Hallo, da in einem anderen Thread auch über Mathe diskudiert wird, hier mein Problem: Vier Ultraschall Sender sind im Raum verteilt (Koordinaten, X,Y,Z) bekannt. Sender 1 sendet einen Impuls zur Zeit t=1000ms Sender 2 sendet einen Impuls zur Zeit t=2000ms Sender 3 sendet einen Impuls zur Zeit t=4000ms Sender 4 sendet einen Impuls zur Zeit t=5000ms Sender 1 sendet einen Impuls zur Zeit t=6000ms Ein Empfänger empfängt die Impulse. Zu bestimmen ist die Raumlage des Empfängers. Anmerkungen: Die Sender sind synchronisiert (t0). Der Empänger nicht, d.h. der Empfanger kennt t0 nicht. Einer einfache Laufzeit Messung ist nicht möglich. Ist es möglich, die exakte Position des Empängers zu ermitteln?
Ja daruf haben auch verschiedene funkortungsysteme in der vorsattelitenära basiert(decca, lan ). Die ganze Sache arbeite nachdem Prinzip der Laufzeitdifferenzen. Zur räumlichen Positionsbestimmung beötigst du drei Sender der vierte gewährliestet eine höhere Genauigkeit. Allerdings ist das Ganze recht schwierig und in geschlossenen Räumen realisierbar, da du hier die Echos der Wände ausfiltern mußt und das ist bei ultraschall nicht so einfach.
Wenn die Pause an einer Stelle des Telegramms anders aussieht, als die anderen, kann man zumindest auf die Reihenfolge schliessen. (DCF77 lässt grüssen). Die umgekehrte Variante (stionäre Empfänger, mobiler Sender) wird bei Taucher-Positionssystemen (im Wasser) verwendet.
Anmerkung: Die Entfernung des Empfängers <--> Sender ist kleiner 100m, daher ist sicher, dass der erste empfangene Impuls von Sender 1 stamt, der zweite von Sender 2, usw.
vielleicht hilft der Wikipedia-Link weiter: http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelnavigation Bei GPS ist, meine ich, auch der vierte Satellit für die Zeitreferenz nötig, nur für eine zweidimensionale Standortbestimmung auf der Erdoberfläche reichen drei
Die Position der Sender kennst du hoffentlich genau.
Dann hast du
sqrt(( x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2 ) = ( t1 - t0 ) * v
sqrt(( x - x2)^2 + (y - y2)^2 + (z - z2)^2 ) = ( t2 - t0 - 1000 ) * v
sqrt(( x - x3)^2 + (y - y3)^2 + (z - z3)^2 ) = ( t3 - t0 - 3000 ) * v
sqrt(( x - x4)^2 + (y - y4)^2 + (z - z4)^2 ) = ( t4 - t0 - 4000 ) * v
x1/y1/z1 Position des 1. Senders
x2/y2/z2 Position des 2. Senders
x3/y3/z3 Position des 3. Senders
t1 Zeitpunkt des Empfangs am 1. Sender
t2 Zeitpunkt des Empfangs am 2. Sender
t3 Zeitpunkt des Empfangs am 3. Sender
t4 Zeitpunkt des Empfangs am 4. Sender
v Schallgeschwindigkeit
Unbekannte: x, y, z Position des Empfängers
t0 Zeitpunkt an dem die Sender einen
Durchgang starten
Alles in allem: 4 Gleichungen in 4 Unbekannten.
Bin jetzt wieder nach langer Zeit an dem Projekt.
@ kbucheg
Danke für Deinen Beitrag. Soweit war ich schon einmal.
>Alles in allem: 4 Gleichungen in 4 Unbekannten.
t0 = t1 - sqrt( (X-X1)² + (Y-Y1)² + (Z-Z1)² ) / v
X = sqrt( (t2-t0-1000)²*v² - (Y-Y2)² - (Z-Z2)² ) + X2
Y = sqrt( (t3-t0-3000)²*v² - (X-X3)² - (Z-Z3)² ) + Y3
Z = sqrt( (t4-t0-4000)²*v² - (X-X4)² - (Z-Z4)² ) + Z4
Nur leider ist es kein lineares Gleichungssystem, daher ist die Lösung
nicht ganz so einfach - oder ich bin einfach zu blöde.
Weiß jemand weiter?
Die Gleichung für Z war naturlich falsch (Past-Copy Fehler). Richtig sind die folgenden: t0 = t1 - sqrt( (X-X1)² + (Y-Y1)² + (Z-Z1)² ) / v X = sqrt( (t2-t0-1000)²*v² - (Y-Y2)² - (Z-Z2)² ) + X2 Y = sqrt( (t3-t0-3000)²*v² - (X-X3)² - (Z-Z3)² ) + Y3 Z = sqrt( (t4-t0-4000)²*v² - (X-X4)² - (Y-Y4)² ) + Z4
> Weiß jemand weiter?
Schnapp dir ein Derive oder Maple
und lass dieses das System lösen.
Aber ich würde mal damit anfangen in den
einzelnen Gleichungen die Wurzel aufzulösen
und danach die Quadrate. Das gibt dann für
jede Gleichung eine riesen Wurscht, in der
x, y, z mit maximal einem Quadrat vorkommt.
Soweit, so gut.
Danach eine Gleichung nach t0 umstellen und
damit aus den anderen 3 Gleichungen das t0
eliminieren.
Dann jede einzelne der 3 Gleichung nach x bzw. y
bzw. z auflösen. Durch einsetzen der Lösung
für y bzw z in die erste Gleichung musste
eiegntlich eine Gleichung entstehen, in der
nur noch x als Unbekannte vorkommt.
Selbiges für z in der 2. Gleichung.
Damit hast du dann 3 Gleichungen, die dir
die Lösungen für x, y, z geben.
Wie gesagt: Das gibt elends lange Gleichungen, bei denen
man händisch einen Haufen Fehler einbauen kann. Lass
das Derive oder Maple oder was du sonst für symbolisches
Rechnen hast, machen.
Karl heinz Buchegger wrote: >> Weiß jemand weiter? > > Schnapp dir ein Derive oder Maple > und lass dieses das System lösen. > > Aber ich würde mal damit anfangen in den > einzelnen Gleichungen die Wurzel aufzulösen > und danach die Quadrate. Gemeint sind die ursprünglichen Gleichungen. Nicht deine Bearbeitung.
Thread beobachten
Seitenaufteilung abschaltenBitte melde dich an um einen Beitrag zu schreiben. Anmeldung ist kostenlos und dauert nur eine Minute.
Bestehender Account
Schon ein Account bei Google/GoogleMail? Keine Anmeldung erforderlich!
Mit Google-Account einloggen
Mit Google-Account einloggen
Noch kein Account? Hier anmelden.