Grenzfrequenz moving average

[Stefan W. (slev1n)]

Hey Leute,

hab im Internet eine Formel gefunden, die die 3dB Grenzfrequenz in 
Abhängigkeit der Länge des moving averages beschreibt. Mein Problem, ich 
finde nirgends eine vertrauenswürdige Quelle.
Vll hat jemand von euch zufällig eine?

Fc=0,44294/(sqrt(N^2-1)), habe selbst ein wenig simuliert und bin 
empirisch auch auf diese Lösung gekommen. Hätte trotzdem gern eine 
Quelle...

Viele Grüße

Stefan

[C Programmierer (Gast)]

Das scheint falsch zu sein. Für z.B. N=2 komme ich auf fc/fs=1/8=0.125, 
für N=3 auf fc/fs=acos((sqrt(3)/2-1)/2)/(2*pi)=0.260669....

[C Programmierer (Gast)]

Doch nicht. Für N=3 -> fc/fs=acos((3/sqrt(2)-1)/2)/(2*pi)=0.15527....

[Stefan W. (slev1n)]

Also ich glaube schon, dass das Ganze seine Richtigkeit hat. Hab selber 
mal mit N rumgespielt und mir dann im Graphen die -3dB Grenzfrequenz 
angeschaut.

Was du natürlich richtig hinzugefügt hast, ist das fc/Fs. Wie genau 
kommst du auf deine Formel mit dem arccos?

Gruß

Stefan

[C Programmierer (Gast)]

Aber für N=2 und N=3 scheint sie ja nicht zu stimmen...

Berechnet habe ich es mit der Fourier-Transformation. Hier eine analoge 
Rechnung für ein anderes FIR-Filter:

Beitrag "Re: FIR Filter: Gain Normierung"

[Alex (Gast)]

Um diese Formel aufzustellen muss man

$$\left| H(f) \right| = \left| \frac{\sin(\pi \cdot f_c \cdot N)}{M \cdot \sin(\pi \cdot f_c)} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

nach

$$f_c$$

 umstellen.

Das ist analytisch nicht möglich. Daher ist eine Näherung erforderlich. 
Die Näherung von oben gilt für N>=4 mit einer Genauigkeit von besser als 
0,5%

[Alex (Gast)]

ups, M = N

[Stefan W. (slev1n)]

Hey Alex,

danke!

irgendwo hatte ich auch mal gesehen, dass so eine Näherung erst ab 4 
einigermaßen vernünftig ist. Kann mir jemand sagen, wo ich die 
Herleitung der Näherung finde oder wie man das am schlausten macht? 
Maple hat mir da auch nicht weitergeholfen...

Gruß

Stefan

[derguteweka (Gast)]

Moin,

Keine Ahnung, ob's wirklich funktioniert, aber ich wuerd' den sinus 
durch eine Potenzreihe annaehren und nach dem ersten oder 2. Glied 
abbrechen; also:

sin(x)=x

oder - wenns "genauer" sein muss:

sin(x)=x-(1/6)*(x^3)

Gruss
WK

[Stefan W. (slev1n)]

Hier der vollständigkeit halber der Link:
http://dsp.stackexchange.com/questions/9966/what-is-the-cut-off-frequency-of-a-moving-average-filter

Wie gesagt, eine Herleitung oder Quelle wäre nützlich.

[Stefan W. (slev1n)]

Also die Idee mit der Taylorreihe ist gut. Hab das mal per Hand gemacht 
bis ich zu folgender Stelle komme:

$$(1/2)*sqrt(2) = (N^4*Pi^4*fc^4-20*N^2*Pi^2*fc^2+120)/(Pi^4*fc^4-20*Pi^2*fc^2+120)$$

Sieht mir zwar nach quadratischen Gleichungen aus, aber hab das ganze 
mal mit Maple versucht nach fc aufzulösen und habe folgenden "mega"-Term 
erhalten:

$$fc = sqrt(2)*sqrt((2*N^4-sqrt(2))*(10*N^2-5*sqrt(2)-sqrt(60*N^4*sqrt(2)-20*N^4-100*N^2*sqrt(2)-10+60*sqrt(2))))/((2*N^4-sqrt(2))*Pi)$$

Hab das dann mal für N=10 ausprobiert und es kam das richtige Ergebnis 
raus.
Aber den Term setz ich nicht in meine Abschlussarbeit...hat jemand ne 
Idee, wie man das weiter vereinfachen könnte? Maple kann es nicht :)