Interpolation Zero-Filling Spektrum Oversampling

[mrunknown (Gast)]

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zur Überabtastung.
Bei der Überabtastung, um ein Signal zu interpolieren, werden im 
Zeitbereich zwischen den diskreten Werten Nullen eingefügt. Das 
Frequenzspektrum ist gleich wie das ursprüngliche Signal ohne eingefügen 
Nullen, nur dass das Spektrum sich öfters wiederholt (es entstehen 
sogenannte Images).
Diese werden später mit einem Anti-Image Filter (Tiefpass) wieder 
herausgefiltert.
Das Grundprinzip ist mir auch klar, jedoch verstehe ich einen Schritt 
nicht, und finde auch hierzu keine Erklärung in Lehrbüchern.
Warum entstehen die zusätzlichen Images im Spektralbereich.
Wie kann ich mir dies nicht rechnerisch, sondern logisch erklären.
Beispielsweise, wenn ich mir sage, dass im Zeitbereich die zusätzlichen 
Nullen eingefügt werden, durch ein erneutes Abtasten mit einer 
Dirac-Impulsfolge (Multiplikation), welche im Frequenzbereich das 
ursprüngliche Spektrum mit ebenso einer Dirac-Impulsfolge falten würde. 
Dadurch könnte ich mir zwar erklären, dass das Spektrum öfters, also 
sogenannte Images entstehen, jedoch müsste doch dann das ursprüngliche 
Spektrum im Vergleich zu dem Images betragsmäßig größer sein oder? Was 
nicht der Fall ist.

Meine Frage ist eigentlich nur, warum das Einfügen der Nullen das 
entsprechend neue Spektrum mit den Images bewirkt und wie ich mir dies 
einfach erklären kann (über Dualismus-Prinzipien und Grundfunktionen im 
Zeit-Frequenzbereich).
Wäre schön, wenn mir jemand eine einfache Erklärung hierfür geben 
könnte.
Vielen Dank ;)

[Raymund H. (raymund_h)]

Ein Spektrum und nur eines das aus Dirac Pulsen im Zeitbereich besteht 
ist schon zyklisch im Frequenzbereich.

Das "einfügen von Nullen" im Zeitbereich multipliziert lediglich die 
Zeitachse, "dehnt" die Zeit.

Für die "gedehnte" DFT bedeutet es dass die gleiche Information nun in 
genau so vielen Frequenzbins, denn die oberhalb der ursprünglichen 
Maximalfrequenz sind nun null, aber in der gedehnten Anzahl (upsampled) 
Zeitsamples sind.

Das Dehnen der Zwischenräume der Diracpulse im Zeitbereich entspricht 
dem Anhängen von Nullen im Frequenzbereich bei der DFT.

[mrunknown (Gast)]

Hm, also so ganz klar wird es mir leider noch nicht. Viele sagen 
einfach, man muss sich einfach vorstellen, dass einfach nur die 
Abtastrate durch das Einfügen der Nullen erhöht wird und sich demzufolge 
das Spektrum öfters wiederholt. Kann ich mir so merken, jedoch ist es 
mir einfach nicht so intuitiv nachvollziehbar.

Zudem noch eine Frage, sofern ich einfach mal schlucke, dass das 
einfügen der Nullen zusätzliche Images im Spektralbereich verursacht.
Die Images müssen danach durch einen Anti-Image-Filter wieder entfernt 
werden, was der Interpolation entspricht.
Dies geschieht im Frequenzbereich durch eine Rechteckfunktion, also im 
Zeitbereich der Faltung mit einer Si-Funktion. Dann müsse doch jetzt die 
Si-Funktion im zeitbereich an alle diskreten Punkte im zeitbereich 
gefaltet werden. Also auch an die eingefügten Nullen. Wieso wird dann 
aber in diesem Punkt interpoliert, wenn die Si-Funktion sozusagen auf 
den 0 Wert gelegt wird?

[Michael W. (Gast)]

Wenn x[n] gegeben ist als das Originalsignal, dann ist das um den Faktor 
L expandierte Signal

$$y[n] = \sum_k x[k] \delta [n-kL]$$

Wenn du daraus nun

$$Y(\Omega)$$

 bestimmst, siehst du sofort, dass du Ergebnis

$$Y(\Omega) = X(\Omega \cdot L)$$

bekommst. Da gibt es nicht viel zu verstehen - es ergibt sich aus der 
Definition der Fourier Transformierten.

Du weißt ja, dass sich das originale Spektrum mit der ursprünglichen 
Abtastfrequenz wiederholt. Das Einfügen von Nullen bewirkt nichts 
anderes, als dass sich das neue Spektrum ebenfalls mit der originalen 
Abtastrate wiederholt. D.h. es wird hinsichtlich der normierten Frequenz 
gestaucht.

Es entstehen keine neuen Images, diese werden hinsichtlich der neuen 
Abtastfrequenz nur anders skaliert.

[Michael W. (Gast)]

mrunknown schrieb:
> Dies geschieht im Frequenzbereich durch eine Rechteckfunktion, also im
> Zeitbereich der Faltung mit einer Si-Funktion. Dann müsse doch jetzt die
> Si-Funktion im zeitbereich an alle diskreten Punkte im zeitbereich
> gefaltet werden. Also auch an die eingefügten Nullen. Wieso wird dann
> aber in diesem Punkt interpoliert, wenn die Si-Funktion sozusagen auf
> den 0 Wert gelegt wird?

Die Bandbreite des Interpolationsfilters ist jetzt \pi/L nicht \pi.
Dann interpolierst man. Wenn es das bei nicht tut, rechnest du falsch.

[mrunknown (Gast)]

Super, vielen Dank.
Ich glaube ich habe es jetzt besser verstanden ;)