Hilfe zu Aufgabe!

[Marko W. (Gast)]

Zu folgender Aufgabe benötige ich Unterstützung:

Gegeben sei die Funktion f.(x,y) --> z=f(x,y)=(x^2-4x)(y^2-1)

a)
Bestimmen Sie die stationären Punkte d.h. Punkte, in denen grad f=0
gilt.
Prüfen Sie, welche von ihnen Maximal- oder Minimalstellen sind und
geben
Sie gegebenfalls diese Extremwerte an.


b)

Bestimmen Sie die Richtungsableitung im Punkt (1|2)
                       |1|
in Richtung des Vectors| |.

                        |1|

zuerst habe ich mal die Gleichung ausmultipliziert:
f(t)= x^2y^2+4x-4xy^2-x^2

Dann habe ich die Bleitungen von fx und fy gebildet.

fx(x,y)= 2x(y^2) + 4 - 4y^2 - 2x

fy(x,y)= 2(x^2)y - 8xy

Um die stationären Punkte heraus zu bekommen muss ich nun x und y
ermitteln.
Da weiss ich nun nicht wie ich x und y von den beiden BAleitungen fx
und fy bilden kann.

Wie müsste man bei der Aufgabe b) vorgehen?

[Pete da Heat (Gast)]

Hallo!

a) Der Gradient muss 0 werden -> also fx und fy 0 setzen und dann
kannst Du x und y bestimmen.

b) Richtungsableitung = grad f(x=1,y=2) * v
   v ist Dein Vektor

Pete

[Klaus (Gast)]

So so, hammer in Mathe mal wieder nicht aufgepasst und brauchen
Hausi-Hilfe. Oder steckt da wohl eher 'n fauler Studi dahinter???

[Marko W. (Gast)]

Warum faul?!

Ja ich bin ein Studi. Ist das so schlimm wenn ich in einem Forum eine
Fragen zu Mathe stelle?

Hallo Pete...

Wie kann ich den x und y bestimmen?
Kann ich von der einen Gleichung erst x bestimmen und diesen Wert muss
ich dann in die andere Gleichung einsetzen und erhalte somit y?!
Da x und y im Quadrat sind, müsste doch zwei Punkte herauskommen oder?


b) Richtungsableitung = grad f(x=1,y=2) * v
   v ist Dein Vektor

Was meinst du damit? Muss ich x=1,y=2 in f einsetzen und was ist dann
v? Für was steht v?

[Marko W. (Gast)]

Hallo Pete...

Wie kann ich den x und y bestimmen?
Kann ich von der einen Gleichung erst x bestimmen und diesen Wert muss
ich dann in die andere Gleichung einsetzen und erhalte somit y?!
Da x und y im Quadrat sind, müsste doch zwei Punkte herauskommen oder?


b) Richtungsableitung = grad f(x=1,y=2) * v
   v ist Dein Vektor

Was meinst du damit? Muss ich x=1,y=2 in f einsetzen und was ist dann
v? Für was steht v?

[Pete da Heat (Gast)]

Hallo!

>>Kann ich von der einen Gleichung erst x bestimmen und diesen Wert
>>muss ich dann in die andere Gleichung einsetzen und erhalte somit >>
y?!
Ja, nimm zuerst die 2.Gleichung (fy) und löse diese nach x auf. Das x
dass Du dann bekommst, setzt Du in die 1.Gleichung (fx) ein und löst
nach y auf.

>>Da x und y im Quadrat sind, müsste doch zwei Punkte herauskommen
>>oder?
Ja, im Allgemeinen schon.

>>b) Richtungsableitung = grad f(x=1,y=2) * v
>>   v ist Dein Vektor

>>Was meinst du damit? Muss ich x=1,y=2 in f einsetzen und was ist
>>dann v? Für was steht v?
Nein, nicht in f einsetzen, sondern in grad(f).

v ist Dein gegebener Richtungsvektor:
>>Bestimmen Sie die Richtungsableitung im Punkt (1|2)
>>                       |1|
>>in Richtung des Vectors| |.
>>                       |1|


Alles klar?
Pete

[Marko W. (Gast)]

Danke Pete,

könntest du mir zur Aufgabe b) ein Beispiel machen.
grad meinst du die Werte müsste ich in die Ableitung fx und fy
einsetzen? Und wie verwende ich da das v?

[Marko W. (Gast)]

Hallo Pete,

also bei der Teilaufgabe b) klemmt es noch bei mir.
Ich weiss nicht wie man dies hier grad f(x=1,y=2) * v
umsetzen muss.

[Pete da Heat (Gast)]

Hey Marko,

>>grad meinst du die Werte müsste ich in die Ableitung fx und fy
>>einsetzen?
genau

>>Und wie verwende ich da das v?
einfach das v mit grad(f) (skalar) multiplizieren, d.h. als Ergebnis
kommt ein Skalar raus, kein Vektor.

Beispiel:
f(x,y) = x^2 +y^2, Richtungsableitung im Punkt(1,1) in Richtung des
Vektors (3,3):

          |2x |                    |2|
grad f  = |2y |, grad f(x=1,y=1) = |2|
                                              |3|
Richtungsableitung: grad f(1,1) * v = (2,2) * |3| = 6+6 =12

Pete

[Marko W. (Gast)]

hmmm...ich habe nun nochmals mein Skript für mathe2 durchgelesen.
Also mir leuchtet das mit der richtungsableitung noch nicht ein.

[Pete da Heat (Gast)]

Der Gradient gibt Dir die momentane Änderung der Funktionswerte in
Richtung der Koordinatenachsen an. Da man aber auch die Änderung der
Funktionswerte in beliebiger Richtung (gegeben durch einen
Vektor)bestimmen möchte, gibt es die Richtungsableitung.