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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Dirac Kamm Mathenachhilfe


Autor: Sebastian (Gast)
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Hallo Leute,

nach ersten praktischen Erfahrungen mit der digitalen Regelung will ich 
mir jetzt noch das mathematische Background aneignen. Ist alles nicht so 
wild. Allerdings habe ich mit der Dirac-Kamm-Funktion so meine 
Vorstellungsprobleme.

Ich habe die Funktionsgleichung mal als JPG angehängt. Durch überlegen 
und ausprobieren komme ich zu dem Schluß das die Funktion (Distribution) 
nichts mit dem Bild eines Dirac-Kamms zu tun hat (siehe Anhang nächster 
Beitrag).

Allerdings werden in "allen" Büchern das (Dirac-Kamm)-Bild und die 
Funktion zusammengehörig genannt. Aber wie gesagt ich kann von der 
Funktion nicht auf das Bild schließen.

Vielleicht könnt Ihr mir ja mal meinen Knoten im Hirn lösen.

Danke schon mal,
Sebastian

Autor: Sebastian (Gast)
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So hier jetzt noch das Bild des Dirac-Kamms

Autor: Bonzo (Gast)
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Das n ist ganzzahlig. Bei der Gleichung werden einzelne diracs, 
verschoben und addiert. Ein Delta(t-tau) is ein dirac an der Stelle tau.

Autor: Sebastian (Gast)
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Ok. n ist ganzzahlig, hatte noch ich verstanden.

>>Bei der Gleichung werden einzelne diracs, verschoben und addiert.

Wegen dem Addieren, bekomme ich wohl auch immer eine Gerade !?

Ein Dirac-Kamm-Bild läßt sich demnach nicht darstellen mittels z.B. 
MathCad, oder doch???

Autor: Bronzo (Gast)
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Wir hatten vorhin schon, dass ein dirac(t-tau) ein dirac an der Stelle 
tau ist. Nun ist der Gartenhag gleich : Summe von n gleich minus 
unendlich bis plus unendlich (n ganzzahlig) von einzelnen diracs an den 
Orten nT, T ist eine Konstante. Somit bekommen wir den Gartenhag. Ich 
weiss nicht, ob Mathcad das kann. Das sind Spezialfaelle. Fuer 
Mathematiker und Physiker, zun Austoben. Dort lernt man auch dieses Ding 
zu Fouriertransformieren. Es ist wieder sich selbst. Dh der Gartenhag 
waere eine moegliche Eigenfunktion der fouriertransformation, wenn's 
denn eine Funtion waere. Ist es aber nicht. Es ist eine Distribution.

Autor: Andrew (Gast)
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>Durch überlegen und ausprobieren komme ich zu dem Schluß das die Funktion 
>(Distribution) nichts mit dem Bild eines Dirac-Kamms zu tun hat

Dann hast Du aber was falsch überlegt bzw. ausprobiert, Dein Bild ist 
nämlich durchaus die graphische Repräsentation Deiner Funktion.

Autor: Nils (Gast)
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Hallo Sebastian,

> komme ich zu dem Schluß das die Funktion (Distribution)
> nichts mit dem Bild eines Dirac-Kamms zu tun hat

Du schreibst richtig, dass die Dirac'sche Deltafunktion nicht wirklich 
eine Funktion ist, sondern eine Distribution.
Das bedeuted, das die Delta-Funktion in einem Integralkern auf eine 
echte Funktion wirkt. Sie 'distribuiert' die Argumente:
f(t) = Integral( f(T) * Delta(t-T) dT)
Der Integrationsbereich ersteckt sich über den gesamten Bereich, die 
Dirac-Funktion liefert nur für Delta(0) einen nenneswerten Beitrag (d.h. 
die Deltafunktion fällt schneller als jede Potenz von e ab -> siehe 
'kompakter Träger').

Bei der Deutung der Deltafunktion als echte Funktion, liefert die 
Deltafunktion für Delta(0) einen Sprung (-> Deutung als idealer Impuls).
Bei der Kammfunktion also: nur bei t = nT liefert die Deltafunktion 
einen Beitrag.
Da die Summe über alle ganzzahligen n läuft, enstehen Sprünge im Abstand 
T.
(Beispiel: n=0 -> Sprung bei t=0; n=1 -> Sprung bei t=T; n=2 -> Sprung 
bei t=2T; ...)

Die Pfeile bei den Sprüngen, im 'Funktionsbild' deuten an, dass die 
Srünge keinen echten Funktionswert darstellen, sondern gegen unendlich 
streben.

Gruß
Nils

Autor: Stefan Salewski (Gast)
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>von Funktion nicht auf das Bild schließen.

Um es nochmals in einfachen Worten zu sagen:
Deine Summe vom ersten Posting geht von Minus Unendlich bis Plus 
Unendlich, dein Bild vom zweiten Posting zeigt aber nur einen kleinen 
Ausschnitt (um n=0). Wenn Du versuchst die ganze Summe grafisch 
darzustellen, dann hast Du unendlich viele Spitzen die unendlich hoch 
sind (wobei jede Spitze den Flächeninhalt eins hat). Sowas kann ein 
Mathe-Programm in der Regel nicht darstellen, aber man kann es sich 
gedanklich vorstellen und dann skizzieren.

Autor: Daniel (Gast)
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nimm dir gedanklich eine nettere Funktion wie
x(t) =
1 0<t<T
0 sonst

mach dir eine neue Funktion draus
x1(t) = x(t-2T)

wenn man sie in ein Koordinatensystem einträgt, sieht man
dass die Bereiche wo beide ungleich Null sind,
sich nicht überlappen.

     |---|     |---|
-----     -----    -----

Grosse Bereiche wo beide Null sind, überlappen sich,
deswegen kann man über sie summieren wie man will ;)

Gruss, Daniel

Autor: Sebastian (Gast)
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Super. Habs endlich kapiert!

x(t) =
1 0<t<T
0 sonst

War der Tip :-). Tja manchmal steht mal halt auf der Leitung.

Autor: Johannes Slotta (johanness)
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Besser:

x(t) =
1/T 0<t<T
0 sonst

Die Deltadistribution ist jetzt der Grenzwert für T->0.
Unterschied ist, dass das Integral drüber nicht verschwindet (wie mit 
deinem Vorschlag) oder in die Unendlichkeit abhaut, sondern immer 1 
bleibt. Das ist zum Integrieren unglaublich wichtig. Einer meiner 
Lieblingsfehler :(

Autor: Sebastian (Gast)
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Hab' nochmal mit MathCad gespielt. Ist eigentlich alles ganz einfach, 
wenn mal der Groschen gefallen ist.

Sebastian

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