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Forum: Offtopic Potenzreihe


Autor: Rainer Feil (Gast)
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Guten Morgen an Alle,

und zwar ich bin gerade dabei eine Potenzreihe Aufgabe zu lösen.

Das habe ich als Reihe herausbekommen:


P(t)= (x^2/3) - 1/2(x^2/3)^3 + 1/3(x^2/3)^4 ... usw

Substitution = t= x^2/3

P(t)= t - 1/2t^2 + 1/3t^3 - 1/4t^4 ... usw.

P(t)'= 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 ... usw = 1/(1+t) --> ist diese
Ausdruck richtig?

P(t)= Integral(1/(1+t)) dt= ln(1+t)

--> ln(1+(x^2/3))

stimmt das so wie ich es gemacht habe?

Autor: Henrik (Gast)
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Es spricht nichts gegen dein P'(t) an sich (wenn diese Reihe wirklich
durch 1/(1+t) beschrieben wird!).
Du kannst aber nicht hingehen, nach t integrieren und eine
Rücksubstitution nach x machen!
Wenn du durch diese Transformation nach x integrieren willst, musst du
dein dt anders bilden.

Gruss Henrik

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Ich habe da einen härteren Fall, und zawr bin ich gerade dabei den
Konvergenzbereich zu ermitteln. Die Aufgabe befindet sich im Anhang.
Ich musste leider mit Paint die Funktion hinmalen, da ich keinen
passenden Matheeditor habe.

Als erstes habe ich das Quotientenkriterium gebildet (lim ...)
Da bekomme ich folgendes heraus: |x|*(1/2)

--> umgestellt: |x| < 2

Dann bin ich hergegangen und habe den Rand ermittelt indem ich für P(x)
als erstes 2 und dann -2 eingesetzt habe.

P(2) =2+1+(2/3)+(1/2)+(2/5)+(1/3)+(2/7)+ ...

P(-2)=2-1+(2/3)-(1/2)+(2/5)-(1/3)+(2/7)- ...

so jetzt weiss da überhaupt nicht mehr weiter. Stimmt das eigentlich
was ich da bisher gemacht habe? Wie bzw. wodurch kann ich jetzt
feststellen hab diese beiden Reihen konvergieren bzw divergieren?

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Ich glaube das mit Paint ist doch nicht so gut wie ich dachte.

Aufgabe zum Thema Potenzreihe:
           1
P(x) = ------------ * x^k
      (k+1)*2^(k-1)

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Für jegliche Anregungen bin ich sehr dankbar.

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Also ich habe die nochmals mit Hilfe eines voyage200 überprüft.

P(2) =2+1+(2/3)+(1/2)+(2/5)+(1/3)+(2/7)+ ...

P(-2)=2-1+(2/3)-(1/2)+(2/5)-(1/3)+(2/7)- ...

das müsste so stimmen.
Ich weiss halt jetzt nicht wie ich da feststellen kann ob die Reihe nun
konvergiert oder divergiert. Wie muss man da vorgehen?

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Schade! Jetzt habe ich gedacht, dass heute Morgen jemand auf meinen
Beitrag antwortet. Ich komme wirklich nicht mit dieser Aufgabe weiter.

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Folgende Reihe habe ich jetzt mal um geformt
P(2) =2+1+(2/3)+(1/2)+(2/5)+(1/3)+(2/7)+ ...

umgeformt:
P(2) =2 * (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...)

Das heist diese Reihe müsste doch divergieren oder?

(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...) dies ist doch eine harmonische Reihe
oder?

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Fehlerabschätzung:
von k=6 bis unendlich.

P(1) =  1/(6*2^4) + 1/(7*2^5) + 1/(8*2^6) + ...

wie kann damit eine Fehlerabschätzung machen?

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Ich rede gerne mit mir selbst. Will sich denn keiner mit mir
unterhalten?

Ich muss meine Hausaufgaben unbedingt fertig bekommen. Bitte helft mir
schnell, sonst bekomme ich eine schlechte Note!

Autor: xxx (Gast)
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Hahaha...

Autor: Hubert (Gast)
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Wir haben 06, da braucht man keine Potenz und schon gar keine Reihen.

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Was meinst du damit?

Ich wäre schon sehr froh wenn mir jemand einen weiteren Hinweis geben
würde.

Autor: Henrik (Gast)
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Zu 02.01.2006 10:09: Wenn die Umformung stimmt (habe ich nicht
nachgerechnet), dann ist das die harm. Reihe und die divergiert.
Korrekt!

Zu 02.01.2006 11:07: Hier ist sicher gemeint, dass du die Reihe nur bis
k=6 bilden sollst und den Rest einfach weglässt. Der Fehler ist dann die
Differenz zwischen der unendlichen Reihe und der Reihe bis k=6 und das
wiederum ist die Reihe von k=7 bis k=unendlich. Diese (Rest-)Reihe
sollst du dann wohl nach oben abschätzen.
Ein folgende ABSCHÄTZUNG nach oben ist denkbar:
Wir denken uns die Reihe als:
1/6* 1/(2^4) + 1/6* 1/(2^5) + 1/6* 1/(2^6)+ ...
Wie du siehst habe ich immer 1/6 verwendet, denn das ist größer als
alles, was danach kommt (wie 1/7, 1/8,...).
Nun kann man 1/6 aus der Summe ausklammern.
Es steht dort dann

1/6* sum(1/(2^n), n=4..infinity). Das ist gleich 1/6* sum( (1/2)^n,
n=4..infinity). Wenn wir 1/2 nun als q bezeichnen haben wir die
geometrische Reihe, DER ABER DER TEIL VON 0 BIS 3 FEHLT.

Also muss (unter der oben gemachten Abschätzung!) der Genzwert lauten:

1/6* ( 1/(1-1/2) - (1-(1/2)^4)/(1-1/2) ) = 1/6 * 1/8

Wie du damit jetzt den Fehler ausdrückst, musst du selbst sehen.

1/6 = Vorfaktor von oben

1/(1-1/2) Grenzwert der geo. Reihe von 0 bis unendlich.
(Standartformel)

(1-(1/2)^4)/(1-1/2) Wert der geo. Reihe von 0 bis 3. (Ebenfalls eine
Standartformel)

Das Ganze ist eine Abschätzung, die relativ grob (aber einfach) ist!
Man kann auch andere Abschätzungen machen, die u.U. zu einem genaueren
Ergebniss führen können. Da ich hier kein Nachschlagewerk habe und sie
auch sonst nicht überpüfen kann, solltest du diese Rechnung mit
Vorsicht betrachten, sie könnte falsch sein.

Henrik

Autor: Henrik (Gast)
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Den ersten Fehler habe ich schon selbst gefunden: Habe mich von der 4 im
Exponenten der 2 irritieren lassen. Poste doch bitte mal die
Summenformel.

Henrik

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Hallo Henrik,

also so ganz kann ich dir nicht folgen.
Aber vielen Dank für deine Hilfe.Ich verstehe nicht, wie du auf diese
fehlerabschätzung kommst.

Hier stelle ich mal die komplette Aufgabe:
                                 unendl.
                                 ---
                                 \       1
Gegeben sei die Potenzreihe P(x)=   -------------- * x^k
                                 /  (k+1)+2^(k-1)
                                 ---
                                 k=0

a) Bestimmen Sie den Konvergenzbereich von P(x).
b) Berechnen Sie Näherungswerte für P(1) und P(-1), indem Sie 5
Reihenglieder verwenden, und führen Sie eine Fehlerabschätzung durch.
c) Bestimmen Sie einen Funktionsterm für P(x) und berechnen Sie damit
die exakten Werte für P(1) und P(-1).

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Sorry, so stimmt die Aufgabe. Ich habe nach (k+1) das
Multiplikations-Zeichen vergessen.

                                unendl.
                                 ---
                                 \       1
Gegeben sei die Potenzreihe P(x)=   -------------- * x^k
                                 /  (k+1)*2^(k-1)
                                 ---
                                 k=0

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Das mit der Fehlerabschätzung kappiere ich nicht.
Wieso kann man dan plötzlich die Reihe so schreiben:
1/6* 1/(2^4) + 1/6* 1/(2^5) + 1/6* 1/(2^6)+ ...

und dann der Grenzwert:
1/6* ( 1/(1-1/2) - (1-(1/2)^4)/(1-1/2) ) = 1/6 * 1/8

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Hallo Henrik,

also so ganz kann ich dir nicht folgen.
Aber vielen Dank für deine Hilfe.Ich verstehe nicht, wie du auf diese
fehlerabschätzung kommst.

Hier stelle ich mal die komplette Aufgabe:
                                 unendl.
                                 ---
                                 \       1
Gegeben sei die Potenzreihe P(x)=   -------------- * x^k
                                 /  (k+1)*2^(k-1)
                                 ---
                                 k=0

a) Bestimmen Sie den Konvergenzbereich von P(x).
b) Berechnen Sie Näherungswerte für P(1) und P(-1), indem Sie 5
Reihenglieder verwenden, und führen Sie eine Fehlerabschätzung durch.
c) Bestimmen Sie einen Funktionsterm für P(x) und berechnen Sie damit
die exakten Werte für P(1) und P(-1).

Autor: Henrik (Gast)
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a) konv. für |x|<2
b) Fehler ist durch die Differenz zwischen unendl. Reihe und der Reihe
bis 5 bestimmbar.

Für x=1 =>
Differenz der Reihen ist:

Pdiff(1)= (1^6)/(7*2^5)+ (1^7)/(8*2^6)+...= sum((1^k)/( (k+1) * 2^(k-1)
), k=6..unendlich) = sum(1/( (k+1) * 2^(k-1) ), k=6..unendlich)

a ist hier 1/( (k+1) * 2^(k-1) )

Nun die Abschätzung:
Ich behaupte, dass die Reihe sum(1/(7*2^(k-1) ), k=6..unendlich)
konvergiert.

b ist hier 1/( 7*2^(k-1) )

Da b IMMER größer ist als a (für k>6), kann der Grenzwert (hier: unsere
gesuchte Fehlerschranke)  der ersten Reihe nicht größer sein, als der
Grenzwert der zweiten Reihe. Somit ist der gesuchte Fehler immer
kleiner als der Grenzwert der 2. Reihe! Das ist die Abschätzung nach
OBEN.

Natürlich muss man die zweite, größere, Reihe so wählen, dass man weiß,
dass sie einen Grenzwert hat, und wie man diesen berechnet.

Um die 2. Reihe besser berechnen zu können, schreibe ich sie noch etwas
um: sum(1/(7*2^(k-1) ), k=6..unendlich) = 2* 1/7* sum(1/(2^k) ),
k=6..unendlich) =  2/7 * sum( (1/2)^k ), k=6..unendlich).
Mit Hilfe der geom. Formel kann man den Grenzwert bestimmen.
Hierbei muss man beachten, dass die Summe erst bei 6 beginnt!
=>
2/7* ( 1/(1-1/2) - (1-(1/2)^6)/(1-1/2) ) = 1/32 * 2/7 = 1/112
Das ist die Differenz der Summen! Wie du damit jetzt den Fehler
ausdrückst, musst du selbst sehen.

Da ich hier kein Nachschlagewerk habe, solltest du diese Rechnung mit
Vorsicht betrachten, sie könnte falsch sein.

Henrik

Autor: Rainer Feil (Gast)
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Servus Henrik danke für die Unterstützung.
Leider kann ich mit dem hier nix anfangen:

=>
2/7* ( 1/(1-1/2) - (1-(1/2)^6)/(1-1/2) ) = 1/32 * 2/7 = 1/112

Wie kommst du darauf?

Wie könnte man den Funktionsterm bilden?

Autor: Henrik (Gast)
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Die 2/7 ist unser Vorfaktor, woher der kommt weißt du?
1/(1-1/2) ist der Wert, den uns die geom. Reihe von NULL BIS UNENDLICH
mit q=1/2 liefert. Da unsere Reihe aber nicht bei Null, sondern erst
bei 6 beginnt, muss man die Werte von Null bis 5 abziehen. Und das ist
der Term (1-(1/2)^6)/(1-1/2).
Die beiden Formeln für die geom. Reihe bis unendlich, sowie bis zu
einer Zahl m (hier: m=5), findest du in jedem guten Mathematikbuch.

Henrik

Autor: Henrik (Gast)
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Den Funktionsterm kannst du (nur?) dadurch bilden, indem du die Reihe so
versuchst umzuformen, dass sie die Form einer bekannten Reihe (mit
bekanntem Funktionsterm) hat.
Im Moment habe ich auch keine Ahnung, was man da als Ansatz verwenden
könnte.

Henrik

Autor: D. Bauer (Gast)
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Beim bilden des Funktionstermes, da komme ich überhaupt nicht auf eine
bekannte Reihe. Hat wer eine idee?

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