Elektromagnetisches Feld an Grenzflächen

[Tobias P. (hubertus)]

Hallo Freunde der Feldtheorie

sorry schon in Voraus für den etwas länglichen Text :-)

ich habe da eine Frage zu den Maxwellgleichungen und das Verhalten von 
elektrischem und magnetischem Feld an einer Grenzfläche (Übergang 
zwischen zwei verschiedenen Medien).

Im Anhang seht ihr ein Bild, wo ich das ganze aufgemalt habe. Ich habe 
die Medien 1 und 2, und in dieser Anordnung sei ein beliebiges 
elektrisches Feld vorhanden. Die Frage ist: was passiert an der 
Grenzfläche? ich will mir die Gleichung

$$\vec{n} \times \left( \vec{E}_1 - \vec{E}_2 \right) = 0$$

selber herleiten. Also nimmt man mal das Gauss'sche Gesetz:

$$\oint\limits_{\partial G} \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\frac{d}{dt}\iint\limits_G \vec{B}\cdot d\vec{A}$$

Als Integrationsgebiet wähle ich das eingezeichnete Gebiet G, dessen 
eine Hälfe befindet sich im Medium 1 und die andere Hälfte im Medium 2. 
Das Gebiet ist rechteckig mit der Seitenlänge l und der Höhe h. Nun 
lasse ich h gegen 0 gehen.

Das Umlaufintegral auf der linken Seite kann ich ja in 4 Wegintegrale 
zerlegen:

$$\oint\limits_{\partial G} \vec{E} \cdot d\vec{r} = \int\limits_{\gamma_1} \vec{E}\cdot d\vec{r} + \int\limits_{\gamma_2} \vec{E}\cdot d\vec{r} + \int\limits_{\gamma_3} \vec{E}\cdot d\vec{r} + \int\limits_{\gamma_4} \vec{E}\cdot d\vec{r}$$

Dabei wird in der eingezeichneten Pfeilrichtung integriert. Wenn nun die 
Höhe h unendlich klein wird, dann entfallen die Wegintegrale entlang

$$\gamma_1$$

 und

$$\gamma_2$$

, und ich habe nur noch

$$\oint\limits_{\partial G} \vec{E} \cdot d\vec{r} = \int\limits_{\gamma_2} \vec{E}\cdot d\vec{r} + \int\limits_{\gamma_4} \vec{E}\cdot d\vec{r}$$

Für das Doppelintegral

$$-\frac{d}{dt}\iint\limits_G \vec{B}\cdot d\vec{A}$$

gilt, dass es den Wert 0 annimmt, wenn h unendlich klein ist, denn die 
Fläche meines Integrationsgebiets ist ja dann 0. Also ist

$$\oint\limits_{\partial G} \vec{E} \cdot d\vec{r} = \int\limits_{\gamma_2} \vec{E}\cdot d\vec{r} + \int\limits_{\gamma_4} \vec{E}\cdot d\vec{r} = 0$$

und da die Komponenten des elektrischen Felds, die normal zu den Wegen

$$\gamma_2$$

 und

$$\gamma_4$$

 liegen, keinen Betrag zu den Wegintegralen liegen, folgt hieraus

$$\vec{n} \times \left( \vec{E}_1 - \vec{E}_2 \right) = 0$$

was ja nichts anderes bedeutet, als dass das diejenigen Komponenten des 
elektrischen Felds, die parallel zur Grenzfläche liegen, sich beim 
Grenzübergang stetig verhalten, während die Komponente normal zur 
Grenzfläche um einen bestimmten Betrag (von den beiden Medien abhängig) 
springt.

Frage hierzu: ist meine Herleitung richtig?


Jetzt kommt meine zweite Frage:
Wie leite ich den selben Zusammenhang für das magnetische Feld her? dort 
gilt ja das Ampersche Gesetz:

$$\oint\limits_{\partial G} \vec{H}\cdot d\vec{r} = \frac{d}{dt}\iint\limits_G \vec{D}\cdot d\vec{A} + \iint\limits_G \vec{J}\cdot d\vec{A}$$

Und wenn ich jetzt wieder meinen 'Trick' anwende und die Höhe des 
Integrationsgebiets gegen 0 gehen lasse, erhalte ich den Zusammenhang

$$\vec{n}\times\left( \vec{H}_1 - \vec{H}_2 \right) = 0$$

der aber nur teilweise richtig ist; eigentlich will ich das Resultat

$$\vec{n}\times\left( \vec{H}_1 - \vec{H}_2 \right) = \vec{J}$$

erhalten, welches gemäss

http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzbedingungen_%28Feldtheorie%29

die allgemeine Grenzbedingung ist. Wo liegt mein Denkfehler?

Gruss
Tobias

[один маленкый зелёный троль (Gast)]

Neeeee. Zur ersten Gleichung. Wir haben kein B-Feld. Der E-Vektor ist 
stetig an einer Grenzflaeche, Grenzflaeche heisst hier Dielektrikum. Das 
kommt daher, da sonst eine Ladung auf der Oberflaeche existieren 
muesste.
Auf einer Oberflaeche eines idealen Leiters ist das E-Feld eh senkrecht.

[один маленкый зелёный троль (Gast)]

Sorry, das D-Feld ist stetig. Das E-Feld nicht

[Tobias P. (hubertus)]

Ähem. Soweit ich weiss, sind die tangentialen Komponenten des E-Felds 
stetig. Die Normalkomponenten hingegen sind es nicht. Und wenn 
tatsächlich

$$\vec{D} = \epsilon\,\vec{E}$$

ist, und

$$\epsilon$$

 kein Tensor sondern ein Skalar ist, müsste sich das D-Feld doch 
eigentlich genauso verhalten, wie das E-Feld? In meinem Beispiel ist 
vorerst noch gar kein Leiter involviert, sondern es sind beides 
dielektrische Materialien.