Fourier(Reihe, cFT,DFT,) - Allgemeines

[fourier_beginner (Gast)]

Guten "Abend",

ich befasse mich in der letzten Zeit mit den oben genannten Themen. Ich 
weiß schon ungefähr, zu was diese gut sind.

Wäre toll, wenn ihr unter jeder falschen/unschönen Aussage und FRage 
kommentieren könntet.

Kurze allgemeine Übersicht:
Fourier-Reihe ist anwendbar auf ALLE periodischen Signale(ein 
periodisches Signal muss unendlich lang sein, sonst ist es nicht 
periodisch --> existiert in unserer Welt nicht).
D.h. man kann dieses periodische Signal als unendliche Summe von 
sinusförmigen Signalen, deren Frequenz ganzzahlige Vielfache der 
Grundfrequenz sind, darstellen.

Die cFT(continuous Fourier Transform) ist auf periodische(unendlich 
lang) und unperiodische Signale anwendbar. Die Periodendauer geht gegen 
unendlich.
Somit wird geht w0 ja gegen Null. --> Man führt 1/T in der 
Rücktransformation(von Frequenz auf Zeit) ein, weil amn das 1/T wegmacht 
bei der Transformation, da sonst alle Cn's Null werden würden. Somit 
ergibt sich ein Amplitudendichtespektrum mit der Einheit z.B. V/Hz.
Um eine Amplitudenaussage zu treffen teilt man das 
Amplitudendichtespektrum in mehrere Spalten, der Abstand zwischen 2 
Spalten deltaf wird mit der Höhe irgendeines gewünschten Spaltens(bei 
frequenz X) multipliziert: V/Hz * Hz = V

Nun zur Diskreten Fourier Transformation:
Schaut nun mal auf das Bild bitte. Sd' und Sd'' sollen hier die 
Transformation eines diskreten Signals darstellen.
Die DFT kann jetzt im allgmeinen nur diskrete Signale(also abgetastete) 
Signale transformieren.
Sd' behandelt periodische Signale und Sd'' behandelt unperiodische 
Signale, d.h. man bekommt da wieder ein Amplitudendichtespektrum.

Aber ich verstehe den Grund nicht, warum man von der Fourier-Reihe auf 
Sd' hier ableitet, warum tut man das? Wie ist der Zusammenhang zwischen 
Sd' und cFT? Oder müsste man jetzt von cFT auf Sd'' kommen?

Aber stimmt das wirklich, dass Sd' periodische Signale behandelt? Bringt 
sich Sd' irgendwas? Ich meine, wenn man die Abtastpunkte n=0 bis n=N-1 
hernimmt und transformiert, dann interpretiert ja dieses "Sd'" dieses 
Signal als periodisches Signal(unendlich lang), richtig?

In der Realität:
Normalerweise wird doch einfach ein Rechteckfenster mit einer gewissen 
Zeitdauer hergenommen und im Zeitbereich mit dem Signal multipliziert. 
Das entspricht einer Faltung im Frequenzbereich. Das Rechtecksignal hat 
doch ein Amplitudenspektrum(sin(x)/x) und dieses "verschmiert" das 
Spektrum vom Signal.

Wendet man nun die Sd', oder die Sd'' an? Ist das Spektrum von dem 
Signale nun kontinuierlich oder nicht?

Es sieht nach viel aus, aber ich habe mich ja in das Thema selbstständig 
reingearabeitet, ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen :).


mfg

fourier_beginner

[fourier_beginner (Gast)]

Habe ich etwas falsch gemacht, warum mir keiner hilft? :D
Ich hab das doch ausgearbeitet und jetzt brauch ich halt eure Hilfe, da 
ich alleine nicht mehr weiterkomme. Kann mir jemand helfen bitte?

[fourier_beginner (Gast)]

Hmm, sagt doch bitte, warum ihr mir nicht helfen könnt. Ist der Text zu 
lange?

Dann hier eine kurze Frage:
Normalerweise wird doch einfach ein Rechteckfenster mit einer gewissen
Zeitdauer hergenommen und im Zeitbereich mit dem Signal multipliziert.
Das entspricht einer Faltung im Frequenzbereich. Das Rechtecksignal hat
doch ein Amplitudenspektrum(sin(x)/x) und dieses "verschmiert" das
Spektrum vom Signal.

Wendet man nun die Sd', oder die Sd'' an? Ist das Spektrum von dem
Signale nun kontinuierlich oder nicht?

Sd' und Sd'' findet ihr im Bild.

[Michael A. (michiavelli)]

fourier_beginner schrieb:
> Ist der Text zu
> lange?

Ja.

fourier_beginner schrieb:
> Das Rechtecksignal hat
> doch ein Amplitudenspektrum(sin(x)/x)

Korrekt.

fourier_beginner schrieb:
> und dieses "verschmiert" das
> Spektrum vom Signal.

Das kann man so allgemein nicht sagen, siehe Leckeffekt.

fourier_beginner schrieb:
> Wendet man nun die Sd', oder die Sd'' an? Ist das Spektrum von dem
> Signale nun kontinuierlich oder nicht?

Welches "nun" meinst du denn? Wird mir aus dem vorherigen Absatz nicht 
ganz klar.

[fourier_beginner (Gast)]

Hm, kannst du meinen Text durchlesen bitte? Das sind keine Fragen, 
sondern nur Aussagen der Fourier-Reihe, cFt und DFT. Ich möchte halt 
wissen, ob ich es richtig so verstanden habe.

Michael Avelli schrieb:
> Welches "nun" meinst du denn? Wird mir aus dem vorherigen Absatz nicht
> ganz klar.

Angenommen wir haben ein analoges Signal und dieses multiplizieren wir 
mit einem Zeitfenster. Den Abschnitt tasten wir ab.

Benutzen wir nun Sd' oder Sd''(siehe bild im ersten Beitrag), um das 
Spektrum zu bekommen?

Laut dem angehängten Bild sieht, dass Spektrum eines Signals, wie ein 
Amplitudendichtspektrum, also kontinuierlich, aus.

[Michael A. (michiavelli)]

fourier_beginner schrieb:
> Hm, kannst du meinen Text durchlesen bitte?

Ungern, ist nicht gerade leserfreundlich gestaltet.

fourier_beginner schrieb:
> Angenommen wir haben ein analoges Signal und dieses multiplizieren wir
> mit einem Zeitfenster. Den Abschnitt tasten wir ab.

Der von dir beschriebene Vorgang wird als DTFT bezeichnet. Das Signal 
wird durch die Abtastung diskretisiert (DT,Disrecte Time). Das Spektrum 
dieses abgetasteten, gefensterten Signals ist dann kontinuierlich (und 
periodisch).

fourier_beginner schrieb:
> Laut dem angehängten Bild sieht, dass Spektrum eines Signals, wie ein
> Amplitudendichtspektrum, also kontinuierlich, aus.

Dann passt das ja!

[fourier_beginner (Gast)]

Naja laut dem ersten Bild ist Sd' nur für periodische Signale. Und Sd'' 
für einmalige Impulse, also unperiodische.

Laut dem zweiten Bild wird ja ein kontinuierliches Spektrum gezeigt. 
Wurde da jetzt Sd' oder Sd'' angewandt?

Ich verstehs jetzt nicht. Was macht man in der Praxis? Sd' oder Sd''?

[Michael A. (michiavelli)]

fourier_beginner schrieb:
> Naja laut dem ersten Bild ist Sd' nur für periodische Signale. Und Sd''
> für einmalige Impulse, also unperiodische.

$$\underline{S}_d''(k)=NT_S \cdot \underline{S}_d'(k)$$

fourier_beginner schrieb:
> Laut dem zweiten Bild wird ja ein kontinuierliches Spektrum gezeigt.
> Wurde da jetzt Sd' oder Sd'' angewandt?

Weder noch, SFenster wurde genommen, steht da auch.
Sd' und Sd'' sind doch bis auf einen Faktor ein und dasselbe, und der 
Parameter k deutet doch wohl darauf hin, dass es sich um ein 
Linienspektrum handelt.

fourier_beginner schrieb:
> Ich verstehs jetzt nicht.

Sorry, aber den Eindruck habe ich auch.

fourier_beginner schrieb:
> Was macht man in der Praxis? Sd' oder Sd''?

Ließ dir dein "erstes Bild" noch ein paar mal durch, insbesondere vllt 
den letzten Part unten rechts, mehrmals!

[fourier_beginner (Gast)]

Danke, ich habs jetzt nochmals gelesen.

Die haben aber nur gefaltet hier... Sfenster ist ja nur eine Faltung des 
Fensters mit dem abgetasteten Signals.

Ich dachte man tastet einen bestimmten Zeitbaschnitt von einen Signal ab 
und lasst es dann durch die DFT/FFT durch. Ist doch so oder? Das ist 
doch Verwirrend. Im ersten Bild redet man von dem ganzen 
fourier-transformation-kram, also ich habe ein zeitsignal schicke es in 
die Transformation rein --> ich habe ein spektrum. Bei abgetasteten 
signale nehme ich die DFT her, fertig aus.

Und beim 2ten Bild wird gefaltet. Was ist nun mit der Transformation?

[Michael A. (michiavelli)]

fourier_beginner schrieb:
> Das ist
> doch Verwirrend. Im ersten Bild redet man von dem ganzen
> fourier-transformation-kram, also ich habe ein zeitsignal schicke es in
> die Transformation rein --> ich habe ein spektrum. Bei abgetasteten
> signale nehme ich die DFT her, fertig aus.
>
> Und beim 2ten Bild wird gefaltet.

Ich finde das nicht verwirrend, zumal auf deinem "ersten Bild" als 
Überschrift "3.1 DFT-Formeln" und auf deinem "zweiten Bild" "3.2 
Fensterung" steht.

Es steht sogar am Anfang von 3.2 geschrieben, dass die Fensterung für 
die DFT relevant ist. Deshalb hat sich der Autor berechtigterweise daran 
versucht, die Auswirkungen dieser Fensterung anschaulich zu erläutern. 
Anscheinend vergeblich.

[fourier_beginner (Gast)]

Ja ok danke und was ist jetzt der unterschied zwischen Sd' und Sd''? 
Kennst du diesen?

[fpga_test (Gast)]

sd' ist ja für periodische signale, aber was bringts? es gibt keine 
periodischen signale!!

sd'' ist für nicht periodische Signale.

Das ist doch das verwirrende. Was verwendet man nun?