Impulsantwort Serienschwingkreis berechnen

[Kai F. (kai-)]

Hallo Leute,
ich möchte die Impulsantwort einer realen Spule berechnen (Bild siehe 
Anhang)
Die Spule bekommt dabei einen kurzen Spannungsimpuls und kann daraufhin 
frei schwingen. Die Übertragungsfunktion zu berechnen ist zwar etwas 
eklig, aber machbar. Mein Problem ist nur das "frei schwingen". Bei 
einer normalen Impulsantwort, würde der Eingang ja wieder auf GND 
gezogen werden, ich schalte die Spannung aber über eine Diode zu, damit 
die Spule eben nicht auch GND gezogen wird. Gibt es eine Möglichkeit das 
zu berechnen oder stehe ich da auf verlorenem Posten?
Ich hatte überlegt anzunehmen, dass der Kondensator nach dem Impuls 
geladen ist(was auch ganz sicher der Fall ist) und das als Randbedingung 
in die entsprechenden Differenzialgleichungen einzusetzen... bin mir 
aber nicht sicher ob mich das weiter bringt
Kai

[Johannes (Gast)]

> Ich hatte überlegt anzunehmen, dass der Kondensator nach dem Impuls
> geladen ist(was auch ganz sicher der Fall ist) und das als Randbedingung
> in die entsprechenden Differenzialgleichungen einzusetzen

Ja genau, das ist schon der richtige Ansatz. Du brauchst als 
Anfangsbedingung die Kondensatorspannung und den Spulenstrom, sinvoll 
wäre z.B. mit Spulenstrom = 0 und einer bestimmten Kondensatorspannung 
(ungleich 0) als Startwert zu rechnen.

[Armin (Gast)]

okay, mir fällt auch nichts Besseres ein.
Aber wie groß ist die Kondensatorspannung im ersten Moment?

grundsätzlich könnte ich mir vorstellen, dass du mit der 
Übertragungsfunktion gar nicht weiter kommst, da deine Anfangswerte nach 
diesem Vorgehen ja nicht gleich 0 sind. Stell lieber Knoten-, Maschen- 
und Bauteilgleichungen auf. Pack das in ein System und lös das dann mit 
den AWs als Ganzes.

[U. B. (Gast)]

Macht nur Sinn, als Anfangsbedingung den Kondensator als auf den "kurzen 
Spannungsimpuls" aufgeladen zu betrachten. -
Dauerte der Spannungsimpuls "länger", würde inzwischen Strom in der 
Spule zu fliessen beginnen und damit die Verhältnisse nicht mehr 
definiert.

[U. B. (Gast)]

Ach ja, und natürlich kann man auf einen idealen Kondensator keine 
ideale Spannungsquelle aufschalten ...

[Purzel H. (hacky)]

Moeglicherweise vereinfacht dieser Zusammenhang die Rechnerei... Die 
Uebertragungsfunktion ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort. 
Dh mit der Uebertragungsfunktion ist man dabei.

[Kai F. (kai-)]

Der Kondensator stellt die parasitären Kapazitäten der realen Spule dar 
und ist daher recht klein. Ich denke man kann schon davon ausgehen, dass 
der nach dem Impuls voll ist. Allerdings wird auch die Spule mit 1mF 
keinen Spulenstrom von 0 haben.
Mein Vorhaben ist das Abklingverhalten der Eigenresonanzschwingung der 
Spule mit und ohne Metall in der Nähe zu berechnen. Es geht hier nicht 
um absolute Werte, sondern ich will zeigen, dass wenn R_FE verringert 
wird, die Schwingung schneller abklingt, Bild siehe Anhang (AC Messung)
Dass man das aus dem Schaltplan erkennen kann, ist mir klar, ich würde 
es nur gerne mathematisch herleiten

@a...aha: ich glaube das ist uns allen klar :)

[Armin (Gast)]

A...aha Soooo. schrieb:
> Moeglicherweise vereinfacht dieser Zusammenhang die Rechnerei... Die
> Uebertragungsfunktion ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort.
> Dh mit der Uebertragungsfunktion ist man dabei.

das stimmt zwar, aber so wie Kai das beschreibt hat er tatsächlich keine 
ideale Spannungsquelle, sonst müsste der "volle" kondensator dann auch 
unendlich große Spannung haben.
Für mich klingt das eher nach einer endlich kurzen Rechteckfunktion als 
Anregung. Also zwei überlagerte Sprunganregungen könnten es tun...

[Kai F. (kai-)]

ich glaube das Problem ist noch nicht ganz klar geworden.
Armin hat schon Recht, mit zwei Sprungfunktionen könnte ich die Anregung 
beschreiben, jedoch geht dann die zweite Sprungfunktion auf Ground und 
das sollte nicht der Fall sein. Ich habe mal den Versuchsaufbau 
angehängt, beachtet bitte die Diode, die die Spule frei schwingen lässt

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Den Rechenweg hier im Detail aufzuschreiben, ist mir jetzt etwas zu viel
Arbeit, aber hier sind die wesentlichen Zwischenergebnisse:

Die Differentialgleichung lautet

$$(R_\mathrm{Fe}+R_\mathrm{Cu})LC\ddot U + (R_\mathrm{Fe}R_\mathrm{Cu}C+L)\dot U+R_\mathrm{Fe}U=0$$

Eine (gedämpfte) Schwingung der Form

$$U=U_0\cdot\mathrm e^{-\frac t\tau}\cdot\sin(\omega t+\varphi)$$

entsteht genau dann, wenn

$$\left(\sqrt{1+\frac{R_\mathrm{Cu}}{R_\mathrm{Fe}}}-1\right)^2\cdot\frac L{R_\mathrm{Cu}^2} <C< \left(\sqrt{1+\frac{R_\mathrm{Cu}}{R_\mathrm{Fe}}}+1\right)^2\cdot\frac L{R_\mathrm{Cu}^2}$$

Im vorliegenden Fall ist

$$\tau=\frac{2(R_\mathrm{Fe}+R_\mathrm{Cu})LC}{R_\mathrm{Fe}R_\mathrm{Cu}C+L}$$

τ ist dabei unabhängig von den Anfangsbedingungen (Spannung an C und
Strom durch L) und damit auch unabhängig von der Dauer und der Amplitude
des Impulses.

Um den Verlauf (steigend oder fallend) von τ in Abhängigkeit von RFe
zu bestimmen, wird τ nach RFe abgeleitet:

$$\frac{\mathrm d\tau}{\mathrm dR_\mathrm{Fe}}=\frac{2(L-R_\mathrm{Cu}^2C)LC}{(R_\mathrm{Fe}R_\mathrm{Cu}C+L)^2}$$

Dieser Ausdruck ist überall größer 0, wenn

$$C<\frac L{R_\mathrm{Cu}^2}$$

Unter dieser Bedingung, die für reale Spulen meistens erfüllt sein
dürfte, stimmt also die Vermutung von Kai, dass τ mit RFe steigt bzw.
die Schwingung mit kleinerem RFe schneller abklingt.

Für

$$C>\frac L{R_\mathrm{Cu}^2}$$

klingt die Schwingung mit kleinerem RFe zwar langsamer ab, jedoch ist in
diesem Fall τ maximal √3/(2π) der Periodendauer, so dass die Schwingung
schon nach einer Periode auf etwa 2,7% der Anfangsamplitude abgeklungen
ist.

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet ;-)

[Kai F. (kai-)]

vielen Dank, die Idee tau nach R_fe abzuleiten ist genial :)
werde das alles nochmal nachrechnen und dann einbauen

[Helmut S. (helmuts)]

@yalu
Hut ab und danke für die Berechnung. Hab deine Formeln gleich mal mit 
LTspice getestet.

[Klaus R. (klara)]

Hallo Kai,
bei Deiner Messanordnung kannst Du Dir nach der Messung sofort einen 
neuen Oszi holen. Lass die Simulation von Helmut mal mit 100pF laufen. 
Bei 100uH Spulen ist sie eigentlich noch wesentlich kleiner.
Gruss Klaus.

[kai- (Gast)]

Die Messungen kamen direkt vom Oszi und das lebt noch. Hohe 
Spannungsspitzen wurden vom MOSFET kurzgeschlossen, weil die 
Drain-Source Spannung überschritten wurde