Pol- Nullstellen-Diagramm

[Andy (Gast)]

Hallo,
ich habe da eine Aufgabe und benötige dringend Hilfe:
Ich habe den Betragsfrequenzgang |H(e^(jwT)| gegeben. (w = klein Omega)

Jetzt lautet die Aufgabe daraus das Pol-Nullstellen-Diagramm zu bilden.

Die Funktion ist wie ein Cosinus, welcher ausschließlich im ersten 
Quadranten liegt, dessen höchsten Punkte bei 1 ist und dessen kleinsten 
bei 0 sind. Eine Periode hat die Länge fa. Die x-Achse ist die Frequenz. 
Nach y |H(e^(jwT)|.


Ich verstehe es leider garnicht. Wäre schön wenn jemand helfen könnte. 
Danke

Grüße, Andy

[Tom (Gast)]

Andy schrieb:
> Jetzt lautet die Aufgabe daraus das Pol-Nullstellen-Diagramm zu bilden.

Dafür müßte man H(jω) kennen.

[Andy (Gast)]

Hallo, das ist nochmal die ganze Aufgabe. mehr ist nicht gegeben...

[Tom (Gast)]

Andy schrieb:
> Hallo, das ist nochmal die ganze Aufgabe. mehr ist nicht gegeben...

Da sieht man doch den Funktionsverlauf - typisch |cos(jω)|, Nullstelle 
bei fa/2

[Enrico (Gast)]

Tiefpass -> konugiert komplexe Polstellen in der linken Halbebene, 
FIR-Filter mit linearer Phase hat eine symmetrische Gewichtsfunktion.

[Andy (Gast)]

Ok, danke, mal ne ganz doofe Frage: gibt es einen Trick um einfach auf 
die Pol und Nullstellen zu kommen? Also ohne, dass man das jetzt weiß, 
das es bei der Cosinus-Funktion so ist?

[Andy (Gast)]

Das wäre nämlich die Lösung. Aber ich komme einfach nicht drauf.

[Enrico (Gast)]

Doppelte Nullstelle steht in der Aufgabe. Und da die im Amplitudengang 
offensichtlich bei fs/2 liegt hast du im PN-Bild die doppelte Nullstelle 
bei W (groß Omega) = pi (da W = 2*pi*f/fs), welches in der z-Ebene dem 
Punkt (-1, 0) entspricht. Ergo im Nenner der G(z) muss (z + 1)^2 stehen. 
Da es ein FIR-Filter wird kann es nur Polstellen im Nullpunkt haben (da 
nicht rekursives System). Der Grad des Nennerpolynoms (bzw die Potzenz 
der Polstelle) muss gleich dem des Zählerpolynoms sein, da sonst das 
System akausal wird wenn ich mich recht entsinne (in der 
Differenzengleichung tauchen dann positive Zeitverschiebungen auf wenn 
Grad im Nenner größer, wenn kleiner weiß ich grad nicht, was das Problem 
war ;). Damit hast du deine Übertragungsfunktion wie in der Lösung 
gegeben und bei einem FIR-Filter ist die Laurent-Reihe (die 
Koeffizienten vor den z^-k) gleich der Gewichtsfolge, welche der 
Impulsantwort entspricht. Die Sprungantwort ist dann die Aufsummierung 
der Gewichtsfolge.

Schneller Überblick: 
http://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/frequenzgang-zeitdiskreter-systeme/pol-nullstellen-diagramm-und-frequenzgang-eines-systems.html

Gutes Buch mit Grundlagen: Digitale Signalverarbeitung mit Matblab 
(Martin Werner, Viehweg + Teubner 2010)

Ich hoffe, ich konnte dir weiter helfen und habe keine fachlichen Fehler 
verzapft ;)

[Andy (Gast)]

Super, vielen Dank, damit kann man echt was anfangen :)
nur noch eine letzte Frage. Gibt es eine Möglichkeit wie man Polstellen 
einfach und direkt aus der Funktion ableiten kann, ohne groß nachdenken 
zu müssen?

Vielen Dank und schöne Grüße,
Andy

[Enrico (Gast)]

Aus der Funktion des Filter oder was genau meinst du? Bei FIR immer 
Null, also muss unten z^k stehen. Bzw die Polstellen sind die 
Nullstellen des Nennerpolynoms. Falls das deine Frage war ;)

[Enrico (Gast)]

http://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/z-transformation-von-signalen/grundlagen-der-z-transformation/pollage-und-komplexe-exponential-folge.html

Dort ist auch noch eine sehr schöne Übersicht für den Zusammenhang 
zwischen Pollage und der Gewichtsfolge.

[Andy (Gast)]

Ok, danke. Der Link hilft weiter, aber geht es auch, dass man aus dem 
gegebenen Betragsfrequenzgang, also hier dem Cosinus einfach die 
Polstellen ableitet?