Pole und Nullstellen bei der Laplace-Transformierung

[mr.chip (Gast)]

Hallo

Immer wieder liest man im Zusammenhang mit der Laplace-Transformierung 
und Differentialgleichungen, dass Pole und Nullstellen im Bildbereich 
die Funktion entscheidend charakterisieren. Aber was genau sie 
bedeuten, darüber schweigen sowohl meine Bücher/Skripts als auch bislang 
die Professoren. Könnte mir das mal jemand verraten? :-)

Gruss

Michael

[nop(); (Gast)]

Sind ein paar Tests ausserhalb des Interesses ? Mit einem Mathtool 
sollte das doch eine Sache von Minuten sein.

[Matthias (Gast)]

Ja, ganz einfach:
n: Anzahl Nullstellen
m: Anzahl Polstellen


n=m: System ist sprungfähig, ein eingangssprung hat bei t=0 einen Sprung 
am Ausgang zur Folge.

n>m: nicht kausal, System kann in die zukunft schauen, deshalb werden 
meist realisierungspole ergänzt.

n<m: meisten techn Systeme, integrales verhalten, ein sprung am eingang 
bewirkt keinen sprung am ausgang.

Das galt alles bei t=0

Für t gegen unendlich gilt:
n>m: Ausgangssignal wird null
n=m: Ausgangssignal nimmt einen "normalen" von null verschiedenen wert 
an
n<m: AUsgangswert geht gegen unendlich (integrierendes verhalten)

SOlche betrachtungen sind für regelkreisanalysen sehr wichtg...

Reicht das?
Oder frage bitte etwas kontreter

[mr.chip (Gast)]

> Reicht das?
> Oder frage bitte etwas kontreter

Danke schon vielmal für die Antwort! Ich habe die Laplace-Transformation 
bisher für zwei Dinge verwendet: Transformieren einer 
Differentialgleichung, so dass man eine algebraische Gleichung bekommt 
sowie im Zusammenhang mit Übertragungsfunktionen bei (elektrischen) 
Zweitoren. Soweit ich es überblicke, ist das nicht ganz dasselbe? (Dein 
Posting betrifft der zweite Fall, Übertragungsfunktionen?) Ähm...naja, 
korrigiert mich, falls ich falsch liege :-)

[Andrew (Gast)]

Na ja,eigentlich ist das schon dasselbe. Ein (physikalisches / 
technisches) System hat ein bestimmtes Verhalten (im Zeitbereich), das 
man mit DGLen modellieren kann. Transformiert man diese DGLn in den 
Frequenzbereich, bekommt man die Übertragungsfunktion. Man macht aus 
DGLn algebraische Gleichungen.

[Matthias (Gast)]

Ja, Andrew hat recht. Du hast irgendein technisches System, zB ein 
Vierpol, ein Regelkreis, eine Strecke des Regelkreises, was auch immer..
Das lässt sich durch DGL'n beschreiben. Und die Laplace transformation 
ist ja nur eine Art Rechenvorschrift zum (relativ) einfachen Lösen von 
solchen DGL'n mit Tabellen.
Und du kannst aus der Übertragungsfunktion G(s) sehr gut erkennen, was 
mit einzelnen Frequenzen passiert (Amplitude, Phase)

Beispiel:
0.5sek * i_out'(t) + i_out(t) = 5sek * 5,4A/V * u_in'(t) + 5,4A/V * 
u_in(t)
=>
            Ampere      5 s + 1
G(s) = 5,4 -------- * --------------
            Volt        0.5 s + 1

Was sagt uns das??
Statische Übertragungsverhalten: 5,4Ampere Ausgangsstrom je 1Volt 
EIngangsspannung.
Dynanisches Verhalten:
(5s+1)/(0,5s+1) bedeutet: PDT1 Verhalten, weil:

im Zähler 5s+1 : die 1 ist P-Verhalten.
(Denke dran, G(s) = Ausgang / EIngang)
das 5s ist differenzierendes Verhalten, weil s= (sigma)+j*omega
und omega ist die kreisfrequenz.

Betrachtung im Nenner: 0,5s+1 ergibt verzögerung erster Ordnung 
(tiefpass)

[Nils (Gast)]

Hallo Mr. Chip,

das die Laplace-Transormation unter DGLn vom Verhalten der Polstellen 
und Nullstellen im Bildbereich abhängt, folgt aus deren allgemeinen 
Eigenschaften:

Nullstelle:
Transformierte der 1. Ableitung: f'(t) = s x Transformierte(s) - f(0)
Wie Andrew und Matthias schon betonten - die Laplace-Transformation 
überführt analytische Beziehungen in Algebraische.
Die erste Ableitung einer (gewöhnlichen) DGL entspricht einer einfachen 
Multiplikation im Bildbereich.
Zusätzlich gibt es einen Term f(0): Dieser entspricht dem 
Anfangswertproblem (AWP) der zugehörigen DGL.
Z.B.: Bei Schwingungsproblemen entspricht das AWP der DGL f(0) dem 
Einschwingverhalten.
Hier also ganz deutlich: AWP der DGL und Funktion im Bildberich sind 
über eine Konstante (nämlich f(0) us dem AWP) direkt miteinander 
verknüpft.

Polstellen - sie kommen bei höheren Ableitungen ins Spiel:
Transformierte der 2. Ableitung: f''(t) = s x s x Transformierte(s) - s 
x f(0) - s x f'(0)
Siehe z.B. Wellen, bei denen die 2te Ableitungen entscheidend sind.

Zwischen Übertragungunktion und DGL (zeitl. Abhängigkeit) besteht in der 
Tat ein enger Zusammenhang:
Funktionalgleichung, Differentialgleichng und Variationsprinzip sind 
äquivalent.
Beispiel: Schwingung
- Als Lösung der Schwingungs-DGL ergeben sich im reellen 
Fundamentalsytem Sinus- und Cosinus-Schwingungen (DGL)
- Die Additionstheoreme von sin und cos erfüllen die Eigenschaften der 
DGL (Funktionalgleichung)
- Die entsprechenden Fourier- und Laplace-Transformationen sind Lösungen 
der DGL (Integraldarstellung)

Hinsichtlich 'des größeren Zusammenhangs' beachte man die Unterschiede:
- Die Fouriertransformation intergriert mit ihrem Integralkern über 
Unstetigketen hinweg und ist so in der Lage selbst Rechtecke numerisch 
zu beschreiben.
- Die Laplace-Transformation ist nicht so gutmütig: An der einfachen 
Transformation von sin() versus cos() sieht man den Einfluß des 
Integrationsbereichs.

... nun fehlt noch ein Beitrag, der den Begriff 'Faltung' anschaulich 
darstellt.

Gruß
Nils

[mr.chip (Gast)]

Danke schonmal fuer die Antworten! Werde mir die Sache dann mal in einer 
ruhigen Minute mit einem Matheprogramm etwas genauer ansehen.