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Forum: Mikrocontroller und Digitale Elektronik Mathematische Frage: Knotenpotentialverfahren / Maschenstromverfahren


Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Grüss euch Leute,
ich hab da mal eine mathematische Frage, ich war mir nicht sicher, wo 
das hin gehört, deshalb hab ich es mal hier rein gepostet, weil es ja 
Grundsätzlich um die Berechnung von linearen Netzwerken (mit 
Widerständen, Spannungs- und Stromquellen) geht.

Ich weiss nicht, ob ihr die beiden genannten Verfahren kennt. Wir hatten 
das grade heute an der FH.
Beim Maschenstromverfahren z.B. trägt man in die Diagonale der Matrix 
die Summe der Widerstände in jeder Masche ein. In alle anderen Felder 
trägt man die gemeinsamen Widerstände ein (bisschen kompliziert zum 
erklären).
Als Beispiel das Bild im Anhang (von Wikipedia kopiert; bitte 
entschuldigt meine händischen kritzeleien, ich hatte grade kein besseres 
Tool als Paint und ein Touchpad vom Notebook zur Verfügung...).
Die Matrix sähe so aus (M1..3 sind meine selber definierten Maschen):
Wobei wie gesagt in der Diagonalen die Summe der Widerstände in der 
Masche ist und in den anderen Feldern neben der Diagonalen die Summe der 
gemeinsamen Widerstände zwischen den betreffenden zwei Maschen, wobei 
das Vorzeichen negativ ist, wenn der Maschenumlaufsinn gegensinnig 
verläuft.
In der ganz rechten Spalte ist die Summe aller Spannungsquellen jeder 
Masche eingetragen, wobei das Vorzeichen negativ sein muss, wenn die 
Spannungsrichtung mit dem Maschenumlaufsinn übereinstimmt.
      I1           I2          I0            Summe_Uq
M1   R1+R3+R5     -R5         -R3               Uq5
M2   -R5        R2+R4+R5      -R4               -Uq5
M3   -R3          -R4         R0+R3+R4          Uq0
Soweit so gut. Angenommen, man möchte nun den Strom I1 berechnen. Dann 
gibt man die Matrix in den TR ein, und ruft eine Funktion, die bei 
meinem  HP-Rechner als RREF bezeichnet ist, auf. Heraus kommt dann eine 
Einheitsmatrix, wo alle Felder 0 sind, die Diagonale lauter einsen, und 
in der ganz rechten Spalte stehen dann, von oben nach unten, die Werte 
der Ströme I1, I2 und I0.

Leider hatten wir noch keine Matrizenrechnung, die kommt erst etwas 
später, aber ich möchte nun doch nachvollziehen können, was da gerechnet 
wird. Wie kann der Rechner nur mithilfe dieser Matrix die Ströme in den 
Maschen bestimmen? Wie kommt diese Einheitsmatrix zustande?
Der Dozent ist auf die Frage nicht weiter eingegangen; er meinte, das 
würde dann später noch genauer behandelt. Ich will das aber wissen, wie 
das funktioniert. Auf Wikipedia versuche ich gar nicht erst, zu 
verstehen, was da erklärt wird, weil üblicherweise wird da ja bei 
mathematischen Dingen in möglichst unverständlichem Kauderwelsch 
irgendwas hergeleitet, wo ich dann nur noch Bahnhof verstehe.

Dieses Maschenstromverfahren z.B. das basiert ja darauf:

[U] = [R] * [I],

und dann wird irgendwie die inverse der Matrix gebildet, und dann weiss 
ich nicht weiter, was passiert. Das Verfahren funktioniert aber. Warum?
Kann mir einer diesen mathematischen Zusammenhang mit diesen Matrizen 
erklären? Würde mich echt brennend interessieren. Das Verfahren finde 
ich extrem praktisch; soweit ich das sehe, kann man damit ja sämtlichen 
linearen Netzwerke erschlagen, ohne grossartige Rechnerei mit 
irgendwelchen hässlichen Gleichungssystemen etc.

: Bearbeitet durch Moderator
Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Nachtrag:
Beim Knotenpotentialverfahren funktioniert das ja genau gleich, nur dass 
man anstatt der Widerstände die Leitwerte einträgt; in der rechten 
Spalte stehen dann auch nicht die Spannungen, sondern die Ströme. 
Gerechnet wird dann wieder mit dieser Einheitsmatrix.

Autor: Zwölf Mal Acht (hacky)
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Die Gleichungsloesungsverfahren nach Gauss, mit den Matrizen ist der 
Standardweg. Es gibt eigwntlich keinen Anderen. Die Matrizen sind 
lineare Algebra. Dazu gibt es Buecher. Geh doch mal in eine Buecherei. 
Dort kann ich emfehlen :  Schaum, Lineare Algebra. Ich hab's grad nicht 
vor mir.

Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Dass die Matrix schlussendlich auch nichts weiter ist, als ein lineares 
Gleichungssystem, ist mir schon klar. Nur: mir genügt es nicht, zu 
wissenn, dass ich die Matrix in den TR eintippen kann und dann mit RREF 
diese Einheitsmatrix berechnen kann. Wie wäre das Vorgehen, wenn man 
das, was der Rechner da tut, von Hand machen würde? Genau dieselbe 
Matrix, nur einfach von Hand dann die Einheitsmatrix ausrechnen. Oder 
kann man das far nicht?

Autor: Lasse S. (cowz) Benutzerseite
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Tobias Plüss schrieb:
> ohne grossartige Rechnerei mit
> irgendwelchen hässlichen Gleichungssystemen etc.

Dafür mit großen hässlichen Matrizen. Unser Prof hat dazu dann nur 
gesagt: "Und ab diesem Schritt benutzen Sie bitte einen Computer zum 
Lösen."

Gruß
Lasse

Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Die Matrizen sind aber viel eleganter ;)

Es ist mir zu einfach, nur was in den Rechner zu tippen und das Ergebnis 
abzulesen. Das bringt doch nichts; man sollte doch schon ungefähr 
wissen, was dann vor sich geht, wenn sowas berechnet wird. Oder nicht?

Autor: Lasse S. (cowz) Benutzerseite
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Ja, klar sollte man die Rechenschritte verstehen. Das lernst du (bzw. 
haben wir) aber nicht in ner Elektrotechnik-Vorlesung, sondern in einer 
Mathevorlesung.

Kam bei uns lustiger Weise auch erst später, als der E-Technik Prof das 
eingeführt hatte, haben wir genauso viel verstanden wie du :)

Die Einheitsmatrix ist da ein Resultat des Gaussalgorithmus.

Du willst ja, dass am Ende sowas wie
I1 = 5
I2 = 10
da steht. Genau das sagt
( 1 0 ) (I1) = (5)
( 0 1 ) (I2) = (10)
aus*.


*) Bitte als 2x2, bzw. 2x1 Matrix lesen

Autor: Vuvuzelatus (Gast)
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Dein TR löst das Gleichungssystem wahrscheinlich einfach per 
Gaußelimination.

Schau mal hier:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/lgsbsp2.htm

Dort findest Du das Verfahren anhand eines Beispiels erklärt.

Autor: Florian Eberl (fofi1)
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Der Witz ist, dass der Eingangspost die Methode zum direkten Aufstellen 
der Gleichungen schön kompakt darstellt und für mich gerade besser und 
zielführender war als jedes Tutorial/Buch der letzten halben Stunde im 
WWW.

Sorry dass ich die Leiche ausgegraben habe, aber falls der Ersteller 
noch ein Abo auf das Thema hat: DANKE :)

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