Grüss euch Leute,
ich hab da mal eine mathematische Frage, ich war mir nicht sicher, wo
das hin gehört, deshalb hab ich es mal hier rein gepostet, weil es ja
Grundsätzlich um die Berechnung von linearen Netzwerken (mit
Widerständen, Spannungs- und Stromquellen) geht.
Ich weiss nicht, ob ihr die beiden genannten Verfahren kennt. Wir hatten
das grade heute an der FH.
Beim Maschenstromverfahren z.B. trägt man in die Diagonale der Matrix
die Summe der Widerstände in jeder Masche ein. In alle anderen Felder
trägt man die gemeinsamen Widerstände ein (bisschen kompliziert zum
erklären).
Als Beispiel das Bild im Anhang (von Wikipedia kopiert; bitte
entschuldigt meine händischen kritzeleien, ich hatte grade kein besseres
Tool als Paint und ein Touchpad vom Notebook zur Verfügung...).
Die Matrix sähe so aus (M1..3 sind meine selber definierten Maschen):
Wobei wie gesagt in der Diagonalen die Summe der Widerstände in der
Masche ist und in den anderen Feldern neben der Diagonalen die Summe der
gemeinsamen Widerstände zwischen den betreffenden zwei Maschen, wobei
das Vorzeichen negativ ist, wenn der Maschenumlaufsinn gegensinnig
verläuft.
In der ganz rechten Spalte ist die Summe aller Spannungsquellen jeder
Masche eingetragen, wobei das Vorzeichen negativ sein muss, wenn die
Spannungsrichtung mit dem Maschenumlaufsinn übereinstimmt.
1 | I1 I2 I0 Summe_Uq
|
2 | M1 R1+R3+R5 -R5 -R3 Uq5
|
3 | M2 -R5 R2+R4+R5 -R4 -Uq5
|
4 | M3 -R3 -R4 R0+R3+R4 Uq0
|
Soweit so gut. Angenommen, man möchte nun den Strom I1 berechnen. Dann
gibt man die Matrix in den TR ein, und ruft eine Funktion, die bei
meinem HP-Rechner als RREF bezeichnet ist, auf. Heraus kommt dann eine
Einheitsmatrix, wo alle Felder 0 sind, die Diagonale lauter einsen, und
in der ganz rechten Spalte stehen dann, von oben nach unten, die Werte
der Ströme I1, I2 und I0.
Leider hatten wir noch keine Matrizenrechnung, die kommt erst etwas
später, aber ich möchte nun doch nachvollziehen können, was da gerechnet
wird. Wie kann der Rechner nur mithilfe dieser Matrix die Ströme in den
Maschen bestimmen? Wie kommt diese Einheitsmatrix zustande?
Der Dozent ist auf die Frage nicht weiter eingegangen; er meinte, das
würde dann später noch genauer behandelt. Ich will das aber wissen, wie
das funktioniert. Auf Wikipedia versuche ich gar nicht erst, zu
verstehen, was da erklärt wird, weil üblicherweise wird da ja bei
mathematischen Dingen in möglichst unverständlichem Kauderwelsch
irgendwas hergeleitet, wo ich dann nur noch Bahnhof verstehe.
Dieses Maschenstromverfahren z.B. das basiert ja darauf:
[U] = [R] * [I],
und dann wird irgendwie die inverse der Matrix gebildet, und dann weiss
ich nicht weiter, was passiert. Das Verfahren funktioniert aber. Warum?
Kann mir einer diesen mathematischen Zusammenhang mit diesen Matrizen
erklären? Würde mich echt brennend interessieren. Das Verfahren finde
ich extrem praktisch; soweit ich das sehe, kann man damit ja sämtlichen
linearen Netzwerke erschlagen, ohne grossartige Rechnerei mit
irgendwelchen hässlichen Gleichungssystemen etc.
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