Mathe Gleichungen - Wer kann helfen?

[Diddel Maus (Gast)]

Hallo!
Ich habe ein Matheproblem.
Mathe ist bei mir nun ziemlich lange her - deshalb versuch ich es mal 
hier - nachdem ich auch meine Mathebücher gewälzt habe - habe aber 
nichts schlaues gefunden...
Also - es geht um folgendes.
Gegeben sind folgende 4 Gleichungen:

V,X,Y,Z sind bekannt - a1..a4 werden gesucht...

    a3(a1+a2+a4)
V = ------------
    a1+a2+a3+a4

    a4(a1+a2+a3)
X = ------------
    a1+a2+a3+a4

    a2(a1+a3+a4)
Y = ------------
    a1+a2+a3+a4

    a1(a2+a3+a4)
Z = ------------
    a1+a2+a3+a4


Wenns linear wär - ok, dann kriegt man das ja leicht hin...
Aber so?

Vielen Dank...

Übrigens alle Gleichungen nach z.B. a3 auflösen und einsetzen gibt echt 
Hammer Terme - gibt es da was schickeres - was man auch lösen kann...?

[inoffizieller WM-Rahul (Gast)]

Den Nenner kannst du dir sparen - der ist bei allen gleich.
Dann hast du vier Gleichungssysteme mit vier Unbekannten...

[inoffizieller WM-Rahul (Gast)]

>Den Nenner kannst du dir sparen
Naja, er ist konstant...

[Christoph Kessler (db1uq) (Gast)]

Substituieren sagt man vornehm dazu, V durch v=V*(a1+a2+a3+a4) 
substituieren usw.

[Jan (Gast)]

vier Gleichungen mit vier unbekannten:
die erste GLeichung löst du nach a1 auf die 2 nach a2 und so weiter und 
dann setzt du das in eine der GLeichungen ein und so kommst du dann auf 
den ersten wert dann die nächste Glecihung lösen usw

[Tobias (Gast)]

Oder du besorgst die ein Programm, das Gleichungen algebraisch lösen 
kann, wie z. B. Maple.

[Christoph Kessler (db1uq) (Gast)]

und dann drückt man einfach auf die "SOLVE"-Taste und schon steht alles 
da. Das Denken kann man dann getrost den Pferden überlassen.

[Tobias (Gast)]

Es kommt halt darauf an ob man das Ergebnis braucht oder wirklich was 
lernen möchte.

Sicher gibt das große Terme aber dann setzt man sich halt mal hin und 
formt um.

[_Marvin_ (Gast)]

Also wie schon erwähnt, kannst du substituieren (ich hoffe ich habe es 
jetzt nicht falsch geschrieben)

Aber wenn du aus Schulzeiten noch einen der tollen Taschenrechner 
besitzt, gibs doch einfach mal so ein:

Solve( hier die Gleichung schreiben , Auflösen nach )

[nico26plus1 (Gast)]

Setzen wir mal:

C = a1 + a2 + a3 + a4

dann sind:

a1² - C*a1 - Z*C = 0

a2² - C*a2 - Y*C = 0

a3² - C*a3 - V*C = 0

a4² - C*a4 - X*C = 0

Wenn man jetzt die Formel für die Nullstellen einer quatratischen 
Gleichung ansetzt erhält man einen Term, der C innerhalb einer Wurzel 
enthält. Mit Substitution kommt man hier also auch nicht weiter.

Die Frage ist, ob das Ding überhaupt ne Lösung hat. Das alle Gleichungen 
gleichaussehen macht mich irgendwie stutzig...

[Läubi .. (laeubi)]

mist doch gerade verrechnet... calculation in progres...

[Diddel Maus (Gast)]

Stellt euch vor, ihr habt folgende Schaltung:

     A
     |
   |---|
 R1█   █ R3
   █   █
   |   |
D--|   |-- B
   |   |
 R2█   █R4
   █   █
   |---|
     |
     C

Ihr wollt durch Widerstandsmessungen im unveränderten Netzwerk die 
einzelnen Widerstandswerte ermitteln...
Also durch Messung zwischen A-B  B-C  C-D  D-A  vielleicht auch A-C 
/ D-B.   (---█████--- ist also ein Widerstand...  stimmt - nicht 
sonderlich hübsch...)

Dadurch ergeben sich obige Formeln...

    a3(a1+a2+a4)
V = ------------
    a1+a2+a3+a4

...

Bei der Lösung bin ich noch nicht weitergekommen. Vielleicht hilft aber 
diese Hintergrundinformation, wieso einen Lösung überhaupt gesucht 
ist....

Bevor jemand jetzt sagt: JAG NEH SPANNUNG DURCH UND MESS DIE 
DIAGONALSPANNUNG... (Wheatstone...) - nee - das funktioniert so leider 
nicht... Von daher: gehts auch durch die Widerstandsmessungen (4x bzw. 
6x)?

Nochmals danke - an alle die sich schon an dieser Diskussion beteiligt 
haben und noch werden...

[Theo (Gast)]

Hab die Geleichungen mal in das freie CAS - "Maxima" eingegeben,
und das teil rechnet sich blöd, zumindest wenn man die Formel umstellen 
will.

solve( [V = a3*(a1+a2+a4)/(a1+a2+a3+a4), X = 
a4*(a1+a2+a3)/(a1+a2+a3+a4),Y=a2*(a1+a3+a4)/(a1+a2+a3+a4), Z = 
a1*(a2+a3+a4)/(a1+a2+a3+a4)], [a1,a2,a3,a4] );

Es gibt auch nur eine triviale Lösung mit linsolve():

linsolve( [V = a3*(a1+a2+a4)/(a1+a2+a3+a4), X = 
a4*(a1+a2+a3)/(a1+a2+a3+a4), Y = a2*(a1+a3+a4)/(a1+a2+a3+a4),Z = 
a1*(a2+a3+a4)/(a1+a2+a3+a4)], [a1,a2,a3,a4]);

ergibt:

[a1 = 0 , a2 = 0 , a3 = 0 , a4 = 0]

Maxima ist etwa genauso stark wie Maple, beide sind in Lisp geschrieben.
Weiterhin galt Maxima (ehemals kommerzielle Version = Macsyma) bis mitte 
der 90er Jahre unter Forschern als das non plus ultra unter den CAS.

Der o.g. Substitutionsansatz ist daher das Mittel der Wahl und somit iss 
"Taste drücken" nich' immer der Weisheit letzter Schluss!

Theo

[Sebastian (Gast)]

Hab das mal als Übung fürs Abi angesehn und mich rangestzt:

Man stellt zuerst mal die Gleichungen so um, dass alle Gleichungen 
lauten:

a1+a2+a3+a4 = ...

Dann kann man sie gleichsetzten.

Setzt man die erste mit der zweiten gleich und die erste mit der 
dritten, dann bekommt man 2 gleichungen die a3=... lauten. Die 
gleichsetzten bringt dann

      Ya4-Xa2
a1= ----------
       X-Y


Könnt natürlich sein, dass ich noch Rechenfehler drin hab, hab aber erst 
mal keinen gesehen.
Wer will darf weiterrechnen. Mit a2, a3 und a4 geht das ja genauso. Mir 
isses jetzt erst mal genug. Aber so kommt man sicher auf ne lösung. Auch 
ohne zwischendurch absolute Mördergleichungen zu haben.

Sebastian

[Martin Schneider (Gast)]

Dummer Gedanke:

geht das real leichter, wenn man statt Widerständen Leitwerte zum 
Rechnen benutzt?

Also quasi die Substitution A1 = 1/a1??

Ahoi, Martin

[Pftsch (Gast)]

@Sebastian

Das bringt uns aber leider nicht weiter.
Wunschvorstellung ist:

a1 = f1( X, Y, Z, V )
a2 = f2( X, Y, Z, V )
a3 = f3( X, Y, Z, V )
a4 = f4( X, Y, Z, V )

wobei f* eine Funktion bezeichnet.

[Sebastian (Gast)]

@Pftsch

Man muss dann nur weiter rechnen. Wenn du genau hinschaust hab ich 
nämlich schon eine Variable wegbekommen, also a1 durch 2 statt durch 3 
andere Variablen ausgedrückt. Macht man das jetzt mit a2, a3 und a4 
genaso, dann bekommt man sogar ein überbestimmtes lineares 
Gleichungssystem. Das zu lösen sollte dann echt kein Problem mehr sein.
Ich hab dann bloß aufgehört zu rechnen, weils mir zu blöd war den 
gleichen Weg noch drei mal zu gehen. Aber vielleich mach ich nachher 
nochmal weiter.

Sebastian

[Sebastian (Gast)]

Ok, das LGS das entsteht ist nicht unbedingt überbestimmt, aber 
eindeutig leichter zu lösen als das, was in der Angabe steht. Eine 
Gleichung wäre z.B.
Za2 - Ya1 - (Y-Z) a3 = 0
Hab heut aber keine Zeit mehr mich weiter damit zu beschäftigen. 
Vielleicht morgen

Sebastian

[Pftsch (Gast)]

Sebastian, Du hast Dich leider irgendwo verrechnet.
Nimm z.B. als Probe die folgende gültige Wertekombination:
( a1=1, a2=0, a3=1, a4=0 ), ( V=1/2, X=0, Y=0, Z=1/2 )

Nach Deiner Gleichung ergibt sich dann: 1/2 = 0

Es würde mich im übrigen sehr erstaunen, wenn sich das nichtlineare 
Ausgangsgleichungssystem in ein LGS umformen liesse.

[Sebastian (Gast)]

So, kurz vorm schlafengehen nochmal reingeschaut:

Du hast recht, bei der Gleichung oben hab ich einmal falsch gekürzt. Die 
hier sollte aber stimmen:

Za2 - Ya1 -(Y-Z)a3 = 0

Hab jetzt auf die Schnelle kein fehler gesehen. Bin aber auch schon 
müde...

Gute Nacht,
Sebastian

[Diddel Maus (Gast)]

@all

Vielen Dank für die angeregte Diskussion...
wie ihr seht - gar nicht so trivial...

Aber der Ansatz ist super - wenn ich heute nachmittag noch ein bischen 
Zeit finde, werde ich mich auch noch einmal ransetzen...

[Sebastian (Gast)]

Heut in Physik kam mir wo mein Fehler ist. So geistesblitz mäßig. Also 
die Zweite gleichung stimmt auch nicht, bzw. es wäre ein großer Zufall 
wenn sie stimmen würde.

Sebastian