Anschauliches Verständnis für Integral komplexer Zahlen

[Klaus (Gast)]

Hallo, könnt ihr mir helfen?

Für ein Integral einer reellen Funktion, kann man sich ja anschaulich 
vorstellen, dass das Integral eine Fläche berechnet, also dass

$$M = \int \limits^{5}_{2} f(t) dt$$

einfach die durch f(t) gegebene Fläche M im Bereich t=[2,5] berechnet. 
Und dass dies über eine Summation der Werte in infinitesimal kleinen 
Schritten in diesem Bereich erfolgt.

Nun suche ich eine solche anschauliche Vorstellung auch für ein Integral 
einer komplexen Funktion, bei der ich mir nicht wirklich vorstellen 
kann, was da passiert. Als Beispiel würde ich das Fourier-Integral 
nehmen:

$$F(\omega) = \int \limits^{\infty}_{-\infty} f(t) \cdot e^{-j \omega t} dt$$

Setzt man f(t) als reell voraus, hat man hier einfach eine komplexe Zahl 
mit Betrag und negativem Winkel, z.B. darstellbar in der gaußschen 
Ebene. Aber eine Summation in unendlich kleinen Schritten kann ich mir 
nun irgendwie nicht anschaulich vorstellen. Gibt es eine gute 
Veranschaulichung für diesen Fall?

[Jonas K. (jonas_k)]

Der Vergleich der beiden Integrale hinkt meiner Meinung nach etwas. 
schließlich ist beim ersten Integral die Funktion fix, wohingegen beim 
zweiten Beispiel die Funktion noch eine Abhängigkeit von

$$\omega$$

 aufweißt.

Man kann das ganze Integral aber natürlich für ein fixes

$$\omega$$

  betracheten, wodurch es wieder eine Flächenbetrachtung wird, halt mit 
anderen Grenzen und einer anderen Funktion als im ersten Beispiel. Ob da 
jetzt komplexe Zahlen vorkommen ist, bestimmt halt nur, ob dann zum 
schluss eine "komplexe Fläche" rauskommt. Man kann das ganze natürlich 
in zwei Integrale aufteilen und Realteil und Imaginärteil getrennt 
betrachten, wenn f(t) reell ist.

$$\Re{[F(\omega)]}=\int_{-\infty}^{\infty}\! f(t)\cdot \cos(\omega t) \, \mathrm{d}t$$

$$\Im{[F(\omega)]}=\int_{-\infty}^{\infty}\! -f(t)\cdot \sin(\omega t) \, \mathrm{d}t$$

Dann hätte man halt zwei getrennte Flächenbetrachtungen, wenn man bei 
einer Frequenz hinschaut.

[Sebastian (Gast)]

Ganz einfach: Man teilt das komplexe Integral in ein Integral über den 
Realteil und ein Integral über den Imaginärteil auf. Beim 
Fourierintegral ergeben sich verschiedene Skalarprodukte, die man 
wiederum sich anschaulich klarmachen kann.

[Klaus (Gast)]

Der Ansatz gedanklich das Integral in Real- und Imaginärteil zu trennen 
ist schonmal gar nicht schlecht. Vielen Dank für eure Hilfe!

[Joe G. (feinmechaniker)]

Wir zerlegen das Integral in seine Bestandteile.
1. e hoch j omega ist ein rotierender Zeiger in der komplexen Ebene. Er 
hat den Betrag 1
2. e hoch j omega t hat als dritte Dimension die Zeit, d.h. der Zeiger 
rotiert in der komplexen Ebene und bewegt sich dabei gleichzeitig auf 
der Zeitachse.
3. f(t) ändert den Betrag der e-Funktion mit der Zeit.
4. f(t) mal e hoch j omega t ist also ein rotierender Zeiger in der 
komplexen Ebene der zu jeder Zeit seinen Betrag ändert.
5. Das Forierintegral summiert nun diese Funktion auf.

[... (Gast)]

Ich weiß nicht, ob die Frage überhaupt Sinn ergibt. In der Mathematik 
gibt es nunmal sehr viele Dinge, die man sich einfach nicht vorstellen 
kann, weil das nichts ist, wofür das Gehirn "gebaut" ist.

Was für einen Erkenntnisgewinn gibt es, wenn man sich die Integrale für 
den Imaginär- und den Realteil getrennt als Fläche vorstellt? Was hat 
diese Aussage für einen Einfluß auf das Gesamtergebnis oder auf die 
Lösung von Aufgaben?

Das ist wie das Rechnen mit Unendlichkeiten. Mathematisch abstrahiert 
kein Problem. Aber kann sich jemand wirklich einen unendlichen Raum, ein 
unendliches Universum, vorstellen? Irgendwie fragt sich doch jeder, was 
ist drumherum. Das entspricht einfach nicht unserer Alltagserfahrung.

[Paul B. (Gast)]

In diesem Fall müsste man sich meiner Meinung nach das Ergebnis als 
aneinandergereihte Flächensumme mehrerer unterschiedlich gedrehter 
Flächenelemente vorstellen, weil die REAL/IMAG-Spaltung vergleichbar 
ist, der SIN/COS-Spaltung. Neben dem skalaren Produkt (bei der FFT 
werden z.. die COS mit den R und die SIN mit den IMAG verknüpft, um die 
partiellen Frequenzanzeile zu erhalten) exisitert ja auch noch das 
vektorielle Produkt, das mit Kreuzverknüpungen arbeitet. Dies wären dann 
die in einem nichtkonservativen Feld wirksamen Drehmomente (übers 
Kreuzprodukt), die sich aus einer Verkettung gekrümmt angeordneter 
Teilmomente ergibt.

Durch die komplexe Rechnung kann ich quasi beide Aspekte in einem 
berücksichtigen - je nachdem, wie die Vektoren zueinander stehen.

Ein Mathematiker von uns hat mir mal ein Verfahren gezeigt, das nicht 
mit planaren Vektoren arbeitet, sondern mit über die Frequenz linear 
drehenden Vektoren. Damit kann man dann die bei Bewegungen sich 
kontinuierlich verändernd abbildenden Momente / Skalare berechnen, z.B. 
wenn sich die Energien von Farben in einem Punkt addieren, der von 
gekrümmten Linsen bestrahlt wird. Die Längsrefelxionen wären dabei die 
COS-Anteile, die Querreflexionen die SIN-Anteile.

[Klaus (Gast)]

... schrieb:
> Ich weiß nicht, ob die Frage überhaupt Sinn ergibt. In der
> Mathematik
> gibt es nunmal sehr viele Dinge, die man sich einfach nicht vorstellen
> kann, weil das nichts ist, wofür das Gehirn "gebaut" ist.
>
> Was für einen Erkenntnisgewinn gibt es, wenn man sich die Integrale für
> den Imaginär- und den Realteil getrennt als Fläche vorstellt? Was hat
> diese Aussage für einen Einfluß auf das Gesamtergebnis oder auf die
> Lösung von Aufgaben?
>
> Das ist wie das Rechnen mit Unendlichkeiten. Mathematisch abstrahiert
> kein Problem. Aber kann sich jemand wirklich einen unendlichen Raum, ein
> unendliches Universum, vorstellen? Irgendwie fragt sich doch jeder, was
> ist drumherum. Das entspricht einfach nicht unserer Alltagserfahrung.

Fourier hatte damals ja auch ganz handfeste und anschauliche Probleme 
zur Lösung derer er sich dann mathematisch etwas hat einfallen lassen. 
Und eben so etwas hatte ich gesucht für den Fall der obigen Integration. 
Ein gutes Beispiel für anschauliche Darstellungen ist so etwas:

http://www.sprut.de/electronic/pic/16bit/dsp/fft/fft.htm

[Paul B. (Gast)]

Ich zitiere mal von der Seite:

> Die Grundschwingung ist bekanntlich die Sinusschwingung.
Axiom

> Sie gilt als
> reine Schwingung, da sie nur eine einzelne Frequenz enthält.
Falsch, interpretierbar

> Andere Signale mögen zwar die gleiche Tonfrequenz haben,
> klingen aber trotzdem ganz anders.
Aua

> Mann könnte das zwar alles in Hardware realisieren
"Frau" könnte das auch in Software realisieren. Zumindest würde den 
Frauen diese Logik gefallen:

> Die FFT ist aber nur Software. So hat sie zwar kein Gewicht, verschlingt aber 
einiges an Rechenpower.

Die masselose FFT, aha. Die "Gewichtungsfaktoren" sind wahrscheinlich 
deshalb enthalten, um sie schwerer zu machen.

Man fragt sich, ersthaft ob wirklich einjeder publizieren dürfen 
sollte ...