Hallo, ich muss euch um Rat fragen. Wie folgere ich aus der absoluten Integrierbarkeit eines Zeitsignals x(t), dass ... lim f->+-unendlich von X(f) = 0 ist? Anschaulich verstehe ich den Satz. Aus der absoluten Integrierbarkeit kann man folgern, dass x(t)selber eine Schranke M hat UND dass x(t) für t->+-unendlich gegen 0 geht. Damit sollen zur Rekonstruktion von x(t) aus X(f) keine +- unendliche Frequenzen nötig sein. Für eine Erklärung in Worten oder in Formeln(auf links) wäre ich euch sehr dankbar. Grüsse, Daniel
Nun, falls das Signal gegen Unendlich noch da ist, ist das Integral nicht definiert, dh es laeuft weg. Es gibt zwar alternierende Folgen, die können noch alternieren, liefern aber keinen Beitrag mehr. rene
es sind wirklich nur Energiesignale gemeint sin(x) absolut integiert läuft ins Unendliche, weil eben die negative Halbwellen durch Betrag hochgezogen werden. Ich denke man kann vielleicht anders argumentieren (leider nicht mehr so anschaulich) über den Satz von Parserval Ex = <x(t),x(t)> = <X(f),X(f)> Ex ist bei Signalen mit lim t->-+t x(t) = 0 beschränkt. So muss auch X(f) ... Jemand? Eine Lücke im Beweis? Grüsse, Daniel
>Wie folgere ich aus der absoluten Integrierbarkeit >eines Zeitsignals x(t), dass ... >lim f->+-unendlich von X(f) = 0 ist? gar nicht. Weil falsch. Nimm folgende Funktion, die ueberall identisch 0 ist, bis auf folgende Intervalle, in denen sie identisch 1 ist: 1..2 2..2.5 3..3.25 4..4.125 5..5.0625 usw., das gleiche bei Bedarf nach f<0 gespiegelt. Das Integral ist 2*(1+1/2+1/4+1/8+...)=4. Der lim f->inf X(f) existiert nicht. Ich denke, du kannst sehr leicht zeigen, dass der lim=0, FALLS er existiert.
oh, ich habe uebersehen, dass du einerseits x(t) und andererseits X(f) betrachtest. Meine Begruendung ist daher nicht anwendbar.
Aber die inverse FT meiner beschriebenen Funktion X(f) ist absolut integrierbar, so dass deine Behauptung dennoch widerlegt ist.
Gast, deine Funktion ist aber kein Energiesignal, wie Daniel es sich vorstellt. Von daher bezweifele ich, daß dein "Beweis" praktikabel ist.
ein Diracimpuls ist absolut integrierbar seine Fouriertransformierte ist 1 für alle Frequenzen. Damit scheint die ursprungliche Behauptung wiederlegt zu sein ..(?) Jetzt muss ich die Stelle mit dieser Behauptung im Buch suchen.
Ein Diracimpuls ist keine Funktion. Du scheinst nicht recht zu wissen, worum es in der Behauptung geht. Aber wie du schreibst, musst du die Behauptung ja auch erst suchen. Nur was interessiert dich die Erklärung einer Behauptung, die du nicht kennst? Ausserdem bin ich ziemlich neugierig, was ein "Energiesignal" ist.
Recht hast du, Dirac ist keine Funktion ..
sondern eine Distribution, was mir so gut wie gar nicht weiterhilft.
Man trifft in gängigen Bücher 2 Definitionen
1) d(t) = inf für t=0, 0 sonst
2)Definition durch seine Wirkung (ist mir am einleuchtendsten)
x(t0) = integral(-inf,+inf) { x(t)*d(t-t0)*dt }
ist x(t) = 1, also speziell auch an x(t0=0) = 1
dann ist Integral über unverschobenem Dirac 1
das passt zur üblichen Darstellung eines Rechteckimpulses
mit der Fläche 1.
Wenn man sich 2) vor Augen führt, so
ergeben sich eigentlich viele mögliche Funktionen
die dieselbe Wirkung haben.
Normalerweise findet man in Korespondenztabelle
d(t-t0) o-> exp(-2pi*f*t0)
speziell für t0 = 0
d(t) o-> 1
wenn ich irgendwo einen Dirac als Funktion brauch,
schreib ich es in der Form der Rücktransformierten
(ich transformiere exp(-2pi*f*t0) zurück)
danach kann man hoffentlich durch integralvertauschung
etwas sinnvolles zusammenfassen und erreichen.
an einer anderen Stelle im Buch
findet sich aber auch
lim F->inf { sin(2pi*F*t)/(pi*t) } = d(t)
ich denke mir also, man kann anstatt die Rücktransformierte
zu nehmen, auch diesen Ausdruck benutzen.
Wie gesagt, Definition von Dirac durch seine Wirkung
lässt solche Spielchen zu, macht aber die Menge
der bei Bedarf einzusetzenden Ausdrücke unüberschaubar.
Zum Energiesignal.
Das sind alle Signale x(t) für die
int(-inf,inf) {x(t)x*(t)) dt} existiert
x*(t) heisst, x(t) conjugiert komplex
im reellen heisst es halt, man integiert über x Quadrat.
Der Sinn dahinter ist nur der, dass man negative x(t)
Beiträge auch aufsummiert.
Deswegen ersetzt man x^2 oft durch |x|
Energie Ex ist interal über |x| bzw wurzel aus integral über x^2
(integrale gehen von -inf bis +inv)
>Recht hast du, Dirac ist keine Funktion .. >sondern eine Distribution, was mir so gut wie gar nicht weiterhilft. So what? Dann vergiss die Distributionen doch einfach, solange du gar nicht weisst, was du damit anstellen willst und erklaere nicht noch in etlichen Zeilen falsches Zeug. >Man trifft in gängigen Bücher 2 Definitionen >1) d(t) = inf für t=0, 0 sonst Das ist bestimmt keine Definition. >2)Definition durch seine Wirkung (ist mir am einleuchtendsten) >x(t0) = integral(-inf,+inf) { x(t)*d(t-t0)*dt } Ja, wenn du noch definierst was x(t)*d(t-t0) und das Integral bedeuten, wenn d keine Funktion ist, und ausserdem definierst, dass das integral(x,y){...}=0 falls nicht x<0<y, dann haettest du d definiert. >[...menge quatsch...] >Wenn man sich 2) vor Augen führt, so >ergeben sich eigentlich viele mögliche *Funktionen* >die dieselbe Wirkung haben. 2) ist ja auch keine Definition der Diracdistribution >[...fortsetzung...] >ich denke mir also, man kann anstatt die Rücktransformierte >zu nehmen, auch diesen Ausdruck benutzen. Warum betrachtest du die Fouriertransformierte? Nimm doch die Laplacetransformierte, das macht es noch etwas komplizierter und lenkt noch besser vom eigentlichen Problem ab. >Zum Energiesignal. >Das sind alle Signale x(t) für die >int(-inf,inf) {x(t)x*(t)) dt} existiert > >x*(t) heisst, x(t) conjugiert komplex aha. Eine hervorragend anschaulicher Begriff fuer absolut integrierbar. So, und was war nun dein Problem? Moechtest du deine falsche Behauptung bewiesen haben oder lieber eine Herleitung, dass die Diracdistribution doch eine Funktion oder ganz viele Funktionen oder eine Ruecktransformierte ist?
ich lern das Zeuch, es sei mir erlaubt mich zu irren, nicht?
es gibt eine Menge Integrale, die man nicht in einer
geschlossenen Form angeben kann. Zb Integral über sin(x)/x.
Ich kenne keinen Fachbegriff wie man diese Ausdrücke
bezeichnet (integral in der offenen Form :) ), ich nenne's
mal einfach ein Ausdruck. Deswegen ist meine momentane
Vorstellung von einem Dirac eben die eines Ausdrucks.
t * lim x->0 sin(x)/x
== t * 1
== t/pi * lim A ->inf int(-A,A){sin(x)/x}
die vorkommende Ausdrucke sehen anders aus, reduzieren
sich aber in allen Fällen auf dasselbe
Das ist meine (unvollkommene) Art im Moment des
Lernens mir einen Dirac vorzustellen. Ich habe
nirgends behauptet Euch die Wahrheit über Dirac
zu erzählen (dann wäre ich wohl gar nicht da :) )
Ich würde mich mehr auf Deine (richtige?) Vorstellung
des Diracimpulses freuen, aus dem obigen kann man
ausser Aussagen "deins ist falsch" nichts entnehmen.
Grüsse, Daniel
ps:
ich suche die betreffende Behauptung später(heute/morgen) auf
>Ich würde mich mehr auf Deine (richtige?) Vorstellung >des Diracimpulses freuen, aus dem obigen kann man >ausser Aussagen "deins ist falsch" nichts entnehmen. Mehr kann man dazu auch nicht sagen, wenn du mit falschen Behauptungen um dich wirfst. Ich stelle mir Distributionen nicht vor, sondern halte mich an deren Definition. Davon scheinst du ja einige zu haben, aber nicht richtig zu lesen, oder deine Buecher gehoeren verboten. Mir erschliesst sich noch immer nicht, warum du jetzt unbedingt Distributionentheorie verstehen willst. Sicher, das ist ein wichtiges Thema, aber in der Behauptung, um die es dir nicht ging, war von Signalen, nicht von Distributionen die Rede. Grüsse, Gast
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