Wie löse ich folgendes Integral

[D. I. (Gast)]

Innerhalb eines Beweises muss ich folgendes Integral (Thema B-Splines) 
lösen:

$$N_0^1(u)=\int_0^u \! N_0^0(u-y)N_0^0(y) \, \mathrm{d}y \quad u \in [0;\infty)$$

mit

$$N_i^0(u):=\begin{cases}1 \quad \mbox{wenn} \quad i \leq u < i+1\\0 \quad \mbox{sonst} \quad \end{cases}$$

Aber ich komme nicht drauf wie man bei der Multiplikation der 2 
Funktionen die Fallunterscheidung korrekt behandelt.

Das Ergebnis was ich erwarte ist:

$$N_0^1(u):=\begin{cases}u \quad \mbox{wenn} \quad 0 \leq u < 1\\2-u \quad \mbox{wenn} \quad 1 \leq u < 2\\0 \quad \mbox{sonst}\end{cases}$$

[Purzel H. (hacky)]

Zeichne die zu integrierende Funktion doch mal auf. Dann wird's 
einfacher.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Im ersten Fall integrierst du ganz normal von 0 bis u. Beide Faktoren im
Integral sind dann 1, also ist das Ergebnis u-0=u.

Im zweiten Fall zerlegst du das Integral in drei Teilintegrale: von 0
bis u-1, von u-1 bis 1 und von 1 bis u. Im ersten Integral ist der linke
Faktor 0, im letzten der rechte. Nur im mittleren Integral sind beide
Faktoren 1, also ist das Ergebnis 1-(u-1)=2-u.

Im dritten Fall gehen die drei Teilintegrale von 0 bis 1, von 1 bis u-1
und von u-1 bis u. Im ersten Integral ist der linke Faktor 0, im letzten
der rechte und im mittleren beide. Also ist das Ergebnis 0.

[D. I. (Gast)]

Yalu X. schrieb:
> Im ersten Fall integrierst du ganz normal von 0 bis u. Beide Faktoren im
> Integral sind dann 1, also ist das Ergebnis u-0=u.
>

Das habe ich noch selbst hingebracht jo.

> Im zweiten Fall zerlegst du das Integral in drei Teilintegrale: von 0
> bis u-1, von u-1 bis 1 und von 1 bis u. Im ersten Integral ist der linke
> Faktor 0, im letzten der rechte. Nur im mittleren Integral sind beide
> Faktoren 1, also ist das Ergebnis 1-(u-1)=2-u.
>
> Im dritten Fall gehen die drei Teilintegrale von 0 bis 1, von 1 bis u-1
> und von u-1 bis u. Im ersten Integral ist der linke Faktor 0, im letzten
> der rechte und im mittleren beide. Also ist das Ergebnis 0.

Ok das führt offensichtlich zum Ergebnis. Aber was ist die Idee dahinter 
die Integrationsgrenzen so zu wählen?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

D. I. schrieb:
> Ok das führt offensichtlich zum Ergebnis. Aber was ist die Idee dahinter
> die Integrationsgrenzen so zu wählen?

Die beiden zwischen 0 und u liegenden zusätzlichen Integrationsgrenzen
werden an die Unstetigkeitsstellen der beiden Faktoren gelegt. Bei y=1
wechselt N00(y) von 1 nach 0, und bei y=u-1 wechselt N00(u-y) von 0 nach
1.

Jetzt muss noch geprüft werden, in welchen Fällen die Grenzen 1 und u-1
überhaupt relevant sind, d.h innerhalb des Intervalls [0,u] liegen. Das
ist nur für u>=1 der Fall. Für u<1 sind N00(y) und N00(u-y) über das
gesamte Integrationsintervall konstant 1, was das Ergebnis u liefert.

Für u>=1 liegen 1 und u-1 beide in [0,u], also spaltet man das Gesamt-
integral sinnvollerweise an den Unsteigkeitsstellen der Faktoren in drei
Teile auf. Damit sich die Teilintervalle nicht überlappen, muss man die
Zwischengrenzen 1 und u-1 in die richtige (aufsteigende) Reihenfolge
bringen, so dass sich folgende Integrationsgrenzen ergeben:

  0,   u-1,   1,   u      für u<2

oder

  0,    1,   u-1,  u      für u>=2

Zwischen jeweils zwei dieser Grenzen sind N00(y) und N00(u-y) beide
konstant, so dass die drei Teilintegrale leicht gelöst werden können.

[D. I. (Gast)]

Ok danke dir für die ausführliche Erklärung das hat geholfen.