Fragen zu Eigenfunktionen

[Mario (Gast)]

Hallo,

ich studiere Elektrotechnik und beschäftige mich seit einiger zeit mit
DSP. Aber bei ein paar Sachen habe ich noch Verständnisprobleme. Könnt
ich mir bei folgenden Fragen vielleicht weiterhelfen?

- Wieso sind gerade die komplexen Exponentialfunktionen Eigenfunktionen
von diskreten Signalen bei der Umwandlung in den Frequenzbereich? Hängt
das damit zusammen, dass man mit diesen (ist ja nichts anderes als
"cos + j*sin") alle andere Funktionen die aus Cosinus und Sinus
aufgebaut sind darstellen kann? Kann ich dann nur stetige Funktionen
darstellen bzw. in den Frequenzbereich wandeln mit der DFT?

- Sind alle in den Frequenzbereich transformierten diskreten Signale
komplex? Wie kann ich mir ein komplexes diskretes Signal vorstellen?
(Im Analogen ist das ja relativ leicht bei Spulen oder Konensatoren).

Danke, Mario

[MasterFX (Gast)]

Vielleicht hilft das ein wenig:
http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenfunktion

Das mit den komplexen Funktionen vorstellen ist so ne Sache. Die
komplexe Ebene ist eigentlich nur ein rein analytisches Intrument,
womit sich viele Sachen relativ einfach lösen lassen. Die
Expotentialfunktion spielt hierbei eine wichtige Rolle. Wenn man einmal
verstanden hat wie man mit dem "j" umzugehen hat wird man es selbst
merken. Du kannst ja gerne mal versuchen ein Integral oder so zu lösen
wo mehrere "komplexe" Funktionen multipliziert etc. werden. Dann
wirst du merken, dass das Arbeiten in der komplexen Ebene ein Segen
ist. Im hinterkopf sollte man immer behalten dass sich diese Signal
ebenso als Verbund von sin und cos-Funktionen darstellen und berechnen
lassen, nur eben oft viel umständlicher.

[Wolfgang (Gast)]

Hallo,

weiß nicht, ob ich die Frage genau treffe ...

Die Fouriertransformation sagt ja im endeffekt aus, daß ich periodische
Signale als eine Überlagerung (Aufsummierung) von Sinussignalen
darstellen kann. Wobei die niedrigste Frequenz der Periodendauer des
Signales entspricht. Die Fouriertransformation
gibt die Koeffizienten, mit denen die einzelnen Frequenzen eingehen.

Eine komplexe Funktion der Fom f(t)= z*exp(j*omega*t) kann man sich als
Zeiger in der komplexen Zahlenebene vorstellen, der die Länge z hat und
als Winkel j*omega*t besitzt. Da der Winkel den Wert t enthält ist es
ein Zeiger mit dem Betrag z, der mit dem Kreisfrequenz omega rotiert.
Wenn omega 1/s ist, dann ist nach 6,28s der Zeiger einmal
herumgekreist.

Wenn ein Signal einen Sprung enthält, dann benötige ich zur Darstellung
mit Sinusfunktionen sehr hochfrequente Anteile. Je mehr ich die
hochfrequente Anteile berücksichtige, desto mehr nähert sich die
Überlagerung einem Sprung.

Weiß nicht, ob ich jetzt etwas weiterhelfen konnte

Gruß

Wolfgang
--
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[Jürgen Schuhmacher (Gast)]

Wolfgang, ich fürchte daß seine sehr spezielle Frage hierdurch nicht
erklärt wurde :-) wobei sich im Graunde eigentlich gar nicht erklären
lässt, WARUM ein mathematischer Zusammenhang gegegeben ist, und ein
Lösungsansatz eine definierte Aufgabe löst (-> hier Eigenwertproblem).
Es lässt sich eigentlich immer nur beweisen, DASS ein Lösungsansatz
dies tut.

Konkret kommt es bei den Eigenfunktionen ja auf die
Richtungsneutralität an. Daher müsste der Zusammenhang zwischen der
komplexen Exponentialfunktion und der normalisierten Darstellung (cos +
j sin) nachgewiesen werden, die die Laplacetransformation lösen. Beides
nehmen wir aber als bekannt an, wobei ich mich errinnern kann, mal die
Herleitung des Zusammenhangs zwsichen e-Funktionen und sin vorexerziert
bekommen zu haben. Das war aber 1992 im Studium - daher muss ich hier
auf Bronstein verweisen, oder das eigene Buch des "Vorexerzieres",
das sich "Vektoranalysis und Funktionentheorie" nennt. Woran ich mich
noch errinnere, ist die komplexe Darstellung des Sinus über
e-Funktionen. Damit sollte man die Kongruenz einfach darstellen können.