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Forum: Offtopic Frage zur Integralrechnung


Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Hallo,
in der FH hatten wir grade Mathe. Wir haben die Oberfläche von 
Rotationskörpern und die Länge einer Kurve berechnet. Bei letzterem 
benutzt man ja ein Integral der Form
.

Leider ist es so, dass man gerade bei komplizierteren Funktionen das 
nicht mehr so einfach auf dem Papier berechnen kann, weil dann die 
Ausdrücke schnell sehr gross und kompliziert werden. Deshalb benutzt man 
ja dazu den Taschenrechner. Nun. Ich habe einen hp 49g+.
Gebe ich einen einfachen Ausdruck der Form

ein (was ja die Bogenlänge einer Sinusfunktion im Intervall 0 bis Pi 
wäre), dann spuckt mein Rechner sowas aus:

Was soll denn DER Müll? Kann mir einer erklären, warum er das numerisch 
nicht kann, oder was ich falsch mache? Bei TI klappt das problemlos. Ich 
benutze aber jetzt schon 5 oder 6 Jahre meinen hp, und in 2 Monaten ist 
die Prüfung. Ich kann nicht so kurzfristig den Rechner umstellen wegen 
einer solchen Lapallie. Kann mir einer einen Tipp geben? Wer kennt den 
hp gut?
Sobald unter der Wurzel eine Winkelfunktion oder sowas ähnliches steht, 
versagt der Rechner. Andere Integrale berechnet er aber Anstandslos, 
Volumenintegrale usw. funktionieren ohne Probleme. Nur bei der 
Bogenlänge und der Oberfläche zickt er rum. Ich hoffe ihr wisst rat 
(bitte nicht sowas in der Art "Ein funktionierender Rechner würde xx € 
kosten - das bringt nichts, und ausserdem funktioniert der hp sonst ja 
auch).

Ach ja: Winkel sind auf Radiant eingestellt, Mode ist auf exakt, das CAS 
ist auf Real Number eingestellt.

Ich hoffe einer weiss einen Tipp :-)

Autor: Platinenschwenker .. (platinenschwenker)
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Also zumindest das mittlere Integral schreit doch förmlich nach 
Substitution.

;-)

sin^2 (x) + cos^2 (x) = 1

Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Hallo Platinenschwenker,
ja das stimmt schon, nur bringt das wenin. Denn selbst beim Ausdruck

kommt Mist raus. Ich habe nun eine Systematik dahinter entdeckt:

Hat man einen Ausdruck wie ln, Wurzel, log, sin, cos, tan, sinh, cosh, 
tanh, ... unter der Wurzel, dann kann ers nicht mehr berechnen bzw. 
bringt sein komisches t in der Lösung mit.
Gebe ich die Funktion jedoch im Graphik-Mode ein, lasse den Graphen 
zeichnen, und integriere dann im Graphen mittels des Befehls "AREA", 
dann kann er es berechnen. Irgendwie lässt sich dieses Integral also 
schon lösen, nur weiss ich nicht wie.

Ich lade jetzt erst mal von hp ein Softwareupdate, vielleicht 
(hoffentlich) geht es dann. Wenn nicht habe ich wohl ein grösseres 
Problem ... :/

Autor: Platinenschwenker .. (platinenschwenker)
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> Denn selbst beim Ausdruck

> \int_{0}^{pi}\sqrt{sin x} dx

> kommt Mist raus

Ähem .. Tobias, ich würde mal sagen ein wenig falsch substituiert. ;-)

Ersetze mal den Term unter der Wurzel richtig!

Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Das war nur als Beispiel gedacht und hat nichts mit ersterer Aufgabe zu 
tun. Es diente nur dazu, zu testen, ob mein 49g+ dieses Integral 
berechnen kann. Was nicht der Fall ist.
Hast du selber einen solchen Rechner? könntest du für mich mal testen, 
ob deiner das auch nicht kann? vielleicht habe ich ja irgend eine 
Einstellung verkorkst oder mache sonst was falsch.

Autor: Platinenschwenker .. (platinenschwenker)
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> Hast du selber einen solchen Rechner? ..

Sorry, mein alter HP48g ist z.Z. 'off Batteries'.

Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Kein Problem. Vielleicht ist jemand anders so nett, und testet es auf 
seinem Rechner?

Ich habe jetzt von hpcalc.org ein ROM-Upgrade runter geladen. Oh Wunder! 
Immerhin kann ich es nun nach aufspielen des Updates numerisch 
integrieren. Eine Allgemeine Lösung kann er nach wie vor nicht angeben - 
also das unbestimmte Integral von z.B. sqrt(sin(x)).
Aber numerisch geht. Mann bin ich erleichtert, denn wenn sowas nicht 
ginge, wäre ich an der Abschlussprüfung echt aufgeschmissen. Da wimmelt 
es nur so von allerlei hässlichen Integralen. Oberflächen, 
Bogenlängen... Volumen usw.

Autor: Simon K. (simon) Benutzerseite
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Gibt es bei HP nicht die Möglichkeit Symbole zu definieren? Bei den TI 
geht das. Vielleicht hast du im Speicher unter 'x' noch irgendwas 
abgespeichert.
Achte auch darauf, dass, wenn du von 0 - Pi integrierst, der 
Taschenrechner auf RAD (Radiant) steht.

Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Simon,
natürlich kann ich Symbole definieren und da was abspeichern. Aber in 
der Variable X speichere ich sicher nie was, denn das würde dann genau 
solche Probleme geben ;-) Ich habe es vorsichtshalber kontrolliert, und 
unter X ist nichts gespeichert.

Autor: Simon K. (simon) Benutzerseite
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Und unter 'y' oder 'd'?
Vermutlich erkennt der Taschenrechner auch das sin nicht als sinus. 
Klammern vergessen? Und sin²() muss ja auch nicht unbedingt 
funktionieren.

Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Hoi,
nein nein. Die Zeichen d, y, sind in diesem Falle gar keine Variablen, 
sondern es sind feste Symbole. Die macht der Rechner von sich aus, wenn 
ich ihm sage, ich will integrieren.
sin²(x) habe ich natürlich als

(sin(x))² eingegeben.

Ich habe vorsichtshalber noch kontrolliert, ob d und y gelöscht sind. 
Sind sie erwartungsgemäss.
Andere Ideen?

Irgendwie habe ich das Gefühl, dass der Rechner da was versucht zu 
substituieren, nur leuchtet mir nicht ein, was.

Autor: Xeraniad X. (xeraniad)
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Hallo Tobias

Ich hab den HP50g (Version HP50-C Revision #2.08 HP 2006) und kann das 
von Dir beschriebene Verhalten reproduzieren.

Bei http://www.hpcalc.org/hp49/pc/rom/ wäre "Flash update file to update 
the ROM of the HP 49g+ and HP 50g to version C-2.15. Also includes 
updates to the equation library and periodic table library. This is the 
latest official supported release." vom 21. 4. 2009 erhältlich, das hab 
ich noch nicht installiert.

Gut, dass Dein HP mit dem ROM-Update diese Integrale jetzt zumindest 
numerisch auswerten kann.

Derzeit weiss ich nicht, ob das beschriebene Verhalten als 
Software-Fehler betrachtet werden kann.

Der Integrand "√{1-sin²(x)}" wird nicht nach cos(x) gewandelt, dies kann 
jedoch im Editor mittels "TRIGC" erzwungen werden.

Es gibt zwei Gründe, welche die beschriebene "Schwäche" gemäss meiner 
Ansicht relativieren.
° Die Stammfunktion von √{1+sin²(x)} für die Bogenlänge ergibt ein 
elliptisches Integral zweiter Art. Solche Stammfunktionen kann das 
HP-CAS symbolisch ohnehin nicht liefern. Dasselbe gilt für den 
Integranden √{sin(x)}.
° http://integrals.wolfram.com liefert für den Integranden 
"Sqrt[1-Sin[x]^2]" überraschenderweise die Stammfunktion "√{cos²(x)} 
·tan(x)". Dies ist nicht falsch, aber die Antwort sin(x) hätte mir 
besser gefallen: auch der grosse Wolfram-Integrator liefert hier 
Erstaunliches...

Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Hallo Xeraniad,
cool, danke dass du es für mich auf deinem 50g ausprobiert hast.
Ich habe genau das von dir genannte ROM aufgespielt. Es hat den 
zusätzlichen Vorteil, dass die Berechnungen ein wenig schneller 
vonstatten gehen, und die Graphen von komplizierteren Funktionen etwas 
schneller geplottet werden. Und wie gesagt geht zumindest schon mal die 
numerische Integration.
Ich habe mich auch noch ein bisschen schlau gemacht, und anscheinend 
gibt es tatsächlich Ausdrücke, die man nur sehr schwer symbolisch 
integrieren kann. Offenbar gehört dieser sqrt(sin(x)) dazu.
Interessant ist, dass das TI-CAS diesen Ausdruck symbolisch berechnen 
kann. Es kommen bei solchen Berechnungen zwar sehr hässliche, riesige 
Ausdrücke heraus, aber offenbar ist es lösbar.
Naja, ich lasse es nun mal darauf ankommen. Wenn ich dann halt auch ein 
paar solche Aufgaben versemmle - ich muss dann halt umso mehr drauf 
achten, die anderen Berechnungen gut zu lösen. Was durchaus im Bereich 
des Möglichen liegen sollte (ich habe jetzt grade ein paar alte 
Prüfungen ausgedruckt und löse erstmal die. Da sind vor allem implizites 
Ableiten und Funktionen in Parameter- und Polarkoordinaten gefragt, was 
mit dem Rechner sowieso nicht mehr wirklich gut geht).
Meinst du, es hätte einen Sinn, einmal den Support von hp mit diesem 
Problem zu konfrontieren?

Gruss

Autor: Xeraniad X. (xeraniad)
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Hallo Tobias

Solche Aufgaben sollten /können an Prüfungen nicht gestellt werden.

Bei HP habe ich den Eindruck, dass das Projekt eingestellt ist (This is 
the latest official supported release.).

Zur Aufnahme diverser spezieller Funktionen (wie z. B. elliptische 
Integrale) für die Integration müsste der Autor 
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/english.html das CAS-Konzept 
recht tiefschürfend überarbeiten. HP wird nicht weiter investieren. Die 
wollen lieber teure Tinte verkaufen.

Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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> Solche Aufgaben sollten /können an Prüfungen nicht gestellt werden.

Ich hoffe es doch sehr ;-) aber "normale" Integrale werden mit 
Sicherheit kommen, das habe ich bei den älteren Prüfungen schon gesehen.

> HP wird nicht weiter investieren

Willst du damit andeuten, dass die hp Rechner nicht weiter entwickelt 
werden? das würde ja bedeuten, dass hp keine Rechner mehr macht.

Ach ja, nochwas fällt mir ein.
Lassen sich mit dem hp irgendwie die Koeffizienten einer Fourierreihe 
berechnen? Laut Handbuch müsste das irgendwie gehen, nur werde ich nicht 
so recht schlau daraus.
Die Funktion FOURIER wird dazu wohl gebraucht, oder?

Noch was:
mit dem Befehl TAYLR lässt sich ja eine Taylorreihe berechnen. Schön und 
gut, nun möchte ich aber den Entwicklungspunkt ändern. Ich möchte z.B. 
die Funktion sin(x) um den Punkt x = 7 herum entwickeln. Wie geht das 
vonstatten?
Um die Taylorreihe um 0 herum zu entwickeln, muss man ja z.B. eingeben

sin(x)
x
11

wenn man die Reihe bis zur 11. Potenz wissen will. Laut Handbuch müsste 
man eingeben

sin(x)
x-7
11

Und dann sollte die Taylorreihe für sin(x) um den Entwicklungspunkt 7 
herum bis zur 11. Potenz ausgegeben werden. Aber das stimmt in dem Fall 
nicht, denn es kommt erwartungsgemäss die Taylorreihe für sin(x-7) 
heraus, welche natürlich um 7 phasenverschoben ist zum richtigen sin(x).

Gruss Tobias

Autor: Xeraniad X. (xeraniad)
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Ja, ich habe den Eindruck bzw. erinnere mich, vor längerer Zeit irgendwo 
gelesen zu haben, dass HP zumindest derzeit nicht beabsichtigt, weitere 
Taschenrechner zu entwickeln.
http://h41111.www4.hp.com/calculators/de/de/graphi...
"HP übernimmt keine Gewährleistung über die Verfügbarkeit künftiger 
Upgrades.". Seit einiger Zeit hat sich da nichts mehr getan.
Gründe:
° Konkurrenz PC-basierter CAS-Systeme, welche auf immer kleineren, 
leistungsfähigeren Notebooks laufen.
° Verbreitete Einschränkungen /Verwendungsverbote bei Prüfungen.

Für die Funktion FOURIER folgt hier ein kleines, triviales Beispiel zur 
Berechnung des komplexen Fourier-Koeffizienten c₁ mit Frequenz-Index 1 
für die Zeitfunktion sin(x).
sin(x)   ← PERIOD (2·π) -periodische Zeitfunktion
1        ← Frequenz-Index
FOURIER
→ -½·j
Wegen b[k] = -2·Im(c[k]) ist b₁ = 1. Alle anderen Koeffizienten sind 0 → 
die Fourier-Reihe für sin(x) heisst sin(x).

Die Steuerung des Entwicklungspunktes ≠ 0 bei TAYLR habe ich noch nicht 
näher angesehen.

Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Naja, die CAS-Systeme auf Notebooks nutzen einem wenig, denn an den 
meisten Prüfungen sind Notebooks nicht zugelassen. Rechner hingegen 
schon.... daher verstehe ich hp hier nicht ganz.
Dabei haben sie doch erst vor kurzem den 35s herausgebracht, ein 
moderner Klon des originalen hp 35. Ich musste mir das Gerät schon nur 
deswegen beschaffen, weil es im originalen retro-hp-look gehalten ist 
:-D

Autor: Xeraniad X. (xeraniad)
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Autor: Juri Parallelowitsch (Gast)
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Ich hab hier noch eine alte Schreibmaschine von meinem Großvater - die 
kann das Integral auch nicht lösen.

Taschenrechner? Mittelalter?

Hochschule wechseln!

Seit etwa 15 Jahren verwendet man Maple oder Mathematika, nach Geschmack 
- und wer kein Geld ausgeben will: Scilab.

Problem mit TI lösen = 40 h
Problem mit Excel lösen = 4 h
Problem mit Maple lösen = 4 min
Problem mit Scilab lösen = 4 s

(Das glauben die 'Alten' immer nicht)

Bitte mal posten ob es noch UNIs gibt wo man mit Steinen Löcher in 
Steine kloppt - die würde ich dann streichen wenn sich Leute auf die 
nächste Stelle bewerben.

Eigentlich unglaublich das es offenbar immer noch Hochschulen gibt die 
vorsinnflutliche Methoden unterrichten und damit nur unqualifizierte 
Absolventen produzieren.

Ist die Hochschullandschaft echt so primitiv - das Leute 
"Taschenrechner" verwenden müssen?

Autor: Großes Fragezeichen (112)
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Also ihr führthier echt seitenweise Debatten über eure Taschenrechner...
Bei uns an der TU, geht das so:

Subst.: 1 = sin² + cos²

...einsetzen...

übrig bleibt Integral von Null bis Pi aus Wurzel (sin²) dx.
...Wurzel ziehen...

...paar Gedanken machen, in welchem Quadranten man sich dann befindet 
und schauen ob es erlaubt ist...

und schließlich das Integral sin(x) dx von null bis pi lösen...

raus kommt "1"

Autor: Tobias Plüss (hubertus)
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Juri,
das ganze gedöns mit Matlab, Maple, Mathcad und all dem Kram wir 
selbstverständlich auch doziert, aber etwas später. Ich finde es 
richtig, dass man lernt, erst "von Hand" was zu berechnen, um die 
einzelnen Schritte nachvollziehen zu können. Immerhin ist das erst der 
Mathe-Grundlagenkurs.
Eine Formel in Matlab oder wxMaxima eingeben und dann das Resultat 
ablesen, dazu muss keiner studiert haben, jeder Depp, der weiss, wo der 
einschalter des PCs ist, kann das. Zügle also bitte dein Mundwerk (bzw. 
deine Tastatur), bevor du voreilig ein schlechtes Urteil über die FH 
äusserst, welche ich besuche. Sowas ist eine Frechheit, und du hast 
nicht die geringste Ahnung, wie so ein Studium hier in der Schweiz 
aussieht. Aber von dem, was ich hier im Forum so lese, ist es hier um 
Welten besser, als was du dir vermutlich gewohnt bist. Also spar dir 
deinen abschätzigen Kommentar.
Das mit den Steinen war übrigens auch eine ziemlich dumme Äusserung. Mit 
ähnlich dummen Argumenten könnte man behaupten, es sei heutzutage nicht 
mehr notwendig, analoge OpAmp-Schaltungen zu lehren, denn man kann ja 
auch einen DSP nehmen und das Problem in Software lösen. Oder? Ist doch 
viel zeitgemässer, als eine ordinäre analoge Schaltung. Oder das ganze 
vielleicht noch diskret? So mit Transistoren und Widerständen? Iiih, da 
kann man ja keine Software drauf laden. Ist dir auch schon aufgefallen, 
dass heutzutage kaum mehr einer weiss, wie man diskret aus Dioden, 
Transistoren, Widerständen und anderen diskreten Elementen z.B. einen 
FM-Tuner baut? Und weisst du auch, warum das keiner mehr weiss? Weil 
alle denken "oh, wie ordinär, da ist ja kein Prozessor drin".
Oder wozu lernen wir an der FH noch so banales Zeug wie elektrostatik? 
Wenn man einen Prozessor programmiert braucht man sich um den Kram doch 
nicht zu kümmern.
Also wirklich, deine Äusserungen sind das letzte und sind ziemlich 
ignorant. Ich kann darüber nur den Kopf schütteln.
Übrigens tippe ich, wenn ich was rechnen muss, tatsächlich die einzelnen 
Ausdrücke lieber in den TR ein, als was im PC einzugeben. Schaltest du 
bei dir zu Hause den PC an, wenn du was berechnen willst? Schön, dass du 
immer so viel Zeit hast. Ich habe halt nicht so einen tollen PC wie du, 
bei mir dauert das jeweils eine oder zwei Minuten, bis alles 
betriebsbereit ist. Da gehts mit dem TR schneller. Aber die Geschmäcker 
sind ja bekanntlich verschieden....
Aber mir ist klar, dass die FH, die du besuchst (besucht hast) natürlich 
die tollste und beste ist, weil ihr alles nur mit Mathematica gerechnet 
habt. Dafür musst du dann auch den PC anschalten, um sin(30°) zu 
berechnen, oder?


Xeraniad,
Au, sorry, das mit der Fourierreihe von sin(x) war natürlich Mist. Da 
war ja klar, dass sin(x) raus kommt :-D Kannst du mir evtl. ein besseres 
Beispiel verraten?

Autor: Maik Fox (sabuty) Benutzerseite
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Großes Fragezeichen schrieb:
> Also ihr führt hier echt seitenweise Debatten über eure Taschenrechner...
> Bei uns an der TU, geht das so:
> [...]

Kann ich so unterschreiben, in meinem Studium gibt's keine 
(Taschen-)Rechner, da benutzt man den 
Bronstein/Semendjajew/Musiol/Mühlig und einen dokumentenechten Stift.

Und auch wenn man einen Rechner hätte, ohne Lösungsweg gibt's keine 
Punkte.

Autor: Xeraniad X. (xeraniad)
Datum:
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Bei Juri Gagatrollowitsch würde ich mich, selbst wenn es denn möglich 
wäre, sicher nicht um eine Stelle bewerben. Eher friert die Hölle zu.
Wer unsere Beiträge aufmerksam liest (anstatt off-Topic-Müll zu 
deponieren), wird feststellen, dass es hier nicht um irgendwelche 
Substitutionen geht, sondern um das HP-CAS grundsätzlich.

Guten Tag Tobias

Noch zur FOURIER-Funktion. Ja, das sin()-Beispiel ist trivial.

Zur Ermittlung der Fourier-Koeffizienten lasse ich normalerweise 
Integrale der Art c[k] = ω÷(2·π) ·∫0..2·π÷ω f(t)·exp(-j·k·ω·t) ·dt 
symbolisch auswerten; bei stückweise definierten Zeitfunktionen wird 
entsprechend stückweise integriert. Die FOURIER-Funktion selbst 
verwendet im Hintergrund ebenfalls ein solches Integral. Mit der Nutzung 
der FOURIER-Funktion für stückweise definierte Zeitfunktionen (z. B. 
Rechteck) hab ich keine Erfahrung gesammelt.

Als ein geringfügig weniger triviales Beispiel würde ich die 
"geschlossen" darstellbare, 2·π -periodische Zeitfunktion f(x) = x für 0 
≤ x < 2·π (Sägezahn) vorschlagen.
Zwecks Verifikation können c₀ = π und c[k] = 1÷(2·π) ·∫0..2·π÷ω 
x·exp(-j·k·x) ·dx = j÷k für k ≠ 0 vorbereitet werden.
Zur Berechnung des arithmetischen Mittelwertes erhält man mit X ENTER 0 
ENTER FOURIER EVAL wie erwartet c₀ = π.
Nach Eingabe von X ENTER k ENTER FOURIER erscheint ein komplexer 
Ausdruck, worin exp(2·j·k·π) durch 1 ersetzt werden kann und c[k] = j÷k 
[für k ≠ 0] folgt (gibt es eine Möglichkeit, k als ganzzahlig zu 
deklarieren?).
Mit a[k] = 2·Re(c[k]) = 0 und b[k] = -2·Im(c[k]) folgt b[k] = -2÷k und 
damit die Fourier-Reihe f(x) = π -2·∑k=1..∞ sin(k·x)÷k.

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