Reglungstheorie

[Jan. (Gast)]

Hallo,

Ich habe eine generelle Frage zur Kausalität, ein kausales System liegt 
ja erst dann vor, wenn der Wert der Eingangsgröße das Verhalten des 
Systems für zukünftige Zeitpunkte nicht beeinflusst.
Was passiert wenn keine Kausalität vorliegt? Hat jemand ein 
Gegenbeispiel zur Kausalität?

Vielen Dank im Voraus

[Udo S. (urschmitt)]

Jan. schrieb:
> wenn der Wert der Eingangsgröße das Verhalten des
> Systems für zukünftige Zeitpunkte nicht beeinflusst.

Das ist eigentlich ein normales System, sobald es einen Speicher 
irgendeiner Form (I Glied) hat. Wenn ich Gas gebe (Eingangs oder 
Stellgröße) dann wird es in der Zukunft schneller fahren (Regelgröße)

Nicht kausal ist ein System, dessen Ausgangsgröße sich schon verändert 
bevor sich die Eingangsgröße (Stellwert oder Störgröße) geändert hat.
Das kann man mathematisch beschreiben, kommt aber in der Natur nicht 
vor.

Ein Beispiel wäre vieleicht Raumschiff Enterprise :-)

[Jan. (Gast)]

Danke. Also ganz absurd gesagt, wenn das Auto ohne Gas zu geben 
losfährt?

[Udo S. (urschmitt)]

Jan. schrieb:
> Danke. Also ganz absurd gesagt, wenn das Auto ohne Gas zu geben
> losfährt?

Wenn das Auto weiss dass du in einer Sekunde Gas geben wirst und schon 
vorher losfährt.
Das ist nichtkausal, weil dann die Auswirkung vor der Ursache kommt.

Kausal heisst die Auswirkung kommt immer nach der Ursache.

[Sepp (Gast)]

Ein idelar Tiefpass:

Dessen Impulsantwort kommt schon bevor der Impuls überhaupt da ist :-)

Hintergrund
Die sinx/x Funktion hat chon vor 0 Ausschläge.

[ILC (Gast)]

Eine Iterativ Lernende Regelung ist akausal.

[Udo S. (urschmitt)]

Sepp schrieb:
> Ein idelar Tiefpass:
>
> Dessen Impulsantwort kommt schon bevor der Impuls überhaupt da ist :-)
>
> Hintergrund
> Die sinx/x Funktion hat chon vor 0 Ausschläge.

Super danke, ich bin schon zulange raus, ist mir nicht mehr eingefallen.

ILC schrieb:
> Eine Iterativ Lernende Regelung ist akausal.

Das wiederum verstehe ich jetzt nicht. Ein reales System kann eigentlich 
nicht akausal sein.

[Jan. (Gast)]

Okay. Und was ist ein autonomes System vorliegt? Ich muss nämlich 
folgende Frage lösen und tue mich schwer damit: wie wird der Begriff der 
asysmptotischen Stabilität für autonome LTI Systeme mit der Form

$$x'(t) = Ax(t), x(0) = x^{0}$$

 definiert?

[Jan. (Gast)]

Ich glaube, dass ein autonomes system keine Eingänge hat. Kann das sein, 
ich finde dazu leider nichts.

[operator (Gast)]

Udo Schmitt schrieb:
> Ein reales System kann eigentlich
> nicht akausal sein.

Es sei denn die (nahe) Zukunft kann vorausgesagt werden. Siehe 
Kalman-Filter

[Ichregeldas (Gast)]

Jan. schrieb:
> Okay. Und was ist ein autonomes System vorliegt? Ich muss nämlich
> folgende Frage lösen und tue mich schwer damit: wie wird der Begriff der
> asysmptotischen Stabilität für autonome LTI Systeme mit der Form
> definiert?

Einfach gucken ob der Realteil der Eigenwerte kleiner 0 ist.

[ILC (Gast)]

Udo Schmitt schrieb:
> Das wiederum verstehe ich jetzt nicht. Ein reales System kann eigentlich
> nicht akausal sein.

Das ist auch ein bisschen tricky. Eine Iterativ Lernende Regelung (ILR 
bzw. englisch ILC) kann nur sinnvoll bei zyklischen Prozessen angewendet 
werden. Die Akausalität kommt dadurch zu Stande, dass man zum Zeitpunkt 
k in einem Zyklus den Zustand des nächsten Zeitpunktes k+1 prädiziert 
indem man einfach nachguckt was im letzten Zyklus zum Zeitpunkt k+1 
passiert ist.

So gesehen könnte man eventuell auch sagen, dass eine modellprädiktive 
Regelung (MPC) akausal ist, da bin ich aber nicht ganz so fit drin.

[Paul H. (powl)]

Jan. schrieb:
> Ich habe eine generelle Frage zur Kausalität, ein kausales System liegt
> ja erst dann vor, wenn der Wert der Eingangsgröße das Verhalten des
> Systems für zukünftige Zeitpunkte nicht beeinflusst.

Hm.. das was du da beschreibst nennt man >zeitinvariant<. D.h., dass das 
Verhalten des Systems bei gleichartigem Eingangssignal zu jedem 
Zeitpunkt gleich ist.

> Was passiert wenn keine Kausalität vorliegt? Hat jemand ein
> Gegenbeispiel zur Kausalität?

Laut wiki:
"In der Systemtheorie bezeichnet man ein System als „kausal“, wenn seine 
Ausgangswerte nur von den aktuellen und vergangenen Eingangswerten 
abhängen. Die Sprungantwort oder Impulsantwort eines solchen Systems 
verschwindet für negative Zeiten. Ein System, das nicht kausal ist, 
bezeichnet man als akausales System."

Alle realen Systeme sind kausal. Ein akausales System existiert nur in 
der Theorie oder in der Simulation.

Auszug aus wiki "Idealer Tiefpass":
"Ein idealer Tiefpassfilter ist in der Theorie gut beschreibbar, in 
Praxis allerdings nicht realisierbar. Dies liegt an der nichtkausalen 
und unendlich langen Impulsantwort. Ein idealer Tiefpassfilter zeigt am 
Ausgang des Filters bereits eine Reaktion, bevor das auslösende Signal 
am Filtereingang anliegt."

[dfgh (Gast)]

>Die Akausalität kommt dadurch zu Stande, dass man zum Zeitpunkt
>k in einem Zyklus den Zustand des nächsten Zeitpunktes k+1 prädiziert
>indem man einfach nachguckt was im letzten Zyklus zum Zeitpunkt k+1
>passiert ist.

Da wird aber der Begriff der Kausalität ziemlich gedehnt, schließlich 
benötige ich die Information von letztem Zyklus ja trotzdem... Erst ohne 
diese Information wäre es nicht mehr kausal.

Nicht Kausal ist alles, was sich Informationen aus der echten(!) Zukunft 
holt. Also im Realfall gar kein System, abgesehen von der Verarbeitung 
aufgezeichneter Daten - da geht so was natürlich...

[Jan. (Gast)]

Okay, danke euch allen. Kausalität ist mir dank euch klar geworden.
Aber was es mit einem autonomen system auf sich hat leider nicht. Wann 
liegt so etwas vor?

[Ichregeldas (Gast)]

Wenn du deine Systemmatrix aus so einer Differentialgleichung gewonnen 
hast:
http://de.wikipedia.org/wiki/Autonome_Differentialgleichung
Anders ausgedrückt:
Du hast in deiner Matrix A keine Abhängigkeiten von x oder t.

[lauri (Gast)]

Danke.

$$\lim_{t \to \infty } x e^{At} = 0$$

[lauri (Gast)]

Welchen Wert muss A annehmen, damit die Gleichung erfüllt ist? Warum ist 
die Forderung wichtig?

$$\lim_{t \to \infty } x e^{At} = 0$$

A = 0, das hier ist doch asymptotische Stabilität oder?

[lauri (Gast)]

Das x muss da weg

[Systemtheoretiker (Gast)]

Um die letzte Frage noch zu beantworten (auch, wenn sie vermutlich nicht 
mehr aktuell ist):

A = 0 wäre die triviale Lösung. Stabilität ist ja darüber definiert, 
dass die Zustände x für t gegen unendlich begrenzt sind bzw die 
Ableitung Null wird.
Also muss geprüft werden, ob die Ableitung für t gegen unendlich Null 
wird.
Für asymptotisch stabile Systeme (nicht grenzstabil) würde es reichen zu 
prüfen ob x für t gegen unendlich Null wird, da bei asymptotisch 
stabilen Systemen die Zustände nach 0 zurückdriften.

Anschaulich:
Stabiles System (Asymptotisch stabiles System): gedämpftes Fadenpendel
Grenzstabiles System: ungedämpftes Fadenpendel

Du hast folgende DGL:

$$\dot x = A x$$

Die Lösung (nach x aufgelöst) der DGL ist:

$$x = e^{At}$$

Die Ableitung lautet:

$$\dot x = Ae^{At}$$

Sind die Eigenwerte von A eig(A) <= 0, ist

$$\lim\limits_{t \rightarrow \infty}{Ae^{At}} = 0$$

erfüllt.

Setze gedanklich folgende Werte ein:
1x1-Matrix A = -1; eig(A) = -1 (stabil)
1x1-Matrix A = 0; eig(A) = 0 (grenzstabil)  (entspricht in diesem Fall 
deiner trivialen Lösung)
1x1-Matrix A = 1; eig(A) = 1 (instabil)

Da niemand Lust hat irgendwelche Grenzwerte zu berechnen, reicht es, 
sich die Eigenwerte anzuschauen.