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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Signal mit Sprungstellen rekonstruieren


Autor: Gabi (Gast)
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Weshalb ist es eigentlich prinzipiell nicht möglich Signale mit 
Sprungstellen, also z.B. Rechtecksignale, wieder exakt digital zu 
rekonstruieren?

Wäre schön wenn mir jemand bei der Antwort-Suche helfen könnte.

Gruß Gabi

Autor: zotti (Gast)
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Gabi,
Ich gehe davon aus, Du redest vom der Wiedergabe gesampelter Signale. 
Ein Rechteck hat drei wesentliche Parameter, Ein- und Ausschaltzeitpunkt 
und die Amplitude. Der Ein- und Ausschaltzeitpunkt wird zeitmaessig auf 
den jeweils naechsten Samplezeitpunkt gerundet, und hat dabei eine 
Unsicherheit von statistisch je einem halben Sampleintervall.

Z

Autor: Gabi (Gast)
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Danke zotti,

aber ich dachte eher an eine "einfachere Antwort" :-) eher 
Anfänger-Mäßig ...weil wir z.B. das mit den Sampleintervallen noch gar 
nicht behandelt haben.

Meine Frage ist mir gerade während des Lernens eingefallen.

Ich dachte dass es daran liegt dass Rechtecksignal eine unendliche 
Steilheit besitzen, so dass das Signal im Zeitbereich unendlich lang 
ist.
Oder so ähnlich.

Autor: Andreas Schwarz (andreas) (Admin) Benutzerseite Flattr this
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Ein Sprung hat ein unendlich breites Freqenzspektrum, zur perfekten 
Rekonstruktion bräuchte man also eine unendlich hohe Abtastrate.

Autor: Mia (Gast)
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Wie würde ein Sprung im Frequenzbereich aussehen - der wäre doch dann 
unendlich lang und damit auch nicht mehr rekonstruierbar.
*Ist das richtig????*

Autor: holzi (Gast)
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@Mia,
ja. Steil transformiert zu breit und umgekehrt. Ein Gauss (exp(-x^2)) 
transformiert in sich selbst. Wobei Rekonstruktion wenig mit 
Fouriertransformation zu tun hat. Rekonstruktion heisst man hat diskrete 
Stuetzwerte, die werden zeitlich mit einem Tiefpass verschliffen. Nein ?

holzi

Autor: Gastl (Gast)
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Wäre nicht die Antwort:

Bei einem Sprung im Zeitbereich wäre das Frequenzband unendlich breit - 
man bräuchte um perfekt zu rekonstruieren eine unendlich hohe 
Abtastrate.

Bei einem Sprung im Frequenzbereich wäre das Signal im Zeitbereich 
unendlich -
was bedeutet ...??? ...das es nicht rekonstruierbar ist???

Autor: holzi (Gast)
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Doch rekonstruiebar ist es, eine Frage der Geduld. Wenn man nur einen 
Fuss von 1mHz zulaesst, zB aus einem Dirac (eine unendliche lange 
Schwingung einer einzelnen Frequenz) einen Lorentz mit 1mHz Breite 
macht, zerfaellt die Schwingung nach 1 Viertelstunde.

h.

Autor: Andreas Schwarz (andreas) (Admin) Benutzerseite Flattr this
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> zerfaellt die Schwingung nach 1 Viertelstunde.
  ^^^^^^^^^
Was soll denn das heißen?

Grundsätzlich gilt: Zeitbegrenzung und spektrale Begrenzung schließen 
sich gegenseitig aus. Wenn man ein Signal zeitbegrenzt, dann ist das 
Spektrum unendlich breit; wenn man ein in der Breite begrenztes Spektrum 
hat, dann ist das Signal im Zeitbereich unendlich lang.

Autor: holzi (Gast)
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@Andeas,
Um deine Ansicht zu wiederlegen:
Ein Gauss, dh g(t):=exp(-alpha*t^2) fourier-transformiert wieder zu 
einem Gauss h(f):=exp(-beta*f^2), wobei alpha und beta Konstanten sind. 
Der Gauss ist begrenzt in der Laenge, und eine Eigenfunktion der 
Fouriertransformation.

Die obig beschriebene zerfallende Schwingung ist ein Exp(-alpha*t), eine 
Saite, die ausklingt. Deren Fouriertransformierte ist ein Lorentz, 
schaut wie ein Dreieck aus im Frequenzbereich. Die Frequenzbreite 
entspricht der Ausklingzeit.

Die Aussage sollte eher sein : Unendliche Schwingungen haben ein Linien 
spektrum, begrenzte Schwingungen haben kontinuierliche Spektren.

holzi

Autor: Andreas Schwarz (andreas) (Admin) Benutzerseite Flattr this
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Das stimmt nicht. Ein Gauß ist nicht zeitbegrenzt. Auch gibt es bei 
einer exponentiell abklingenden Schwingung keine Ausklingzeit; sie geht 
immer weiter gegen 0, erreicht aber nie 0.

Periodische Signale haben ein Linienspektrum, aus Linien (Diracs) 
zusammengesetzte Signale ein periodisches Spektrum.

Autor: holzi (Gast)
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Andreas, das ist mathematisch richtig. Wir sind eher von der 
ungeduldigen Sorte und moegen nicht unendlich auf immer weniger warten. 
Wenn der Gitarillo ausklingen laesst ist der Ton mal fertig, versinkt im 
Rauschen. Die landlaeufige Meinung ist dass die Ausklingzeit bei 1/e 
fuer die Amplitude, oder bei full-width-half-maximum fuer die Energie 
ist.

h.

Autor: Andreas Schwarz (andreas) (Admin) Benutzerseite Flattr this
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Hier ging es ja um die Theorie, sonst hätte die Ausgangsfrage gar keinen 
Sinn gemacht - Sprungstellen gibt es in realen Signalen genausowenig wie 
unendliche Zeitausdehnung.

Autor: holzi (Gast)
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Das ist eine Frage der Betrachtungsweise und was man erwartet. Signale, 
die 1000 mal schneller sind als die Betrachteten, sind auch schon fast 
senkrecht.
Da war der 600kHz Schaltregler, der hatte einen Umschaltspike von 
einiges unter 1ns. Bekannte glaubten, sie muessten die 600kHz filtern. 
Nein, die Stoerpulse hatten Frequenzen oberhalb 600Mhz. Oder die 
Laserpulse mit 0.1ps Laenge und einer Wiederholrate von 10ns, deren 
Spektrum ist ein Gartenhag von 100MHz alle 100MHz bis zum Ende der 
Spektrumanalyzerbandbreite, bei nahezu gleichbleibender Amplitude. Wie's 
im Buche steht.

h.

Autor: Jürgen Schuhmacher (engineer) Benutzerseite
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"Gartenhag"?

Autor: holzi (Gast)
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Gartenhag = alle 100MHz eine Linie : I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_
So'n Ding transformiert auch in sich selbst.

h

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