens-de)]

jug schrieb:
> welche tatsächlich gegen PI zu konvergieren scheint.


Naja, mit

$ echo "`for ((i=0;i<20;i++)) ; do echo -n \"\`echo \\\"1/(16^$i)*(4/($i*8+1)-2/($i*8+4)-1/($i*8+5)-1/($i*8+6))\\\" | bc -l\`+\" ; done`0" | bc -l

Welches

$$\sum_{k=0}^{19} \frac{1}{16^{k}}* \left( \frac{4}{(8k+1)}-\frac{2}{(8k+4)}-\frac{1}{(8k+5)}-\frac{1}{(8k+6)} \right)$$

entspricht, habe ich mit dem Ergebnis von

3.14159265358979323841

schon bewiesen, daß es gegen Pi konvergiert



Lehrmann Michael schrieb:
> Juhuuu perfekt - vielen Dank irgendwie mag ich's nicht wenn so wenige
> Klammern da sind =)

Soll ich noch ein paar einbauen? :-D


Gruß

Jobst

[D. I. (Gast)]

Jobst M. schrieb:

>
> entspricht, habe ich mit dem Ergebnis von
>
> 3.14159265358979323841
>
> schon bewiesen, daß es gegen Pi konvergiert
>

Beweis durch ausprobieren? Die Technik kannte ich noch nicht ;)

[Andreas F. (aferber)]

Jobst M. schrieb:
> habe ich mit dem Ergebnis von
> 3.14159265358979323841
> schon bewiesen, daß es gegen Pi konvergiert

Du liegst zwar richtig, ein Beweis ist das aber nicht ;-)

Die Formel ist die BBP-Formel für Pi 
(http://de.wikipedia.org/wiki/Bailey-Borwein-Plouffe-Formel). In dem 
Wikipedia-Artikel ist auch (grob) beschrieben, wie man damit einzelne 
Stellen von Pi ausrechnen kann.

Die Formel von Michael am Anfang des Threads ist wohl eher dadurch 
entstanden, dass irgendwo bei der Übertragung zwischen Literatur, ASCII 
und TeX eine Klammer verrutscht ist. Eine Formel für Pi ist das (auch 
die zweite Fassung, wo nicht mehr der ganze Kladderadatsch im Exponenten 
von 16 steht) jedenfalls nicht ;-)

Andreas

[Jobst M. (jobstens-de)]

Stimmt, ein Beweis im mathematischen Sinne ist das sicherlich nicht. 
Meinte ich auch nicht. Für einen mathematischen Beweis bin ich aber auch 
tatsächlich überfragt, wie man den für Pi erbringen könnte.

Zumindest nähert sich die Zahl bei zunehmenden Iterationen der Zahl, die 
ich als Pi kenne. :-)


Gruß

Jobst