Allpass - Übertragungsfunktion

[Björn (Gast)]

Hallo,

habe diese Schaltung und will die Übertragungsfunktion Ua/Ue berechnen.
Habe zur Vereinfachung R*C = L/R gegeben.

Mit der Maschenregel von (U1-U2)/U0, der Vereinfachung und nach komplex 
konjugierter Erweiterung komme ich dann auf folgendes Ergebnis:

(w^2L^2 - R^2 + jw2RL) / (w^2L^2 + R^2)

Allerdings muss doch dann, für w = 0 als Übertragungsfunktion 1 
herauskommen oder? In meinem Fall aber -1

Wäre für jede Antwort dankbar

Björn

[Helmut S. (helmuts)]

Ua = Ue*R2/(R2+1/(jw*C)) -Ue*R1/(R1+jw*L)

Ua/Ue = jw*R2*C/(1+jwR2*C) - 1/(1+jw*L/R1)

T2=R2*C
T1=L/R1

Ua/Ue = jw*T2/(1+jw*T2) - 1/(1+jw*T1)

Ua/Ue = (jw*T2*(1+jw*T1) -1 -jw*T2))/((1+jw*T1)*(1+jw*T2))

Ua/Ue = (jw*T2 +jw*jw*T1*T2 -1 -jw*T2))/((1+jw*T1)*(1+jw*T2))

Ua/Ue = (jw*jw*T1*T2 -1))/((1+jw*T1)*(1+jw*T2))

Ua/Ue = -(1+w^2*T1*T2)/((1+jw*T1)*(1+jw*T2))

w=0

Ua/Ue = -1
phi = 180° oder -180°
Das kann man frei wählen, da sich Sinusfunktionen alle 360° wiederholen.
Ich würde +180° bevorzugen da dann die Phase über die Frequenz von 180° 
gegen 0° geht.



Falls T1=T2

Ua/Ue = -(1+w^2*T^2)/(1+jw*T)^2

|Ua/Ue| = 1

phi = 180°-2*arctan(w*T)

[Helmut S. (helmuts)]

Im Anhang die Simulation mit LTspice, dem kostenlosen SPICE-Programm.

http://ltspice.linear-tech.com/software/LTspiceIV.exe

crlr.asc ist der Schaltplan für LTspice.

crlr.plt enthält die Plot-settings für die hier gezeigte Simulation.


Korrektur:

In der Formel im angehängten Bild muß bei |Ua/Ue| das Minusvorzeichen 
weg.


Ua/Ue = -(1+w^2*T1*T2)/((1+jw*T1)*(1+jw*T2))
|Ua/Ue| = (1+w^2*T^2)/( sqrt(1+(w*T1)^2)*sqrt(1+(w*T2)^2) )
phi = 180°-arctan(w1*T)  -arctan(w2*T)

Falls T1=T2=T
Ua/Ue = -(1+w^2*T^2)/(1+jw*T)^2
|Ua/Ue| = 1
phi = 180°-2*arctan(w*T)

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Björn schrieb:
> Allerdings muss doch dann, für w = 0 als Übertragungsfunktion 1
> herauskommen oder? In meinem Fall aber -1

Der Betrag der Übertragungsfunktion muss 1 sein, damit sich das Ding
Allpass nennen darf, mehr nicht. Da |-1| = 1, ist alles in Ordnung.

[Uwe B. (uwe_beis)]

Ich fürchte beinahe, die Diskussion nicht zu verstehen, denn es scheint 
mir doch so einfach:

Durch bloßes Ansehen der Schaltung sieht man doch, dass bei DC UA = -UE 
ist. Wo ist da ein Problem? Dein Ergebnis ist doch völlig richtig!

[Helmut S. (helmuts)]

Uwe B. schrieb:
> Ich fürchte beinahe, die Diskussion nicht zu verstehen, denn es scheint
> mir doch so einfach:
>
> Durch bloßes Ansehen der Schaltung sieht man doch, dass bei DC UA = -UE
> ist. Wo ist da ein Problem? Dein Ergebnis ist doch völlig richtig!

Bei Björn kommt zwar bei w=0 der Wert -1 heraus, aber seine Formel ist 
trotzdem falsch.

[Björn (Gast)]

Klasse, danke!

Und was passiert in dem Fall, wenn R*C >> L/R bzw. R*C << L/R ?

[Helmut S. (helmuts)]

Einfach mit C=0.1n, 10n, 1u in LTspice mit dem .step-Befehl simulieren.

Falls die Zeitkonstanten unterschiedlich sind, dann gibt es einen 
Einbruch im Amplitudengang und die Phasenverschiebung ist "aufgetrennt" 
für RC und L/R.

Amplituden: dicke Linien
Phase: dünne gestrichelte Linien

[Björn (Gast)]

Okay, vielen Dank Helmut. Ich bin noch nicht so bewandert in diesem 
Thema.

Zu der ursprünglichen Funktion wäre eine Phase von 0° bis -180° aber 
genauso richtig?

Den Aufbruch des Amplitudengangs bei unterschiedlichen Zeitkonstanten 
kann man sich an der Funktion des Tiefpasses und Hochpasses erklären 
oder?
Habe versucht die und andere Schaltungen mit LTSpice zu simulieren, 
allerdings weiß ich nicht, wie ich es einstelle, dass mir die 
Ausgangsspannung angezeigt wird.

[Helmut S. (helmuts)]

> Zu der ursprünglichen Funktion wäre eine Phase von 0° bis -180° aber
genauso richtig?

Nein.

Wenn schon nicht +180°, dann -180°, also von -180° bis -360°.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Guten Abend
An eine Brückenschaltung erinnert, wollte ich dies zwecks Verifikation 
nachvollziehen, wobei ich die beiden Bezeichner (R1, R2) durch die Namen 
(Rl, Rc) ersetzt habe.
Die (komplexe Spannungs -) Übertragungsfunktion lautet (im Enklang mit 
zuvor geposteten) z. B. wie folgt.

$$\frac{{\underline U}_a}{{\underline U}_e} \ = \frac{\mathrm{j}\cdot\omega \cdot L}{R_l +\mathrm{j}\cdot \omega \cdot L} \ - \frac{\frac{1}{\mathrm{j}\cdot \omega \cdot C}}{R_c + \frac{1}{\mathrm{j}\cdot \omega \cdot C}}$$

Mit der Absicht, den Betrag dieser Übertragungs -Funktion konstant (1) 
zu halten, kann das Betragsquadrat dargestellt werden(, welches dann 
auch 1 sein sollte).

$$|\frac{{\underline U}_a}{{\underline U}_e} |^2 \ = \ \frac{{\underline U}_a}{{\underline U}_e} \ \cdot \ \overline{ \ \frac{{\underline U}_a}{{\underline U}_e} \ } \ = \ \frac{L^2\cdot C^2\cdot R_c^2\cdot \omega ^4 \ + 2 \cdot L \cdot C \cdot R_l \cdot R_c \cdot \omega^2 \ +R_l^2}{L^2 \cdot C^2\cdot R_c^2\cdot \omega ^4 \ + (L^2 \ + R_l^2 \cdot R_c^2 \cdot C^2) \cdot \omega^2 \ +R_l^2}$$

Hier müssen Nenner und Zähler gleich sein.

Der Koeffizientenvergleich liefert beim 2. Grad die folgende Gleichung.

$$2 \cdot L \cdot C \cdot R_l \cdot R_c \ = \ L^2 \ +R_l^2 \cdot R_c^2 \cdot C^2$$

Umformung ergibt was folgt.

$$R_l \cdot R_c \ = \frac{L}{C}$$

[Peter (Gast)]

Helmut eine Frage:

Wie kommt man auf die 180°?
Ich habe als Phase nur -2arctan(wL/R) raus

[Helmut S. (helmuts)]

> Wie kommt man auf die 180°?

Ua/Ue = -(1+w^2*T^2)/(1+jw*T)^2

Wir haben ein Minusvorzeichen, also *-1

Das sind entweder +180° oder -180° Phasenverschiebung.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Um den Phasenwinkel einer komplexen Zahl zu berechnen, ist es ratsam,
statt dem gewöhnlichen Arcustangens die atan2-Funktion zu verwenden, da
diese alle vier Qudranten und nicht nur den 1. und 4. abdeckt.

Phasenwinkel = atan2(Imaginärteil, Realteil)

Da für ω=0 der Realteil negativ und der Imaginärteil gleich 0 ist,
liefert die Funktion tatsächlich 180° als Ergebnis.