Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik Frage an die elektrotechnischen mathematiker, Erklärung einer Formel:


von Patrick (Gast)


Angehängte Dateien:

Lesenswert?

Hallo Leute,
im Rahmen einer Projektarbeit soll ich etwas machen, wo ich leider 
überhaupt keinen Ansatz finde:


3 Luftlager f1,f2 und f3 halten einen Läufer in der Schwebe.

Mittels dreier Abstandssensoren  Z1, Z2 und Z3 wird der Abstand zwischen 
den jeweiligen Sensoren und dem dazugeörigen Target gemessen.

Uns interessiert aber der tatsächliche Abstand zwischen z.B. f1 und dem 
Läufer.

Nun kann man durch Geometrie auf die Formel kommen, die im Bild 
angegeben ist, d.h. mittels der drei gemessenen Werte Z1, Z2 und Z3 kann 
man auf die tatsächliche Höhe zwischen f1 und dem Läufer berechnen, nur 
wie zum Teufel kommt man auf diese Formel ?

Kann mir da einer bitte weiterhelfe bzw. ein Tipp oder ähnliches ?

von Yalu X. (yalu) (Moderator)


Lesenswert?

Da gehst du am besten folgendermaßen vor:

Zuerst bestimmst du den Einfluß von Z1 auf f1. Dazu hältst du Z2 und Z3
in ihrer Ruheposition (Z2=Z3=0) fest. Dadurch liegt die gesamte rechte
Seite des äußeren Dreiecks (nennen wir sie S23) auf der Höhe 0. Bewegt
sich dieses Dreieck nun am Punkt Z1 um die Strecke Z1 nach oben, kannst
du per Strahlensatz ausrechnen, wie weit sich f1 nach oben bewegt. Ist
nämlich af1 der Abstand von f1 zu S23 und aZ1 der Abstand von Z1 zu S23,
dann ist f1 = Z1·af1/aZ1. af1 und aZ1 kannst du mit etwas Trigonometrie
leicht berechnen.

Für Z2 und Z3 verfährst du entsprechend. Da sich die Bewegungen an Z1,
Z2 und Z3 überlagern, addierst du zum Schluss die drei gefundenen
Ergebnisse für f1 einfach zusammen, und es kommt tatsächlich die im Bild
angegebene Formel heraus.

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Yalu X. schrieb:
> Da gehst du am besten folgendermaßen vor:
>
> Zuerst bestimmst du den Einfluß von Z1 auf f1. Dazu hältst du Z2 und Z3
> in ihrer Ruheposition (Z2=Z3=0) fest. Dadurch liegt die gesamte rechte
> Seite des äußeren Dreiecks (nennen wir sie S23) auf der Höhe 0. Bewegt
> sich dieses Dreieck nun am Punkt Z1 um die Strecke Z1 nach oben, kannst
> du per Strahlensatz ausrechnen, wie weit sich f1 nach oben bewegt. Ist
> nämlich af1 der Abstand von f1 zu S23 und aZ1 der Abstand von Z1 zu S23,
> dann ist f1 = Z1·af1/aZ1. af1 und aZ1 kannst du mit etwas Trigonometrie
> leicht berechnen.
>
> Für Z2 und Z3 verfährst du entsprechend. Da sich die Bewegungen an Z1,
> Z2 und Z3 überlagern, addierst du zum Schluss die drei gefundenen
> Ergebnisse für f1 einfach zusammen, und es kommt tatsächlich die im Bild
> angegebene Formel heraus.

Einer, der weiß wovon er redet !

Ich probiere es gleich aus ! Danke für deine Antwort !

von Matthias L. (Gast)


Lesenswert?

Mich würde ja mal interessieren, welches Maß/Abstand im Bild die 
Abstandssensoren messen, was der Läufer im Bild ist und welches Maß 
gesucht ist.

Das ist alles nicht ersichtlich...

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Danke danke Yalu, habe es endlich hinbekommen. Hast du echt super 
erklärt.

Hat auch geklappt, der erste Term ist hergeleitet.

Eine Frage jedoch kurz zum Verständnis.


Bei Z2 und Z3, wie ist da die Relation ?

Nehmen wir Z3 an: Nehme ich diesmal an, dass Z1 und Z2 in Ruheposition 
ist und bewege den Läufer um plus Z3 nach oben und schaue, wie ich mit 
Hilfe des Strahlensatzes dann die Höhe f1 berechne?

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Matthias Lipinsky schrieb:
> Mich würde ja mal interessieren, welches Maß/Abstand im Bild die
> Abstandssensoren messen, was der Läufer im Bild ist und welches Maß
> gesucht ist.

Hall-Sensoren, messen im Bereich bis 30 mm, der Läufer ist doch das 
große dreieck.

von Yalu X. (yalu) (Moderator)


Lesenswert?

Patrick schrieb:
> Nehmen wir Z3 an: Nehme ich diesmal an, dass Z1 und Z2 in Ruheposition
> ist und bewege den Läufer um plus Z3 nach oben und schaue, wie ich mit
> Hilfe des Strahlensatzes dann die Höhe f1 berechne?

Ja, genau.

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Yalu X. schrieb:
> Patrick schrieb:
>> Nehmen wir Z3 an: Nehme ich diesmal an, dass Z1 und Z2 in Ruheposition
>> ist und bewege den Läufer um plus Z3 nach oben und schaue, wie ich mit
>> Hilfe des Strahlensatzes dann die Höhe f1 berechne?
>
> Ja, genau.

Irgendwie fehlt mir aber die Geometrie von Z3 zu f1, bei dem einen war 
es einfach, den Strahlensatz anzuwenden, doch hier funktioniert das doch 
nicht so recht oder ?

von Yalu X. (yalu) (Moderator)


Lesenswert?

Das geht fast genauso wie für Z1: Da du jetzt Z1 und Z2 festhältst, ist
die untere Seite (S12) des Dreiecks fix und stellt die Drehachse dar. Du
brauchst jetzt also die Abstände von Z3 und f1 zu S12. Dann kannst du
den Strahlensatz genauso wie im ersten Fall anwenden.

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Yalu X. schrieb:
> Das geht fast genauso wie für Z1: Da du jetzt Z1 und Z2 festhältst, ist
> die untere Seite (S12) des Dreiecks fix und stellt die Drehachse dar. Du
> brauchst jetzt also die Abstände von Z3 und f1 zu S12. Dann kannst du
> den Strahlensatz genauso wie im ersten Fall anwenden.

Jap, hat eben geklappt, Super, vielen vielen vielen vielen vielen vielen 
vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen 
vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen vielen 
vielen vielen vielen vielen DANK !!!!!!!!!!!!!

von Patrick (Gast)


Angehängte Dateien:

Lesenswert?

Hallo Yalu,

anbei eine Frage, die lediglich meinem Verständnis dient.

Wenn ich die Sensoren Z1-Z4 und f1-f4 wie folgt im Bild anordne,

so verfahre ich doch ähnlich wie mit der dreieckigen Anordnung, oder ?

Nur, beim Dreieck konnten wir quasi sagen, dass wir den Einfluss eines 
Sensors bestimmen und die anderen an Ihrer Ruheposition halten.

Aber beim Viereck geht das doch nicht oder ?

Ich habe eine Formel hergeleitet für ebenfalls f1, kannst du mir vll. 
sagen, ob das richtig ist ?

von Patrick (Gast)


Angehängte Dateien:

Lesenswert?

Falsches Bild, sorry, das ist das richtige.

von Hannes J. (Firma: _⌨_) (pnuebergang)


Lesenswert?

Komm, langsam ist ja mal gut. Das hineinsehen in ein Mathebuch und eine 
Formelsammlung kann dir das Forum nicht in alle Ewigkeit ersparen.

Du musst schon lernen deine Hausarbeiten mal irgendwann selber zu 
machen.

: Bearbeitet durch User
von Patrick (Gast)


Lesenswert?

wenn du meinst, das ist hier kindergarten, dann irrst du dich.

ich nutze das Forum zur Diskussion und Wissensaustausch !

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Meine Frage ist eher, was ist hier die Drehachse ?

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Patrick schrieb:
> Falsches Bild, sorry, das ist das richtige.

Also Z3 und Z4 funktionieren in Bezug auf f1 genau so wie beim Dreieck.

Was ist aber mit Z1 und Z2, wie geht das da genau ?
Weil da haben wir keine Symmetrie bzgl. fi ??

von Patrick (Gast)


Angehängte Dateien:

Lesenswert?

So, ich habe das modifiziert und trenne mich vom vorherigen Bild:

Wenn ich meine Hall-Sensoren wie folgt im Bild anordne  und meine 
Luftlager wie folgt mit den gegebenen Abmessungen, wie kann ich dann aus 
den gemessenen z-Koordinaten Z1-Z4 nun die tatsächliche Höhe von f1 
berechnen ?

Ja, ich weiß, dass ich zunächst alles allein betrachte und anschließend 
überlagere.

Aber wie sieht das aus, wenn ich nun Z1 betrachte, die anderen in Ruhe, 
d.h. Z2=Z3=Z4=0, da ist das nicht so einfach mit dem Dreieck, da haben 
wir keine Symmetrie, ist das dann überhaupt möglich ?

von Vadislav (Gast)


Lesenswert?

Patrick schrieb:
> wie kann ich dann aus
> den gemessenen z-Koordinaten Z1-Z4 nun die tatsächliche Höhe von f1
> berechnen ?

In dem du vorgehst wie Yalu beschrieben, nur eine unbedingte Drehachse 
brauchst du eigentlich nicht !

Patrick schrieb:
> Aber wie sieht das aus, wenn ich nun Z1 betrachte, die anderen in Ruhe,
> d.h. Z2=Z3=Z4=0

Ich würde direkt ebenfalls den Strahlensatz anwenden.

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Vadislav schrieb:

>
> Ich würde direkt ebenfalls den Strahlensatz anwenden.

Auch das klappt nicht, wenn ich Z1 betrachte und die Annahme treffe, 
dass  Z2 und Z4 fest sind und somit die Drehachse sind, so bleibt immer 
noch Z3.

Bei einer pos. Bewegung in Z1-Richtung ändert sich auch Z3, von daher 
weiß ich es einfach nicht, wie das gehen soll bzw. ob das überhaupt geht 
?

von Yalu X. (yalu) (Moderator)


Lesenswert?

Bei vier Sensoren ist das Ganze überbestimmt. Entweder du lässt einen
der vier Sensoren weg, dann erfolgt die Berechnung ähnlich wie bisher,
nur dass das Dreieck eine andere Form hat. Oder du nutzt den vierten
Sensorwert als redundante Information zur Verringerung stochastischer
Messfehler, dann musst du eine Ausgleichsrechnung machen. Das wird dann
aber etwas komplizierter.

: Bearbeitet durch Moderator
von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Yalu X. schrieb:
> Bei vier Sensoren ist das Ganze überbestimmt. Entweder du lässt einen
> der vier Sensoren weg, dann erfolgt die Berechnung ähnlich wie bisher,
> nur dass das Dreieck eine andere Form hat. Oder du nutzt den vierten
> Sensorwert als redundante Information zur Verringerung stochastischer
> Messfehler, dann musst du eine Ausgleichsrechnung machen. Das wird dann
> aber etwas komplizierter.

Sag mal darf ich fragen, was du studierst oder studiert hast ?

Überbestimmt, da 3 Freiheitsgrade und 4 Sensoren oder warum ?

Ich lasse ungern den vierten Sensor weg,ich muss mal schauen, wie das 
geht mit dem vierten Sensorwert als redundante Information.7

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Yalu X. schrieb:
> Oder du nutzt den vierten
> Sensorwert als redundante Information zur Verringerung stochastischer
> Messfehler, dann musst du eine Ausgleichsrechnung machen. Das wird dann
> aber etwas komplizierter.

Geh ich da genau so vor wie beim Dreieck, indem ich erst mal die 
Gleichungen aufstelle und dann die Ausgleichsrechnung durchführe ?

Wir haben doch 4 Aktoren und 4 sensoren, wieso ist das System 
überbestimmt?

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Patrick schrieb:
> Yalu X. schrieb:
>> Oder du nutzt den vierten
>> Sensorwert als redundante Information zur Verringerung stochastischer
>> Messfehler, dann musst du eine Ausgleichsrechnung machen. Das wird dann
>> aber etwas komplizierter.
>
> Geh ich da genau so vor wie beim Dreieck, indem ich erst mal die
> Gleichungen aufstelle und dann die Ausgleichsrechnung durchführe ?
>
> Wir haben doch 4 Aktoren und 4 sensoren, wieso ist das System
> überbestimmt?

Weil ich brauch ja die Gleichungen, um die Ausgleichsrechnung 
durchzuführen.

von Gerald M. (gerald_m17)


Lesenswert?

Das ist doch einfach, wenn es mit 3 Sensoren klappt, und du nimmst einen 
hinzu, dass es dann überbestimmt ist.
2 Sensoren reichen, wenn du weißt wie stark der Wert vom Sensor mit dem 
Abstand zusammen hängt. (2 Kreise die sich an einem Punkt berühren.
Mit dem 3. Sensor bekommst du einen 3. Kreis. Nun brauchst du nicht mehr 
die Radien der Kreise zu kennen um den Schnittpunkt aus zurechnen.
Nimmst du einen 4. Sensor hinzu, bringt dir das nur für den Fehler 
etwas. Hierzu denkst du dir einen Sensor weg, bekommst ein 
rechtwinkeliges Dreieck, berechnest damit den gesuchten Punkt, dann 
permutierst du die Ecken durch, und kannst über die 4 ermittelten Punkte 
mitteln

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Sorry, ich versuche ja wirklich das nachzuvollziehen, aber irgendwie 
klappt das nicht ganz.

Gerald M. schrieb:
> 2 Sensoren reichen, wenn du weißt wie stark der Wert vom Sensor mit dem
> Abstand zusammen hängt.

2 sensoren reichen für was ? Um die 4 Koordinaten f1-f4 zu bestimmen?

Gerald M. schrieb:
> Mit dem 3. Sensor bekommst du einen 3. Kreis. Nun brauchst du nicht mehr
> die Radien der Kreise zu kennen um den Schnittpunkt aus zurechnen.
> Nimmst du einen 4. Sensor hinzu, bringt dir das nur für den Fehler
> etwas. Hierzu denkst du dir einen Sensor weg, bekommst ein
> rechtwinkeliges Dreieck, berechnest damit den gesuchten Punkt, dann
> permutierst du die Ecken durch, und kannst über die 4 ermittelten Punkte
> mitteln

Ist es möglich, vll. eine Skizze mal zu zeigen?
Oder gibts da was in der Literatur wo man das nachlesen kann?

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Irgendwie denke ich als darüber nach, doch finde ich keine passende 
Antwort, warum das System überbestimmt ist.

Wenn es mit 3 funktioniert, dann ist einer redundant und damit 
überbestimmt.

Aber gibt es eine andere Erklärung ?

Wir haben doch auch 4 Höhen, die wir bestimmen möchten ?

von Gerald M. (gerald_m17)


Lesenswert?

Hatte den eingangspost nur überflogen. Da der Läufer ja schwebt, 
brauchst du natürlich 3 Sensoren für die Koordinatenbestimmung, wegen 
der z-Achse.
Aber ich verstehr deine Frage nicht, wegen der 4 Koordinaten f1-f4.
Ich gehe davon aus, dein Messaufbau ist fix, also die Koordinaten der 
Aktoren und die der Sensoren sind fest.
Dann möchtest du nur noch die Position deines Läufers bestimmen. Hierfür 
suchst du dir zunächst 3 Sensoren aus und berechnet damit die Position 
des Läufers. Dann verdeckst du den nächsten Sensor und berechnest 
wieder. Das ganze noch 2 weite Male und du bekommst 4 Werte für die 
xyz-Koordinate des Läufers. Dann kannst du mitteln.
Zum regeln kannst du dir aussuchen was du machst, entweder zu regelst 
nach dem gemitteltem Wert, was vielleicht nicht so einfach ist da du 
einen Aktor zuviel hast, oder du superpositionierst die Regelung der 4 
Messungen. Also du deckst zu jedem Sensor auch noch einen Aktor ab, und 
berechnest die Regelung mit den 3 übrigen Aktoren. Das ganze ebenfalls 4 
mal, die Regelwerte mittelst du dann ebenfalls.

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Gerald M. schrieb:
> Aber ich verstehr deine Frage nicht, wegen der 4 Koordinaten f1-f4.
> Ich gehe davon aus, dein Messaufbau ist fix, also die Koordinaten der
> Aktoren und die der Sensoren sind fest.
> Dann möchtest du nur noch die Position deines Läufers bestimmen.

Richtig, sowohl die Messsysteme als auch die f1-f4 sind fest verbunden.

Gerald M. schrieb:
> Dann möchtest du nur noch die Position deines Läufers bestimmen.

Mit Position ist die tatsächliche Höhe von z.B. fi gemeint, da die 
Sensoren Z1-Z4 ggfs. andere Höhen erfassen.

Gerald M. schrieb:
> Hierfür
> suchst du dir zunächst 3 Sensoren aus und berechnet damit die Position
> des Läufers. Dann verdeckst du den nächsten Sensor und berechnest
> wieder. Das ganze noch 2 weite Male und du bekommst 4 Werte für die
> xyz-Koordinate des Läufers. Dann kannst du mitteln.

Die xy-Koordinaten interessieren nicht, sondern nur die tatsächliche 
z-Koordinate.
Also was ich machen will ist, DIE EXAKTE HÖHE von f1 zu bestimmen, wobei 
f1 aus den gemessenen WERTEN Z1-Z4 bestimmt werden soll.

Ist damit beispielsweiße für f1 gemeint:
Erst berechne ich f1 aus Z1,Z2,Z3 und Z4 beachte ich quasi nicht
Dann berechne ich f1 aus Z2,Z3,Z4 und Z1 beachte ich nicht
Dann berechne ich f1 aus Z3,Z4,Z1 und Z2 beachte ich nicht
Dann berechne ich f1 aus Z4,Z1,Z2 und Z3 beachte ich nicht

Und dann mittel ich ?

Danke lieber Gerald für deine Antwort bis dahin und für dein Bemühen !

von Gerald M. (gerald_m17)


Lesenswert?

Ja, genau.
Du musst einfach beachten dass die Sensoren nicht die Höhe ausgeben, 
sondern den Abstand. Der Abstand hat 3 Freiheitsgrade. Also x,y und 
z-Koordinate.
Deshalb brauchst du 3 Sensoren.
Du legst dir also dein Koordinatensystem an (wo der (0,0,0) Punkt ist 
und wohin die Achsen zeigen) und berechnest wie du am Ende gesagt hast 
die Koordinaten.
Edit: Es reicht natürlich wenn du nur einmal rechnest, die restlichen 3 
Rechnungen dienen nur der Genauigkeit.

: Bearbeitet durch User
von Yalu X. (yalu) (Moderator)


Angehängte Dateien:

Lesenswert?

Patrick schrieb:
> Überbestimmt, da 3 Freiheitsgrade und 4 Sensoren oder warum ?

Ja.

Außerdem sind f1, f2, f3 und f4 voneinander abhängig, da man bspw. f4
durch die anderen drei Werte ausdrücken kann:


Patrick schrieb:
> ich muss mal schauen, wie das geht mit dem vierten Sensorwert als
> redundante Information.

Da wir es hier nur mit linearen Zusammenhängen zu tun haben, ist das gar
nicht so schwer:

Wir lassen f4 zunächst außen vor, da es sich, wie oben gezeigt, leicht
aus f1, f2 und f3 berechnen lässt. Diese drei Werte lassen sich wegen
der Überbestimmt nicht so ohne weiteres direkt aus z1, z2, z3 und z4
bestimmen, deswegen gehen wir wir erst einmal den umgekehrten Weg und
berechnen die z- aus den f-Werten. Das geht nach dem gleichen Prinzip,
wie du oben (für den dreieckigen Läufer) schon die f- aus den z-Werten
berechnet hast. Das Ergebnis sind 4 lineare Gleichungen, aus denen f1,
f2 und f3 bestimmt werden sollen.

Dieses Gleichungssystem sieht in Vektorschreibweise so aus:


wobei


Die Bedeutung der Maße a und b sind der ersten der beiden angehängten
Skizzen zu entnehmen.

Da das Gleichungssystem mehr Gleichungen als Unbekannte hat, hat es
i. Allg. keine Lösung. Man kann aber die f-Werte so bestimmen, dass die
daraus berechneten Z-Werte mit den gemessenen Werten zwar nicht exakt
übereinstimmen, ihr Fehler aber nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate
minimal ist.

Mit einem kleinen Kniff gelingt es, die obige Gleichung z = Mf nach f
aufzulösen:


Der mit M+ markierte Ausdruck nennt man auch Pseudoinverse von M, weil
er bei der Lösung von überbestimmten Gleichungssystemen eine ähnliche
Funktion hat wie die inverse Matrix bei gewöhnlichen Gleichungssystemen.
Man kann zeigen, dass die mit Hilfe der Pseudoinversen berechnete Lösung
tatsächlich nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate optimal ist.

Jetzt muss also nur noch M+ berechnet werden. Das ist etwas
Knochenarbeit, die man lieber dem Computer überlässt. Das Ergebnis:


Die gesuchten Lösungen für die f-Werte lauten daher:


Nach der Formel ganz am Anfang des Beitrags kann nun auch f4 berechnet
werden:


Das ist schon alles.


Etwas weniger mathematisch geht es folgendermaßen (s. zweite Skizze):

Zur Berechnung von f1 werden die Höhen der Mittelpunkte m12 zwischen z1 
und
z2, und m34 zwischen z3 und z4 gebildet:


Der Punkt f1 liegt auf der Verlängerung der Verbindungslinie zwischen
den Punkten m34 und m12, so dass dessen Höhe mittels Strahlensatz
bestimmt werden kann. Entsprechend wird für f2 bis f4 verfahren. Die
Ergebnisse sind die gleichen wie in der obigen Berechung.

Damit erspart man sich die aufwendigen Matrizenberechnungen, allerdings
ist nicht sofort ersichtlich, dass es sich bei der Lösung tatsächlich um
diejenige mit dem minimalen Fehler handelt.


Gerald M. schrieb:
> Hierfür suchst du dir zunächst 3 Sensoren aus und berechnet damit die
> Position des Läufers. Dann verdeckst du den nächsten Sensor und
> berechnest wieder. Das ganze noch 2 weite Male und du bekommst 4 Werte
> für die xyz-Koordinate des Läufers. Dann kannst du mitteln.

Das liefert vermutlich ebenfalls die gleichen Ergebnisse (hab's aber
nicht nachgerechnet).

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Lieber Yahu, vielen vielen Dank für deine Bemühungen ! Ich weiß das sehr 
zu schätzen und würde mich gerne bedanken, doch leider mehr als ein 
Dankeschön hier auszusprechen geht nicht. Dennoch wie gesagt, sollst du 
wissen, dass ich das sehr zu schätzen weiß !

Yalu X. schrieb:
> Außerdem sind f1, f2, f3 und f4 voneinander abhängig, da man bspw. f4
> durch die anderen drei Werte ausdrücken kann:

Welche Annahme triffst du denn bei dieser Formel bzw. wo siehst du, dass 
das identisch sein muss ?

Yalu X. schrieb:
> Das geht nach dem gleichen Prinzip,
> wie du oben (für den dreieckigen Läufer) schon die f- aus den z-Werten
> berechnet hast.

Zerlegst du aber hier wieder das Quadrat in Dreiecken oder was nimmst du 
als Drehachse ? Weil um den Strahlensatz anzuwenden, brauchst du ja 
einen Bezugspunkt bzw. die Drehachse.

Yalu X. schrieb:
> Mit einem kleinen Kniff gelingt es, die obige Gleichung z = Mf nach f
> aufzulösen:

Der Rest ist Mathematik, mit Pseudoinversen hatte ich schon viel zu tun 
gehabt. Sehr verständlich erklärt, vielen Dank.

Yalu X. schrieb:
> Etwas weniger mathematisch geht es folgendermaßen (s. zweite Skizze):
>
> Zur Berechnung von f1 werden die Höhen der Mittelpunkte m12 zwischen z1
> und
> z2, und m34 zwischen z3 und z4 gebildet:

Das werde ich morgen nachvollziehen und versuchen, die gleichen Formeln 
über diesen Lösungsweg zu erhalten.

Yalu X. schrieb:
> Gerald M. schrieb:
>> Hierfür suchst du dir zunächst 3 Sensoren aus und berechnet damit die
>> Position des Läufers. Dann verdeckst du den nächsten Sensor und
>> berechnest wieder. Das ganze noch 2 weite Male und du bekommst 4 Werte
>> für die xyz-Koordinate des Läufers. Dann kannst du mitteln.
>
> Das liefert vermutlich ebenfalls die gleichen Ergebnisse (hab's aber
> nicht nachgerechnet).

Auch das werde ich versuchen morgen herzuleiten, um zu schauen, ob die 
Ergebnisse identisch sind.

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

@ Yalu, eine wichtige Verständnisfrage noch:

Die ganzen Hergeleiteten Formeln gelten doch alle für den Fall, dass der 
Läufer sich in dieser Ausgangslage befindet, wie eingezeichnet. Die 
Sensoren sind ja fest mit dem Stator verbunden.

Doch was ist, wenn der Läufer sich beispielsweiße nach rechts und dann 
nach oben bewegt ?

Dann existiert doch ein völlig anderes b, sind die Höhen f1 bis f4, die 
dann aus den gemessenen Sensorwerten Z1-Z4 berechnet wurden, bei einer 
Bewegung falsch ?

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

@ yalu

Falls es dich interessiert:

Wir bauen quasi so einen ähnlichen Antrieb,

der mit Luftführungen zum schweben gebracht wird.

http://youtu.be/-r4Tv7GbB8o

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Gerald M. schrieb:
> Du musst einfach beachten dass die Sensoren nicht die Höhe ausgeben,
> sondern den Abstand. Der Abstand hat 3 Freiheitsgrade. Also x,y und
> z-Koordinate.

Mit x,y sind die Koordinaten im globalen KOS gemeint oder ?

So hat doch z.B. f1 die globalen Koordinaten -x1,+y1,+zi.

Stellt sich aber auch hier, ähnlich wie bei Yalu meine 
Verständnissfrage:

Was passiert, wenn der Läufer sich bewegt in der x-y-ebene ? Beispiel 
nach rechts, dann nach oben ? Dann ändern sich doch die Koordinaten u´nd 
somit wären die Formeln nicht mehr gültig, oder ?

von Vadislav (Gast)


Lesenswert?

Ich glaube, den Strahlensatz wirst du nicht so einfach anwenden können, 
du sollst vll. dir mal überlegen, ob du das Quadrat in Dreiecke zerlegst 
!

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Yalu X. schrieb:
> Der Punkt f1 liegt auf der Verlängerung der Verbindungslinie zwischen
> den Punkten m34 und m12, so dass dessen Höhe mittels Strahlensatz
> bestimmt werden kann. Entsprechend wird für f2 bis f4 verfahren. Die
> Ergebnisse sind die gleichen wie in der obigen Berechung.

Leider stimmt mein Ergebnis für f1 überhaupt nicht mit deinem überein.

Den Abstand m12 habe ich berechnet und m34 auch, nämlich:

m12=sqrt(2)*(a/2-b) und m34=sqrt(2)*(a-2b) und die Diagonale zw. f1 und 
f3 ad=sqrt(2)*a

Betrachte ich f1 und nur Z12 und nehme f3 als Drehachse, so gilt für den 
Strahlensatz : f1/Z12=ad/(ad-m12).

Löse ich das auf, so stimmt mein Z1 und Z2 nicht mit deinem Z1 und Z2 
für f1 überein.

Übersehe ich irgendwas dummes?

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Lieber yalu, leider komme ich überhaupt nicht auf deine Gleichungen, die 
du hergeleitet hattest, ich komme manchmal auf den selben Ausdruck, 
jedoch ist dann a und b entweder vertauscht oder im Vorzeichen anders.

Kannst du mir bitte mal für einen Term sagen, wie du da vorgegangen bist 
?

Deine ganze tolle rechnung bringt mir kaum was , wenn ich meine Rechnung 
mit deinen Ergebnisse verifizieren kann.

Z.b. Habe ch für z1 und f1 den Abstand m12 berechnet und die Diagonale 
f1-f3 und als Drehpunkt f3 und habe dann den strahlensatz berechnet, ist 
das korrekt ? Leider stimmen dann aber die Ergebnisse nicht mit deinem 
überein ...

von Yalu X. (yalu) (Moderator)


Angehängte Dateien:

Lesenswert?

Patrick schrieb:
> Kannst du mir bitte mal für einen Term sagen, wie du da vorgegangen bist
> ?

Schau dir die angehängte Skizze an, wo die Lage der grünen Linie und der
daraufliegenden Punkte einmal von oben und einmal von vorne gezeigt ist.

Aus der Ansicht von vorne ergibt sich nach Strahlensatz


wobei

Den Abstand u erhältst du bspw. dadurch, dass du in der Ansicht von oben
die horizontalen Abstände von z3 und z4 zur linken Kante des Läufers
mittelst. Also ist


Entsprechend ist



Das alles eingesetzt in die erste Gleichung ergibt die Lösung für f1 in
meinem letzten Beitrag. Die Lösungen für f2, f3 und f4 ergeben sich
unter Ausnutzung der Symmetrien aus dem Term für f1 durch zyklisches
Vertauschen der Variablen z1, z2, z3 und z4.


Das Ganze ist aber Mittelstufenmathematik und sollte eigentlich von
jemandem mit Abitur, erst recht aber von einem Studenten im höheren
Semester problemlos erschlagen werden können.


Patrick schrieb:
> Die ganzen Hergeleiteten Formeln gelten doch alle für den Fall, dass der
> Läufer sich in dieser Ausgangslage befindet, wie eingezeichnet. Die
> Sensoren sind ja fest mit dem Stator verbunden.
>
> Doch was ist, wenn der Läufer sich beispielsweiße nach rechts und dann
> nach oben bewegt ?

Ich bin davon ausgegangen, dass – unabhängig von der Lage des Läufers
die z- und die f-Abstände alle vertikal gemessen werden, da dies auch in
der Formel in deinem Eröffungsbeitrag vorausgesetzt wird.

: Bearbeitet durch Moderator
von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Lieber Yalu, vielen lieben Dank ! Ich hoffe du wirst für deine 
Hilfsbereitschaft belohnt ! Endlich weiß ich jetzt, wie du auf deine 
Formeln kamst.

Yalu X. schrieb:
> Den Abstand u erhältst du bspw. dadurch, dass du in der Ansicht von oben
> die horizontalen Abstände von z3 und z4 zur linken Kante des Läufers
> mittelst.

Das war genau mein falscher Ansatz, da ich nicht die Abstände u und v 
berechnet habe wie du, sondern ich habe den Abstand f1 zu m12 und f1 zu 
m34 bestimmt und dann den Strahlensatz angewendet. Wäre ehrlich gesagt 
für mich etwas logischer, da die dann alle auf einer Verbindungslinie 
liegen.

Yalu X. schrieb:
> Das Ganze ist aber Mittelstufenmathematik und sollte eigentlich von
> jemandem mit Abitur, erst recht aber von einem Studenten im höheren
> Semester problemlos erschlagen werden können.

An der Mathematik hapert es ja bei mir nicht, sondern war für mich der 
einzige Fehler, dass ich den Abstand auf der grünen Linie bestimmt 
hatte, wohingegen du mit den abständen zur Außenkante gerechnet hattest.



Yalu X. schrieb:
> Außerdem sind f1, f2, f3 und f4 voneinander abhängig, da man bspw. f4
> durch die anderen drei Werte ausdrücken kann:

Bleibt immer noch die Frage, wie das zusammenhängt, hast du hier 
gemittelt ?

Vielen Dank echt, das war super !

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Yalu X. schrieb:
> Den Abstand u erhältst du bspw. dadurch, dass du in der Ansicht von oben
> die horizontalen Abstände von z3 und z4 zur linken Kante des Läufers
> mittelst.

Frag ich trotzdem: Warum mittelst du zur Außenkante der linken Seite und 
nicht auf der Verbindungslinie von F1, z12 und z34 ?

von Yalu X. (yalu) (Moderator)


Lesenswert?

Patrick schrieb:
> Das war genau mein falscher Ansatz, da ich nicht die Abstände u und v
> berechnet habe wie du, sondern ich habe den Abstand f1 zu m12 und f1 zu
> m34 bestimmt und dann den Strahlensatz angewendet. Wäre ehrlich gesagt
> für mich etwas logischer, da die dann alle auf einer Verbindungslinie
> liegen.

Iche sehe gerade, dass meine Zeichnung (skizze3.png) ungenau bzw.
fehlerhaft ist: Da ich von einem geneigten Läufer ausgegangen bin,
müsste das Bild in der Ansicht von oben etwas anders (geschrumpft)
aussehen. Außerdem müssten die Abstände u und v in der Ansicht von vorne
entlang der grünen Linie eingezeichnet sein. Die angegeben Formeln für u
und v stimmen aber trotzdem.

Da es letztendlich nur auf das Verhältnis u/v ankommt, ist die Richtung
bzw. die Projektion, in die/der u und v gemessen werden, völlig egal,
solange diese Richtung bzw. Projektion für beide dieselbe ist. Misst man
u und v entlang der Diagonale des Läufers, sind beide um den Faktor √2
größer als in den von mir angegebenen Formeln. Im Quotient u/v fällt
dieser Faktor aber wieder heraus.

Patrick schrieb:
> Yalu X. schrieb:
>> Außerdem sind f1, f2, f3 und f4 voneinander abhängig, da man bspw. f4
>> durch die anderen drei Werte ausdrücken kann:
>
> Bleibt immer noch die Frage, wie das zusammenhängt, hast du hier
> gemittelt ?

Da der Mittelpunkt des Läufers in der Mitte der Verbindungsline zwischen
f1 und f3 liegt, hat er die Höhe h=(f1+f3)/2. Da er aber auch in der
Mitte der Verbindungsline zwischen f2 und f4 liegt, ist seine Höhe auch
h=(f2+f4)/2. Also muss f1+f3=f2+f4 sein.

von Patrick (Gast)


Angehängte Dateien:

Lesenswert?

Passt alles super, nur leider habe ich ein Vorzeichenfehler drin, in der 
Abbildung habe ich mal mein Rechenweg kurz erläutert:

ich rechne einfach die Abstanände aus und gehe dann über den 
Strahlensatz, aber habe überall ein Vorzeichenfehler drin. Mir fällt 
mein Fehler mir nicht auf.



Ansonsten ist der rechenweg nun verständlich und klar, vielen vielen 
vielen vielen vielen vielen vielen vielen Dank !

von Yalu X. (yalu) (Moderator)


Lesenswert?

Patrick schrieb:
> Passt alles super, nur leider habe ich ein Vorzeichenfehler drin

Nein, da ist kein Fehler. Multipliziere mal Zähler und Nenner jeweils
mit -1.

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Yalu X. schrieb:
> Patrick schrieb:
>> Passt alles super, nur leider habe ich ein Vorzeichenfehler drin
>
> Nein, da ist kein Fehler. Multipliziere mal Zähler und Nenner jeweils
> mit -1.

Oh man, vor lauter Konzentration sieht man die kleinigkeiten nicht mehr.

Lieber Yalu, vielen vielen Dank, du hast mir echt super geholfen !!!!!!!

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Lieber Yalu, mit welchem Programm hast du denn die Pseudoinverse 
berechnet ?

Wenn ich das mit Matlab macht, dann macht der mir einige Probleme bzw. 
berechnet was völlig anderes.

Für den Fall, dass du es auch mit Matlab gemacht hast, und dann die 
Frage kommen würde, wie ich das gemacht habe:

Matrix M eingeben und dann mit pinv(M) die Pseudo berechnen lassen.

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

ok passt, hab es hinbekommen !

von Patrick (Gast)


Angehängte Dateien:

Lesenswert?

@ Yalu,

kannst du mir mal sagen, ob ich richtig liege:

Ich möchte aus den gemessenen Signalen zi die tatsächlichen Höhen fi 
bestimmen. Dies geschieht mit dem Block Transformation zi_to_fi.

Und zwar nehme ich die hergeleiteten 4 x 4 Matrix, d.h. f=A*z, wobei A 
eine 4 x 4 Matrix ist und z der Spaltenvektor z1,z2,z3 und z4.

Im Grunde habe ich die hergeleiteten Gleichungen für f1,f2,f3 und f4 in 
Matrixform geschrieben.

Soweit so gut funktioniert das auch.

Nun will ich aber aus den f1,f2,f3 und f4 wieder z1,z2,z3 und z4 
bestimmen, d.h. ich will rücktransformieren.

Das Problem jedoch ist, dass die 4 x 4 Systemmatrix keine Inverse 
besitzt.

 Nun würde ich wie folgt vorgehen:

Ich bestimme zunächst unabhängig von allem, die Transformation zwischen 
f1,f2,f3 und f4 und z1,z2,z3.

Weiterhin weiß ich, dass z4=z1+z3-z2 ist, und dann stelle ich die 
Gleichungen auf und transformiere.

Also quasi den umgekehrten Weg, ist das korrekt oder ist das ein 
falscher Ansatz bzw. gehts vll. einfacher ?

von Yalu X. (yalu) (Moderator)


Lesenswert?

Patrick schrieb:
> Also quasi den umgekehrten Weg, ist das korrekt

Prinzipiell ja. Da aber f1, f2, f3 und f4 – wie oben schon geschrieben –
voneinander abhängig sind, wirst du feststellen, dass die
3×4-Transformationsmatrix mehrdeutig ist (was aber kein Problem ist).
Die 3×3-Tranformationsmatrix von f1, f2 und f3 nach z1, z2 und z3
hingegen ist eindeutig und kann um eine weitere Zeile zu einer
4×3-Matrix erweitert werden, mit der auch z4 berechnet wird.

> gehts vll. einfacher ?

Ja. die oben erwähnte 4×3-Matrix, die f1, f2 und f3 in z1, z2, z3 und z4
transformiert, findest du in meinem Beitrag vom 21.03.2015 14:22 und
heißt dort M :)

von Patrick (Gast)


Angehängte Dateien:

Lesenswert?

Yalu X. schrieb:
> Ja. die oben erwähnte 4×3-Matrix, die f1, f2 und f3 in z1, z2, z3 und z4
> transformiert, findest du in meinem Beitrag vom 21.03.2015 14:22 und
> heißt dort M :)

Ja aber was ist denn mit dem Beitrag f4 bei der Rücktransformation ?

Leistet der nichts dazu, da die Information redundant ist ?

ich modifiziere mal meine Zeichung.

Im Grunde habe ich mir folgendes Überlegt: ich gebe meine glob. 
Koordinaten vor und trans. in die lok. Ebene. Wie die Matrix ausschaut, 
das muss ich mir noch überlegen.

Ich regle ja die f4-Pos., d.h. es wäre doch auch gut/notwendig, wenn ich 
die geregelte Größe dann rücktrans. oder ?

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Patrick schrieb:
> Yalu X. schrieb:
>> Ja. die oben erwähnte 4×3-Matrix, die f1, f2 und f3 in z1, z2, z3 und z4
>> transformiert, findest du in meinem Beitrag vom 21.03.2015 14:22 und
>> heißt dort M :)
>
> Ja aber was ist denn mit dem Beitrag f4 bei der Rücktransformation ?
>
> Leistet der nichts dazu, da die Information redundant ist ?
>
> ich modifiziere mal meine Zeichung.

Das Bild hat einen Fehler: Zwischen den zwei Trans. Blöcken kommt 
natürlich die Strecke.

von Vadislav (Gast)


Lesenswert?

Patrick schrieb:
> Im Grunde habe ich mir folgendes Überlegt: ich gebe meine glob.
> Koordinaten vor und trans. in die lok. Ebene. Wie die Matrix ausschaut,
> das muss ich mir noch überlegen.

Du musst wissen, dass wenn dein Läufer sich in x oder y Richtung bewegt, 
es zu Problemen in der transformation kommen kann, da diese sowohl von 
der x- als auch y-Koordinate noch abhängt.

von Yalu X. (yalu) (Moderator)


Lesenswert?

Patrick schrieb:
> Ja aber was ist denn mit dem Beitrag f4 bei der Rücktransformation ?
>
> Leistet der nichts dazu, da die Information redundant ist ?

Ja. Da sich die f-Werte auf feste Punkte auf einer starren Platte
beziehen, kann man nicht einen einzelnen der vier Abstände ändern, ohne
auch mindestens einen der anderen zu ändern. D.h. f4 ist unumstößlich
durch f1, f2 und f3 bestimmt.

Bei den Sensormesswerten liegt die Sache etwas anders, da jeder der
Werte unabhängig von den drei anderen einen (veränderlichen) Messfehler
aufweisen kann. Deswegen kann man nicht von den Messwerten Z1, Z2 und Z3
exakt auf Z4 schließen. Man kann Z4 damit allenfalls schätzen bzw.
seinen Erwartungswert angeben.

von Patrick (Gast)


Angehängte Dateien:

Lesenswert?

Vadislav schrieb:
> Patrick schrieb:
>> Im Grunde habe ich mir folgendes Überlegt: ich gebe meine glob.
>> Koordinaten vor und trans. in die lok. Ebene. Wie die Matrix ausschaut,
>> das muss ich mir noch überlegen.
>
> Du musst wissen, dass wenn dein Läufer sich in x oder y Richtung bewegt,
> es zu Problemen in der transformation kommen kann, da diese sowohl von
> der x- als auch y-Koordinate noch abhängt.

Ich weiß, daher berücksichtige ich die x- und die y-Koordinaten.

@ Yalu, meine Transformation von glob_to_lok würde ich wie folgt machen:

Unter der Annahme, dass sich der Läufer nicht bewegt, habe ich folgende 
Transformation von den glob. Koordinaten zu den z1-z4:

In der Matrix wird mit Li der jeweilige Abstand vom Koordinatenursprung 
zum Sensor bezeichnet.

Wenn eine Bewegung stattfindet, so muss noch die globale x- und 
y-Koordinate berücksichtigt werden. Ist das richtig so, wie im Bild 
dargestellt?

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Yalu X. schrieb:
> Ja. Da sich die f-Werte auf feste Punkte auf einer starren Platte
> beziehen, kann man nicht einen einzelnen der vier Abstände ändern, ohne
> auch mindestens einen der anderen zu ändern. D.h. f4 ist unumstößlich
> durch f1, f2 und f3 bestimmt.
>
> Bei den Sensormesswerten liegt die Sache etwas anders, da jeder der
> Werte unabhängig von den drei anderen einen (veränderlichen) Messfehler
> aufweisen kann. Deswegen kann man nicht von den Messwerten Z1, Z2 und Z3
> exakt auf Z4 schließen. Man kann Z4 damit allenfalls schätzen bzw.
> seinen Erwartungswert angeben.

Hmm, das macht mir die Sache dann bzgl. der Regelung etwas schwerer, da 
ich ja f1,f2,f3 und f4 regeln möchte bzw. auf einer konstanten Höhe 
halten möchte.

Wenn die Matrix inv. wäre, dann könnte ich zunächst f1,f2,f3 und f4 
regeln und anschließend rücktrans.

Jetzt muss ich mir es überlegen, wie ich das mache.

Wird ein Problem gelöst, entsteht das nächste =). Ich liebe die Technik 
=)!

von Vadislav (Gast)


Lesenswert?

Gerald M. schrieb:
> Zum regeln kannst du dir aussuchen was du machst, entweder zu regelst
> nach dem gemitteltem Wert, was vielleicht nicht so einfach ist da du
> einen Aktor zuviel hast, oder du superpositionierst die Regelung der 4
> Messungen. Also du deckst zu jedem Sensor auch noch einen Aktor ab, und
> berechnest die Regelung mit den 3 übrigen Aktoren. Das ganze ebenfalls 4
> mal, die Regelwerte mittelst du dann ebenfalls.

Das ist aber ganz schön schwer, vll. solltest du dir Gedanken machen, 
wie du regeln möchtest!

von Patrick (Gast)


Lesenswert?

Yalu X. schrieb:
> Bei den Sensormesswerten liegt die Sache etwas anders, da jeder der
> Werte unabhängig von den drei anderen einen (veränderlichen) Messfehler
> aufweisen kann. Deswegen kann man nicht von den Messwerten Z1, Z2 und Z3
> exakt auf Z4 schließen. Man kann Z4 damit allenfalls schätzen bzw.
> seinen Erwartungswert angeben.

Lieber Yalu, leider finde ich keinen konrketen Anhaltspunkt, wie ich 
nach der Regelung der einzelnen Koordinaten fi die Rücktransformation 
von fi nach zi modellieren kann. Ich bau das Modell grad in Simulink 
auf, doch wie sieht diese verdammte Rücktransformation aus? Was gibt es 
denn noch für ne Möglichkeit.

Bitte melde dich an um einen Beitrag zu schreiben. Anmeldung ist kostenlos und dauert nur eine Minute.
Bestehender Account
Schon ein Account bei Google/GoogleMail? Keine Anmeldung erforderlich!
Mit Google-Account einloggen
Noch kein Account? Hier anmelden.