Hallo, ich wollte mal wissen wie viele Freiheitsgrade es in einem n-Dimensionalem Raum gibt. 0D: 0 1D: 1, Translation 2D: 3, 2*Translation + 1*Rotation 3D: 6, 3*Translation + 3*Rotation 4D: ??? Ich habe mir Folgendes überlegt: Wenn man die Basis B eines Vektorraums mit n Dimensionen nimmt, so ist das Matrixprodukt M = Transponiert(B) * B die Einheitsmatrix, falls B eine Orthonormalbasis ist. Mit diesem Produkt werden n*n Gleichungen beschrieben, wobei es insgesamt nur 0.5*n(1+n) unterschiedliche sind (Kommutivität von Vektorprodukten). Im Allgemeinen sind auf der Diagonalen von M soetwas wie Streckungsfaktoren (Quadrate, bzw. Betrag der Basisvektoren bis auf Wurzel). Damit wären schonmal n Gleichungen weg. Falls M abseits der Diagonalen nicht Null ist, so sind die Basisvektoren nicht orthogonal, d.h. verdreht. Demnach müssten die restlichen Gleichungen für die Anzahl der möglichen Rotationen stehen. Zusammenfassend: Anzahl der Freiheitsgrade k in Abhängigkeit der Raumdimensionen n gilt: k = 0.5*n(1+n), wobei k_translation = n und k_rotation = 0.5*n(n-1). Für die Dimensionen 0-3 würde das stimmen. Demnach hätte der 4-Dimensionale Raum 10 Freiheitsgrade, der 5-Dimensionale 15 usw.. Leider habe ich mit google nichts gefunden. Kann jemand meinen Gedankengang so bestätigen, oder liege ich falsch?
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Das wären aus meiner Sicht 4x Translation und 6x Rotation. Die Rotation würde dann "n über k" folgen was für den 5-dimensionalen Raum aber schon 20 Optionen (bzw 10) ergäbe. Wo sehen wir die? Warum sind es nicht nur 4 Rotationen?
Jürgen S. schrieb: > Das wären aus meiner Sicht 4x Translation und 6x Rotation. In 4D meinst du oder? > würde dann "n über k" folgen Mit welcher Begründung? > Warum sind es nicht nur 4 Rotationen? Ich denke, man verändert bei einer Rotation 2 Richtungen "rotativ" und die Restlichen ändern sich nicht. Diese werden sozusagen festgehalten. Bei 3 Dimensionen hält man eine Achse fest, und lässt die anderen rotieren. Bei 4 Dimensionen hält man jeweils 2 Achsen fest. Damit ergeben sich 6 unterschiedliche Möglichkeiten. Die Rotationsmatritzen für 5D könnten dann bspw. so aussehen: 1 0 0 0 0 0 c 0 0 s 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0-s 0 0 c 1 0 0 0 0 0 c 0 s 0 0 0 1 0 0 0-s 0 c 0 0 0 0 0 0 Man hätte danach immer das obere Dreieck der Matrix, das die Anzahl der Möglichkeiten angibt. Dazu würde k = 0.5*n(1+n), wobei k_translation = n und k_rotation = 0.5*n(n-1) auch passen.
M. M. schrieb: > Man hätte danach immer das obere Dreieck der Matrix, das die Anzahl der > Möglichkeiten angibt. Dazu würde k = 0.5*n(1+n), wobei k_translation = n > und k_rotation = 0.5*n(n-1) auch passen. Genaugenommen ist es das Dreieck ohne die Diagonalelemente, und damit deine Formel k=n*(n-1)/2. Diese Elemente bestimmen alle Achsenpaare ohne doppelte Paare oder identische Achsen. Jürgen S. schrieb: > Warum sind es nicht nur 4 Rotationen? Weil eine Rotation im R4 und höher nicht durch eine (Rotations-)Achse, sondern durch 2 Vektoren bestimmt ist (im R2 btw. R3 ebenfalls).
M. M. schrieb: > ich wollte mal wissen wie viele Freiheitsgrade es in einem > n-Dimensionalem Raum gibt. Es gibt n Freiheitsgrade. > [...] > Ich habe mir Folgendes überlegt: Wenn man die Basis B eines Vektorraums > mit n Dimensionen nimmt, In einem n-dimensionalen Vektorraum gibt es folglich auch n Freiheitsgrade über dem Raum, über dem er definiertist: In einem 2-dimensionalen Vektorraum über C hat es 2 Freiheitsgrade über C, d.h. es genügen 2 Skalare (aus C) um jeden Punkt des Raumes eineindeutig anzugeben. Da C seinerseits ein 2-dimensionaler Vektorraum über C ist, ist so ein Vektorraum 4-dimensional über R. Übrigens gibt es nur einen 2-dimensinalen Vektorraum über R, nämlich den R². Alle anderen 2-dimensionalen R-Vektorräume sind zum R² isomorph. Wenn ich dich richtig verstehe, dann ist eine Frage nicht nach der Anzahl der Freiheitsgrade in einem n-dimensionalen Vektorraum sondern nach der Striktur der Isomorphieklassen?
Sigi schrieb: > Weil eine Rotation im R4 und höher nicht durch eine > (Rotations-)Achse, sondern durch 2 Vektoren bestimmt > ist Dann ergäben sich aber IMHO die Kombination aller möglichen Rotationsachsen und dann landen wir bei n über k. Oder nicht? Ich denke, man muss hier noch in Rechnung stellen, dass es dann auch passieren kann, dass mehrere Rotationen um mehr als eine orthogonale Achse zu demselben Ergebnis führen können. Das ist dann zwar ein formeller - nicht aber ein echter Freiheitsgrad. Im einen Fall sehe ich n über k im anderen n.
Jürgen S. schrieb: > Ich denke, man muss hier noch in Rechnung stellen, dass es dann auch > passieren kann, dass mehrere Rotationen um mehr als eine orthogonale > Achse zu demselben Ergebnis führen können. Das ist dann zwar ein > formeller - nicht aber ein echter Freiheitsgrad. Sei R(i,j) die "Elementar"-Rotationsmatrix mit den Achsen i,j (sin/cos-Form), dann käme Deine "Identität" nur zustande, wenn R(i1,j1)*...*R(ik,jk) = R(p(i1,j1))*...*R(p(ik,jk)) (p : Permutation der Paare (i,j)) und das für beliebige Winkel w1..wk (folgt aus der Form der Elementarmatrizen und der Matrixmultiplikation). Die Gleichheit wird für spezielle Winkel erfüllbar sein, ich glaube aber nicht (sehr sicher), dass dies für beliebige Winkel und einer festen Permutation p gilt (im R3 gilt es ganz sicher nicht). Und zur Rotationsachse: Ab R4 wird nicht um eine Achse gedreht, sondern um einen (n-2)-dim. Hyperraum. Schon von daher trifft deine Annahme "n über k" nicht zu. (n über k: Anzahl sortierter k-Tupel mit Werten 1..n oder Anzahl k-Ziehungen der Werte 1..n ohne Zurücklegen oder ...). Aus R(i,j) = -R(j,i) folgt übrigends die Formel n*(n-1)/2 (Richtung ist ja egal und R(i,i) ist keine Rotation).
Johann L. schrieb: > Es gibt n Freiheitsgrade. Das stimmt für Punkte - die kann man nicht rotieren, weil sie 0 Dimensionen haben und die Rotation sich auf ein Objektkoordinatensystem bezieht - das ein Punkt nicht haben kann. Interessant sind die Wiki-Einträge für Freiheitsgrad und Dimension: https://de.wikipedia.org/wiki/Freiheitsgrad https://de.wikipedia.org/wiki/Dimension_%28Mathematik%29
In diesem Falle hats n Freiheitsgrade der Translation und n(n-1)/2 Freiheitsgrade der Rotation, insgesamt also n(n+1)/2 Freiheitsgrade. n(n-1)/2 ist die Dimension der Speziellen Orthogonalen Gruppe SO(n,R): https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_group#Over_the_real_number_field
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