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Forum: Offtopic Probleme bei einfacher Gleichung


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Probleme bei einfacher Gleichung
Autor: Bert Siegfried (kautschuck)
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Hallo,
ich habe folgende einfache implizite Gleichung, die ich
nach y auflösen muss:
x + \frac{xy}{x+y} - y = 0

Ich sollte das eigentlich ohne Probleme lösen können, doch
irgendwie klappt es nicht.
Habe schon versucht zu Erweitern usw...
Doch ich weiss einfach nicht wie ich das lösen soll.
Ich habe mal das versucht:
y(x+y) = x(x+y) + xy
 =>
y(x+y) = x^2 + 2xy
 =>
y(x+y) = x(x + 2y)
 =>
y(x+y) = 2x(\frac{x}{2} + y)
 =>
y(x+y) = 2x(x + y) -x^2
 =>
???

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Re: Probleme bei einfacher Gleichung
Autor: A. B. (funky)
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x + (xy)/(x+y) - y  = 0

=>  xy/(x+y) = -x + y

=> xy = -x² -xy + xy + y²

=> xy = -x² + y²

=> y² - xy - x² = 0

Das kann man dann mit der pq-Formel lösen.

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Re: Probleme bei einfacher Gleichung
Autor: Marek N. (bruderm)
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Hi,

wenn ich mich nicht ganz verhauen habe, läuft es auf eine quadratische 
Gleichung hinaus.

Umstellen:
\frac{x y} {x+y} = y -x

Multiplizieren mit
x+y
xy = (y-x)(y+x)

3. Binomische Formel
xy = y^2 - x^2

Subtrahieren von
xy
y^2 -xy - x^2 = 0

Die Quadratische Gleichung in y Lösen:
y_{12} = \frac{x}{2} \pm \sqrt{\frac{x^2}{4} + x^2}

Beste Grüße, Marek

  


  


  

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    Re: Probleme bei einfacher Gleichung
  




  

    

      Autor:
      
        Bert Siegfried
        (kautschuck)
        
      
      


      
    


    

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ok, da war ich auch schon, habe mir so ein Gedanken gemacht, es aber 
wegen y sein lassen :D Dabei kann man ja a = x^2, b= x und c = 1 setzen.
War eigentlich klar, danke.

  


  


  

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    Re: Probleme bei einfacher Gleichung
  




  

    

      Autor:
      
        Michael K-punkt
        (charles_b)
        
      
      


      
    


    

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Marek N. schrieb:
> Hi,
>
> wenn ich mich nicht ganz verhauen habe, läuft es auf eine quadratische
> Gleichung hinaus.
>
> Umstellen:
>
\frac{x y} {x+y} = y -x
>
> Multiplizieren mit
x+y
>
xy = (y-x)(y+x)
>
> 3. Binomische Formel
>
xy = y^2 - x^2
>
> Subtrahieren von
xy
>
y^2 -xy - x^2 = 0
>
> Die Quadratische Gleichung in y Lösen:
>
y_{12} = \frac{x}{2} \pm \sqrt{\frac{x^2}{4} + x^2}
>
> Beste Grüße, Marek

Kann man da nicht noch weiter vereinfachen und hat dann:

y = x/2 * (1+-Wurzel5)

  


  


  

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    Re: Probleme bei einfacher Gleichung
  




  

    

      Autor:
      
        Winfried J.
          (Firma: Nisch-Aufzüge)
        (winne)
        
      
      


      
    


    

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wo landet denn das x in deinem wurzel5 therm?

aus summen kürzen nur die schlauen aber wenn dann nur wo es passt ;-)

  


  


  

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    Re: Probleme bei einfacher Gleichung
  




  

    

      Autor:
      
        Kara Benemsi
          (Firma: ...)
        (karabenemsi)
        
      
      


      
    


    

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>aus summen kürzen nur die schlauen

Wir vereinfachen: SQRT(X2/4 + X2) = SQRT(5X2/4) = X/2 * SQRT(5)

Damit wird: X/2 +- X/2 * SQRT(5) = X/2 * (1 +- SQRT(5))


Wenn du den Begriff "kürzen" duch "ausklammern ersetzt", wird es 
vielleicht klarer.

Immer dieses teutonische Kritisieren.

  


  


  

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    Re: Probleme bei einfacher Gleichung
  




  

    

      Autor:
      
        Michael K-punkt
        (charles_b)
        
      
      


      
    


    

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Winfried J. schrieb:
> wo landet denn das x in deinem wurzel5 therm?
>
> aus summen kürzen nur die schlauen aber wenn dann nur wo es passt ;-)

Das x² wird unter der Wurzel ausgeklammert. Und dann wird aus dem 
Produkt x²*(0,25 + 1)  das x aus der Wurzel herausgezogen.

  


  


  

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    Re: Probleme bei einfacher Gleichung
  




  

    

      Autor:
      
        Winfried J.
          (Firma: Nisch-Aufzüge)
        (winne)
        
      
      


      
    


    

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ja so passts

danke für die Nachhilfe

  


  


  

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    Re: Probleme bei einfacher Gleichung
  




  

    

      Autor:
      
        Johann L.
        (gjlayde)
        
      
      Benutzerseite


      
    


    

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Ein Sonderfall bleibt: x = 0. Für den gehen die Rechnungen nicht

Die Originalgleichung hat für x = 0 keine Lösung.

  


  


  

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      Beitrag #2674712 wurde vom Autor gelöscht.
  



        
        




  

    Re: Probleme bei einfacher Gleichung
  




  

    

      Autor:
      
        A. B.
        (funky)
        
      
      


      
    


    

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wieso hat

y² - xy - x² = 0    für x = 0 keine Lösung?

  


  


  

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    Re: Probleme bei einfacher Gleichung
  




  

    

      Autor:
      
        Johann L.
        (gjlayde)
        
      
      Benutzerseite


      
    


    

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A. B. schrieb:
> wieso hat
>
> y² - xy - x² = 0    für x = 0 keine Lösung?

Hab ich nicht geschrieben. Sondern: Die Originalgleichung hat für x = 
0 keine Lösung. Diese wiederum ist nur für y ≠ -x äquivalen zu der 
quadratischen Gleihgung, was für x = y = 0 nicht gegeben ist.

Oben steht ja schon:
x + \frac{xy}{x+y} - y = 0
\quad\Rightarrow\quad
y(x+y) = x(x+y) + xy

Man brauch aber die umgekehrte Richtung, wenn man von Lösungen der 
quadratischen Gleichung zu Lösungen der Ausgangsgleichung kommen will.

  


  


  

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      Beitrag #2674866 wurde vom Autor gelöscht.
  



        
        




  

    Re: Probleme bei einfacher Gleichung
  




  

    

      Autor:
      
        Michael K-punkt
        (charles_b)
        
      
      


      
    


    

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Die vollständige Argumentation wäre ja, dass man wg. des Nenners sagt, 
dass x nicht -y sein darf. Die Sache mit der Null kommt dann noch 
erschwerend hinzu.

  


  


  

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