Frequenzgang berechen digitahler Filter

[Joachim J. (felidae)]

Ich habe mir einen einfachen Tiefpassfilter gebastelt.

#define C 8 // ein wert zwischen 0 und 10

int Y; // Gefilterter Messwert
int X; // wert der vom ADC gewandelt wird und in einen Messwert umgerechnet wurde
...
Y=(X*(10-C)+Y*C)/10;
...

Mit C stelle ich die Grenzfrequenz ein(glaube ich).
Der Messwert ändert sich nur sehr langsam, im Bereich von kleiner 0,25 
Hz
Alles darüber wollte ich weg filtern.

soweit so gut. bis hier hin läuft alles.

jetzt zur Theorie: ich möchte den Filter Dokumentieren und 
Charakterisieren

ich habe mir daher folgende Übertragungsfunktion überlegt:

$$Y(Z)=a_0*X(Z)+b_1*Y(Z)*Z^{-1}$$

$$Y(Z)+Y(Z)*b_1*Z^{-1}=a_0*X(Z)$$

$$Y(Z)*(1+*b_1*Z^{-1})=a_0*X(Z)$$

$$H(Z)=\frac{Y(Z)}{X(Z)}=\frac{a_0}{1+b_1*Z^{-1}}$$

Hier komme ich nicht weiter.
wie berechne ich jetzt aus dieser Übertragungsfunktion den Frequenzgang?
Kann ich diese diskrete Übertragungsfunktion in eine kontinuierliche 
umwandeln G(s)?


ps ich habe Octave zur Simulation

[Markus B. (russenbaer)]

Du hast einen Rechenfehler:

$$H(z) = \frac{a_0}{1 - b_1 z^{-1}}$$

mit

$$a_0 = 1-\frac{C}{10}, b_1 = \frac{C}{10}$$

Weiters kannst du, für deinen Bodeplot

$$z = e^{j\theta}$$

setzen und Dir

$$20*log_{10}(|H(e^{j\theta})|)$$

 und

$$arg|H(e^{j\theta})|$$

für

$$\theta = [0, \Pi]$$

 ausrechnen.
Pi entspricht Abtastrate-halbe.
Diese Gleichsetzung bedeuted die Auswertung der Übertragungsfunktion am 
Einheitskreis.


Das ganze funktioniert in MATLAB und Octave auch mit dem Befehl
freqz(b,a).

In deinem Fall:

freqz(1-C/10, [1 -C/10])


lg
Markus

[Joachim J. (felidae)]

kann man das so machen?

$$z^{-1}=\frac{1}{z}$$

wenn ja dann müste das hir ja auch gehen:

$$H(Z)=\frac{a0}{1-\frac{1}{z}*b1}$$

$$H(Z)=\frac{a0}{\frac{1}{z}(z-b1)}$$

$$H(Z)=\frac{a0*z}{z-b1} = \frac{a0*z^1+0*z^0}{1*z^1-b1*z^0}$$

ich glaube dann mus ich das nämlich so eingeben:

freqz([1-c/10 0],[1 -C/10])

[Markus B. (russenbaer)]

joachim j. schrieb:
> kann man das so machen?
>

$$z^{-1}=\frac{1}{z}$$

> wenn ja dann müste das hir ja auch gehen:
>
>

$$H(Z)=\frac{a0}{1-\frac{1}{z}*b1}$$

>

$$H(Z)=\frac{a0}{\frac{1}{z}(z-b1)}$$

>

$$H(Z)=\frac{a0*z}{z-b1} = \frac{a0*z^1+0*z^0}{1*z^1-b1*z^0}$$

Diese Umrechnung stimmt, allerdings wird für den freqz Befehl mit der 
Darstellung gearbeitet die 1/z beinhaltet.
Siehe:
http://dali.feld.cvut.cz/ucebna/matlab/toolbox/signal/freqz.html
[Diese Seite ist die Hilfe einer älteren freqz Version in MATLAB - ist 
aber für Octave (zumindest die Polynomkoeffizienten) gleich]

Der Befehl, so wie du ihn angegegeben hast, stimmt. Allerdings kenne ich 
deine Gedankengänge dazu nicht.

Weiters ist der Befehl mit dem aus meinem ersten Post ident, da alle 
b_i=0 für i>0. Da muß dann kein Vektor angegeben werden.

lg
Markus

[Joachim J. (felidae)]

ok das sind die infos die ich haben wollte. ich kann jetzt sowol mit

 G=tf([a,0][1,-b],ta);bode(G);step(G)

oder

 freqz(1-C/10, [1 -C/10])

mir einen Frequenzgang anzeigen lassen.

[Joachim J. (felidae)]

Herzlich dank Markus

[Joachim J. (felidae)]

so da bin ich wieder, mit dem selben Filter und einer neuen Frage.
ich möchte in meiner Arbeit herleiten wie ich von der Grenzfrequenz zu 
den Filter Koeffizienten komme. Hier also mein Ansatz:

$$H(Z)=\frac{Y(Z)}{X(Z)}=\frac{a}{1-b*Z^{-1}}$$

$$Z=e^{j*2*\pi*f*t_a}$$

$$H(f)=\frac{a}{1+b*e^{-j*2*\pi*f*t_a}}$$

$$H(f=0)=1=\frac{a}{1-b*e^{0}}$$

$$1-b=a$$

$$H(f=f_g)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1-b}{1-b*e^{-j*2*\pi*f_g*t_a}}$$

$$e^{-jx}= cos(x)-j*sin(x)$$

$$1-b*e^{-j*2*\pi*f_g*t_a}=\sqrt{2}-\sqrt{2}*b$$

$$b*\sqrt{2}-b*e^{-j*2*\pi*f_g*t_a}=\sqrt{2}-1$$

$$b*(\sqrt{2}-*e^{-j*2*\pi*f_g*t_a})=\sqrt{2}-1$$

$$b=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-cos(2*\pi*f_g*t_a)+j*sin(2*\pi*f_g*t_a)}$$

Die Voraussetzung damit ich mit dieser Formel b errechnen kann ist das 
ich einen Komplexe Frequenz für fg vorgebe. Wie muss ich vorgeben, wenn 
ich nur die Frequenz habe aber keinen Winkel habe? muss ich hier den 
Betrag ermitteln?

[Markus B. (russenbaer)]

Servus,

Der Betragsfrequenzgang muß sich um den Faktor unterscheiden!

Dann bekommst Du auch keine komplexe Frequenz.

Hast Du weiter unten anscheinend vermutet.

$$|H(f=f_g)|=\frac{1}{\sqrt{2}}=|\frac{1-b}{1-b*e^{-j*2*\pi*f_g*t_a}}|$$

lg
Markus

[Joachim J. (felidae)]

ok das Hilft mir weiter.
hier mein überarbeiteter Lösungsansatz:

$$|H(f=f_g)|=\frac{1}{\sqrt{2}}=\bigg|\frac{1-b}{1-b*e^{-j*2*\pi*f_*t_a}}\bigg|$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1-b}{|1-b*(cos(2*\pi*f_g*t_a)-j*sin(2*\pi*f_g*t_a)|}$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1-b}{\sqrt{(1-b*(cos(2*\pi*f_g*t_a))^2+(b* sin(2*\pi*f_g*t_a))^2}}$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1-b}{\sqrt{1-2b*cos(2*\pi*f_g*t_a)+b^2*cos(2*\pi*f_a*t_a)^2+b^2* sin(2*\pi*f_g*t_a)^2}}$$

$$cos(x)^2+sin(x)^2=1$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1-b}{\sqrt{1-2b*cos(2*\pi*f_g*t_a)+b^2}}$$

$$\sqrt{1-2*b*cos(2*\pi*f_g*t_a)+b^2}=\sqrt{2}*(1-b)$$

$$1-2*b*cos(2*\pi*f_g*t_a)+b^2=2*(1-b)^2$$

$$1-2*b*cos(2*\pi*f_g*t_a)+b^2=2-4*b+2*b^2$$

$$0=1 +b*(2*cos(2*\pi*f_g*t_a)-4)+ b^2$$

[Joachim J. (felidae)]

jetzt mit zahlen:

$$f_g=0.1Hz$$

$$t_a=1s$$

$$0=b^2-2,382*b+1$$

$$b_1=0,544$$

$$\cancel{b_2=1,837}$$

$$H(f=f_g)=\frac{1-b}{1-b*e^{-j*2*\pi*f_g*t_a}}=\frac{1-0,544}{1-0,544*e^{-j*0,2*\pi}}$$

$$H(f=f_g)=0,614136+j0,35073=0,70723*e^{j0.5189rad}$$