Wie komme ich auf die Grenzfrequenz eines RC Tiefpass

[Herbert Walter (Gast)]

Ich habe hier im Heft folgendes stehen:
wg = 1/RC
--> fg = 1/ (RC * 2PI)

Mit welchem Wechselstromansatz komme ich auf diese Gleichung?

[Harald (Gast)]

wg=2*Pi*fg=1/RC

[Harald (Gast)]

mit Kreisfrequenz w=2*Pi*f

[Marius W. (mw1987)]

http://de.wikipedia.org/wiki/Tiefpass

[Herbert Walter (Gast)]

Ok, ich habe jetzt noch was anderes gefunden:

Als Grenzfrequenz fg wird diejenige Frequenz bezeichnet, bei der der 
ohmsche Widerstand (Wirkwiderstand) R genau so groß ist wie der 
Blindwiderstand XC.
R = XC

Beträgt die Spannung wenn sie dann gleich sind nicht die Hälfte?

Dh die Grenzfrequenz ist so definiert dass wenn bis zur Hälfte der 
Spannung abgeschwächt worden ist?

[Fritz (Gast)]

Nein - wenn sie um 3dB abgeschwächt ist. Also Wurzel(2)

[Michael H. (michael_h45)]

Herbert Walter schrieb:
> Dh die Grenzfrequenz ist so definiert dass wenn bis zur Hälfte der
> Spannung abgeschwächt worden ist?
Die Grenzfrequenz wird überlicherweise an 3dB Amplitudenabfall 
festgemacht.

Ganz allgemeines Vorgehen:
Ausgangsspannung als Funktion der Eingangsspannung darstellen 
(schlimmstenfalls über eine Knotenspannungsanalyse). Ausgang durch 
Eingang geteilt nennt sich dann Übertragungsfunktion.

Trägst du dann über der Frequenz auf und suchst den Punkt mit 3dB 
Amplitudendämpfung, hast du die Grenzfrequenz gefunden.

[Herbert Walter (Gast)]

Michael H. schrieb:
> Ganz allgemeines Vorgehen:
> Ausgangsspannung als Funktion der Eingangsspannung darstellen
> (schlimmstenfalls über eine Knotenspannungsanalyse). Ausgang durch
> Eingang geteilt nennt sich dann Übertragungsfunktion.
>
> Trägst du dann über der Frequenz auf und suchst den Punkt mit 3dB
> Amplitudendämpfung, hast du die Grenzfrequenz gefunden.

Habe ich jetzt rechnerisch gemacht über ne Wurzelgleichung und es kommt 
1/RC raus.
Also die Grenzfrequnz ist bei jeder Art von Filtern mit 1/Wurzel(2) 
definiert. Bei LC, RC, CL, RCL...?

[Michael H. (michael_h45)]

Herbert Walter schrieb:
> Habe ich jetzt rechnerisch gemacht über ne Wurzelgleichung und es kommt
> 1/RC raus.
Schön, oder? =)
> Also die Grenzfrequnz ist bei jeder Art von Filtern mit 1/Wurzel(2)
> definiert. Bei LC, RC, CL, RCL...?
Ja.

[Ali B. (Gast)]

Ja definitionsgemäß beträgt das Verhältnis von Ein- zu Ausgang bei der 
Grenzfrequenz 1/sqrt(2). Allerdings handelt es sich dabei um komplexe 
Wechselstromrechnung so das im Vorfeld die Betragsbildung notwendig ist 
um den Amplitudengang zu bestimmen. Durch die dabei zu nutzende 
Quadrierung läßt sich das Betragsverhältnis Ua/Ue als 
1/(1+(wCR)²)ermitteln. Um der Definition der Grenzfrequenz gerecht zu 
werden also Ua/Ue=1/sqrt(2) ergibt sich das R=1/wC sein muss. Bei 
Filtern erster Ordnung ist außerdem der Phasenwinkel 45° bei fg, bei 
Filtern höherer Ordnung bin ich mir da gerade nicht sicher ;).

Dazu kommt meines Erachtens das die gesamte Berechnung von einem 
sinusförmigen Signal ausgeht, alles andere dürfte beliebig komliziert 
werden.

[Herbert Walter (Gast)]

Michael H. schrieb:
> Schön, oder? =)
finde ich schon

Ok ich danke jedem der mir geholfen hat!!

Eine kleine Frage hätte ich noch betreffend eines LC Tiefpasses:
Ich bekomme hier für wg = Wurzel( (-Wurzel(2) + 1) / LC ) heraus.

Kann mir das jemand bestätigen weil ich finde dies nirgends.
Außerdem habe ich eine negative Zahl unter der Wurzel, kann das also 
stimmen?

[Frank B. (f-baer)]

Ali B. schrieb:
> Bei
> Filtern erster Ordnung ist außerdem der Phasenwinkel 45° bei fg, bei
> Filtern höherer Ordnung bin ich mir da gerade nicht sicher ;).

Wenn das Filter ordentlich aufgebaut und parametriert ist, dann sind es 
je Ordnung 45° Phasendrehung an der Grenzfrequenz.

>Eine kleine Frage hätte ich noch betreffend eines LC Tiefpasses:
>Ich bekomme hier für wg = Wurzel( (-Wurzel(2) + 1) / LC ) heraus.

Die Grenzfrequenz eines LC-Filters liegt bei 1/sqrt(LC), da hast du dich 
irgendwo vertan.

[Herbert W (Gast)]

Frank Bär schrieb:
> Die Grenzfrequenz eines LC-Filters liegt bei 1/sqrt(LC), da hast du dich
> irgendwo vertan.

siehe Anhang

[Simon K. (simon)]

Na das kann man ja Prima lesen...

[Michael H. (michael_h45)]

Frank Bär schrieb:
>>Eine kleine Frage hätte ich noch betreffend eines LC Tiefpasses:
>>Ich bekomme hier für wg = Wurzel( (-Wurzel(2) + 1) / LC ) heraus.
> Die Grenzfrequenz eines LC-Filters liegt bei 1/sqrt(LC), da hast du dich
> irgendwo vertan.
fast.

$$f_{g,LC}\left(L, C \right) = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{LC}}$$

Ansonsten: http://www.elektroniktutor.de/analog/filter.html#halbglied

[Herbert W (Gast)]

Simon K. schrieb:
> Na das kann man ja Prima lesen...

[Simon K. (simon)]

Drehen wäre vielleicht auch nicht schlecht gewesen ;-)

[Herbert W (Gast)]

Simon K. schrieb:
> Drehen wäre vielleicht auch nicht schlecht gewesen ;-)

[Herbert W (Gast)]

Simon K. schrieb:
> Drehen wäre vielleicht auch nicht schlecht gewesen ;-)

sry, jetz is richtig

[Frank B. (f-baer)]

Michael H. schrieb:
> Frank Bär schrieb:
>>>Eine kleine Frage hätte ich noch betreffend eines LC Tiefpasses:
>>>Ich bekomme hier für wg = Wurzel( (-Wurzel(2) + 1) / LC ) heraus.
>> Die Grenzfrequenz eines LC-Filters liegt bei 1/sqrt(LC), da hast du dich
>> irgendwo vertan.
> fast.
>

$$> f_{g,LC}\left(L, C \right) = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{LC}} >$$

>
> Ansonsten: http://www.elektroniktutor.de/analog/filter.html#halbglied

Er hat wg angegeben, nicht fg. Und damit reden wir von 1/sqrt(LC).

[Michael H. (michael_h45)]

Frank Bär schrieb:
> Er hat wg angegeben, nicht fg. Und damit reden wir von 1/sqrt(LC).
Alles klar, stimmt.

[Alex (Gast)]

Wenn es jemanden interessiert:
Im Anhang App. Note von TI mit versch. aktiven OPV Filterstrukturen. 
Tief-, Hoch-, Banpass usw. mit Formeln ...

[Herbert W (Gast)]

Was stimmt jetzt an meiner Rechnung nicht?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Herbert W schrieb:
> Was stimmt jetzt an meiner Rechnung nicht?

Deine Rechnung ist fast richtig :)

Du hast ein unbedämpftes LC-Glied berechnet, dabei allerdings eine der
zwei Lösungen unterschlagen, weil du gleich in der ersten Zeile die
Betragsstriche vergessen hast. Für die Berechnung der Grenzfrequenz ist
aber die Amplitude, also der Betrag der Ausgangsspannung maßgeblich.

Die von dir gefundene Lösung ist zwar korrekt, aber leider komplex, so
dass man mit ihr nicht viel anfangen kann. Die zweite Lösung lautet

$$f_\mathrm g = \frac 1{2\pi}\cdot\sqrt\frac{1+\sqrt 2}{LC}$$

Diese Lösung ist reell und kann bspw. mittels Simulation nachgerüft
werden.

Jetzt kommt aber das große "Aber": Das was du berechnet hast, ist kein
richtiger Tiefpass, weil bei idealem L und C an der Resonanzfrequenz die
Ausgangsspannung unendlich hoch wird. Auch bei realen Bauteilen entsteht
in diesem Bereich fast immer ein mehr oder weniger hoher Höcker im Fre-
quenzgang. Um diesen wegzubügeln, muss man zur Bedämpfung einen ohmschen
Widerstand von

$$R=\sqrt\frac{2L}C$$

vor die Spule schalten. Wenn du die Rechnung mit diesem Widerstand wie-
derholst, sollte als Grenzfrequenz die altbekannte Formel

$$f_\mathrm g=\frac 1{2\pi\sqrt{LC}}$$

herauskommen.

[Helmut S. (helmuts)]

Herbert W schrieb:
> Was stimmt jetzt an meiner Rechnung nicht?

Der Fehler ist schon in der ersten Formel mit 1/sqrt(2)

Richtig wäre:

Ua/Ue = 1/(jwC) / (1/(jwC)+jwL) = 1/(1+(jw)^2LC)

|Ua/Ue| = 1/sqrt((1-w^2LC)^2)

1/sqrt(2) = 1/sqrt((1-w^2LC)^2)

sqrt((1-w^2LC)^2) = sqrt(2)

+/-(1-w^2LC) = sqrt(2)

Mit +
1-w^2LC  = sqrt(2)
w^2LC = 1-sqrt(2)
keine Lösung

Mit -
-1+w^2LC  = sqrt(2)
w^2LC = 1+sqrt(2)

fg = sqrt(1+sqrt(2))/(2*pi*sqrt(LC))
-----------------------------------

Das Ergebnis nützt dir aber nichst, da ein LC-Filter ohne Serien-R bei
f=1/(2*pi*sqrt(LC)) eine unendliche Amplitude hat.

Du musst in Reihe zu L noch einen Widerstand einfügen um ein 
vernünftiges Tiefpassverhalten zu bekommen.

[Helmut S. (helmuts)]

Helmut S. schrieb:
> Herbert W schrieb:
>> Was stimmt jetzt an meiner Rechnung nicht?
>
> Der Fehler ist schon in der ersten Formel mit 1/sqrt(2)
>
> Richtig wäre:
>
> Ua/Ue = 1/(jwC) / (1/(jwC)+jwL) = 1/(1+(jw)^2LC)
>
> |Ua/Ue| = 1/sqrt((1-w^2LC)^2)
>
> 1/sqrt(2) = 1/sqrt((1-w^2LC)^2)
>
> sqrt((1-w^2LC)^2) = sqrt(2)
>
> +/-(1-w^2LC) = sqrt(2)
>
> Mit +
> 1-w^2LC  = sqrt(2)
> w^2LC = 1-sqrt(2)
> keine Lösung
>
> Mit -
> -1+w^2LC  = sqrt(2)
> w^2LC = 1+sqrt(2)
>
> fg = sqrt(1+sqrt(2))/(2*pi*sqrt(LC))
> -----------------------------------
>
> Das Ergebnis nützt dir aber nichst, da ein LC-Filter ohne Serien-R bei
> f=1/(2*pi*sqrt(LC)) eine unendliche Amplitude hat.
>
> Du musst in Reihe zu L noch einen Widerstand einfügen um ein
> vernünftiges Tiefpassverhalten zu bekommen.

Nachschlag:

Wenn der Serienwiderstand R "richtig" gewählt wird, dann hat man ein 
maximal flaches Filter (Butterworth-Filter)

R=sqrt(2)*sqrt(L/C)

fg=1/(2*pi*sqrt(LC))

[Herbert W (Gast)]

@Yalu:
1. Wieso gerade R = Wurzel(2L/C) ??

2. Ich verstehe nicht ganz wie du auf Wurzel((1 + Wurzel(2)) / (LC)) 
kommst.
Wenn ich nämlich das ganze betragsmäßig betrachte dann habe ich im 
Zähler -Xc (also -1/wC) und im Nenner XL(wL) - Xc (-1/wC).
Und dann komme ich genau auf das selbe was ich vorher gehabt habe.
Das Xc muss negativ sein und in Folge dessen auch die Wurzel(2) im 
Endergebnis.

Danke für die ganzen Hilfen!!

[High Performer (Gast)]

>Dazu kommt meines Erachtens das die gesamte Berechnung von einem
>sinusförmigen Signal ausgeht, alles andere dürfte beliebig komliziert
>werden.

Natürlich wird von einem sinusförmigen Signal ausgegangen. Nicht 
sinusförmige Signale lassen sich ja ebenfalls als Summe sinusförmiger 
Signale darstellen. Es würde also überhaupt keinen Sinn machen, ein 
Frequenzgemisch zu betrachten. Und so kompliziert sind nicht 
sinusförmige Signale dank Fourier nun auch wieder nicht. Also es hat 
schon seine Richtigkeit, Filter für "reine" (im wahrsten Sinne des 
Wortes) Sinussignale zu berechnen. Ich hoffe, ich habe mich nicht 
missverständlich ausgedrückt.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Herbert W schrieb:
> 2. Ich verstehe nicht ganz wie du auf Wurzel((1 + Wurzel(2)) / (LC))
> kommst.
> Wenn ich nämlich das ganze betragsmäßig betrachte dann habe ich im
> Zähler -Xc (also -1/wC) und im Nenner XL(wL) - Xc (-1/wC).

Der Blindwiderstand des Kondensators ist -1/(ωC), also negativ, somit
steht im Zähler XC (ohne Minuszeichen) und im Nenner XL + XC. Da XC
negativ ist, kann je nach ω der Nenner positiv oder negativ sein. Ist er
negativ, muss bei der Betragsbildung das Vorzeichen umgedreht werden.

Ich finde die Rechnerei mit den teilweise negativen Blindwiderständen
etwas verwirrend, deswegen ist hier die Berechnung ohne sie:

$$\frac 1{\sqrt 2}\ \stackrel!=\, \left|\frac{U_\mathrm A}{U_\mathrm E}\right|= \left|\frac{\frac 1{\mathrm j\omega C}} {\mathrm j\omega L+\frac 1{\mathrm j\omega C}}\right|= \left|\frac 1{1-\omega^2LC}\right|= \begin{cases} \frac 1{1-\omega^2LC} & \text{falls } \omega^2\le\frac 1{LC} \\ \frac 1{\omega^2LC-1} & \text{falls } \omega^2>\frac 1{LC} \\ \end{cases}$$

Die Gleichung hat die Lösungen

$$\omega_1=\pm\sqrt{\frac{1-\sqrt 2}{LC}} \quad\text{(komplex)}$$

und

$$\omega_2=\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt 2}{LC}} \quad\text{(reell)}$$

> 1. Wieso gerade R = Wurzel(2L/C) ??

Helmut hat es ja schon angedeutet:

> Wenn der Serienwiderstand R "richtig" gewählt wird, dann hat man ein
> maximal flaches Filter (Butterworth-Filter)

Die Berechnung des Widerstands ist etwas schreibintensiv verbunden, des-
wegen zeige ich hier nur den prinzipiellen Lösungsweg.

Erst stellt man die komplexe Ausgangsspannung in Abhängigkeit von der
Eingangsspannung dar. Dann gibt es mehrere Möglichkeiten:

1. Man bestimmt die Pole der Übertragungsfunktion. Die beiden Lösungen
   für die Polfrequenzen haben allgemein die Form a±sqrt(b).

   - Ist R zu groß, sind beide Pole reell und verschieden (b>0). Der
     Amplitudenfrequenzgang hat dadurch zwei Knicke nach unten an
     unterschiedlichen Frequenzen:

     _______ <-- erster Knick
            \__
               \__
                  \__  <-- zweiter Knick
                     \
                      \
                       \

   - Ist R zu klein, sind beide Pole konjugiert komplex (b<0), und der
     Frequenzgang hat einen Höcker:

               __
     _________/  \
                  \
                   \

   - Ist R richtig gewählt (b=0), fallen die beiden Pole (und damit die
     beiden Knicke in der ersten Abbildung) zusammen:

     ___________
                \
                 \
                  \
                   \

   Die Bedingung für den Frequenzgang im dritten Bild ist also, dass der
   Radikand b gleich 0 ist. Daraus ergibt sich der Widerstand R.

2. Man bestimmt die lokalen Extrema des Amplitudenfrequenzgangs, indem
   man seine Ableitung nach ω gleich 0 setzt. Die Gleichung hat drei
   Lösungen, und je nach Wahl von R erhält man folgende Extrema:

   - R zu groß (eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen): Der
     Frequenzgang hat ein Maximum bei ω=0 und keine weiteren Extrema.

   - R zu klein (drei verschiedene reelle Lösungen): Der Frequenzgang
     hat ein Minimum bei ω=0, und jeweils ein Maximum bei der positiven
     und negativen "Höckerfrequenz".

   - R richtig (alle drei Lösungen sind gleich 0): Die Extrema fallen
     bei ω=0 zusammen, und die zweite Ableitung ist hier ebenfalls 0.
     Das ergibt den (meist gewünschten) maximal "flachen" Frequenzgang.

   Hier ergibt sich also das optimale R aus der Bedingung, dass alle
   drei Lösungen der Gleichung 0 sind.

Egal welche Berechnungsmethode man bevorzugt, kommt am Ende immer

$$R=\sqrt\frac{2L}C$$

heraus.