Woher kommen Harmonische bei einem Rechtecksignal?

[Daniel R. (daniel_r)]

Guten Tag,

ich beschäftige mich zur Zeit mit FFT, Frequenzspektren usw.
Schaut man sich ein Rechtecksignal(klassisch erzeugt z.B. durch 
periodisches High/Low setzen eines µC Ports) am Spektrumanalyzer an, so 
stellt man fest, dass dieses Signal die Grundschwingung sowie viele 
Harmonische enthält. Jedoch verstehe ich nicht, warum in solch einem 
Signal Harmonische enthalten sind, denn man schaltet ja nur an/aus. Sind 
diese wirklich vorhanden oder ist das ein Problem bzw. Fehler der FFT, 
die die Harmonischen "reininterpretiert"? Wenn die Harmonischen 
tatsächlich existieren, wie entstehen sie? Was schwingt dort?

Ich wäre sehr froh darüber, wenn mir das jemand ausführlich erklären 
würde.
Ich bedanke mich bereits im Voraus.

Gruß

Daniel

[Uhu U. (uhu)]

Die FFT berechnet, was für Sinus/Cosinus-Schwingungen man in welchem 
Verhältnis addieren muß, um die Signalform zu erhalten, die man in die 
FFT hineingibt.

Das bedeutet, daß man mit entsprechend vielen synchronisierten 
harmonischen Oszillatoren und den von der FFT berechneten Faktoren das 
Signal synthetisieren kann.

Randbedingung ist jedoch, daß es sich um ein periodisches Signal 
handelt. Wird die nicht eingehalten - was in der Technik eher die Regel, 
als die Ausnahme ist - erhält man zusätzlich Artefakte, die im 
Eingangssignal nicht enthalten waren.

[Karl H. (kbuchegg)]

http://de.wikipedia.org/wiki/Rechteckschwingung

[Falk B. (falk)]

@ Daniel R. (daniel_r)

>stellt man fest, dass dieses Signal die Grundschwingung sowie viele
>Harmonische enthält. Jedoch verstehe ich nicht, warum in solch einem
>Signal Harmonische enthalten sind, denn man schaltet ja nur an/aus. Sind

Eben, aber verdammt schnell! Wenn du mit deinem uC ein 1 kHz 
Rechtecksignal erzeugst (1ms Periodendauer) und das mit einem 1 kHz 
Sinus vergleichst, was fällt dir auf?
Richtig, die Änderungsgeschwindigkeit des Rechtecks ist WESENTLICH höher 
als die des Sinuses.
Dein Rechteck geht in ca. 10ns von 0 auf 5V, der Sinus braucht dazu 1/4 
der Periodendauer, hier 250us. Schnelle Änderung -> hohe Frequenz.

>diese wirklich vorhanden oder ist das ein Problem bzw. Fehler der FFT,

Sie sind wirklich vorhanden.

>die die Harmonischen "reininterpretiert"? Wenn die Harmonischen
>tatsächlich existieren, wie entstehen sie? Was schwingt dort?

Schwingen tut da gar nix. Man braucht aber schnelle Signalanteile, um 
die "scharfen Ecken" des Rechtecks darzustellen.

>Ich bedanke mich bereits im Voraus.

Vorschusslohrbeeren sind selten gut . . . ;-)

MfG
Falk

[Daniel (Gast)]

Es ist wie Falk sagt. Um schnelle Flanken erzeugen zu können, braucht 
man hohe Frequenzen (die ja auch schnell ansteigen). Wenn du diese hohe 
Frequenzen mit einem Tiefpass wegmachst, so werden mit fallender 
Grenzfrequenz die Flanken immer flacher (langsamer).

[Johannes M. (johnny-m)]

Der gute alte Fourier hat herausgefunden, dass sich jede abschnittsweise 
definierte, stetige periodische Funktion als (u.U. unendliche) Summe 
(gewichteter) Sinus- und Cosinusfunktionen zusammensetzen lässt. Diese 
Summe nennt man Fourier-Reihe. In einem idealen Rechtecksignal (das in 
der Praxis natürlich nicht existiert) sind alle ungeraden Harmonischen 
der Grundschwingung enthalten. Bei einem realen Rechteck ist bedingt 
durch die Anstiegszeit > 0 eben auch das Spektrum begrenzt.

[Daniel R. (daniel_r)]

OK, vielen Dank erst einmal an alle.

Das erscheint logisch mit den steilen Flanken. Ein ganz neuer Denkansatz 
;)

Diverse Artikel wie Wikipedia habe ich selbstverständlich schon mehrmals 
gelesen. Vorher stelle ich keine Frage ;)

Ich werde mal ein wenig herumexperimentieren und mit einem RC die 
Flanken abschwächen. Dann sollten ja die ganz schnellen Frequenzanteile 
weg sein.

Daniel

[Uhu U. (uhu)]

Wenn du einen Tiefpaß nimmst, ja.

[Johannes M. (johnny-m)]

Eigentlich ist der Zusammenhang recht einfach zu begreifen, wenn man 
bedenkt, dass ein Sinus (bzw. Cosinus) die einzige Signalform ist, deren 
Kurven*FORM* von einem linearen (und zeitinvarianten) System nicht 
verändert wird, d.h. es ändern sich höchstens Amplitude und Phase. Und 
ein RC-Glied ist so ein lineares System, das die Amplituden der 
Eingangssignale frequenzabhängig dämpft, wobei aber alle "Sinusse" auch 
sinusförmig bleiben. Und wenn das RC-Glied als Tiefpass geschaltet ist, 
werden eben die höherfrequenten Anteile des Eingangssignals stärker 
gedämpft als die niederfrequenten, so dass bei entsprechender 
Konfiguration praktisch nur noch die Grundschwingung ohne nennenswerte 
Dämpfung rauskommt...

[Daniel R. (daniel_r)]

Okay, ich danke allen vielmals! Auf den Ansatz mit der Flankensteilheit 
wäre ich so schnell nicht gekommen.

Daniel

[Andyman (Gast)]

Hallo zusammen!

ICh hätte mal eine Frage. Ich habe ein Rechtecksignal mit 
Pulspausenverhältnis 1:1, das zwischen 0 und 5V wechselt. Mit Hilfe der 
Fourierreihen für ein Rechtecksignal lassen sich auch wunderbar die 
Frequenzen berechnen (Grundfrequenz, 3-fache, 5-fache, 7fache usw.). Mit 
einem Oszilloskop mache ich jetzt eine FFT um das nachzuprüfen und 
erhalte auch Amplituden der verschiedenen enthaltenen Frequenzen. 2,5V 
Gleichanteil wird noch korrekt angezeigt allerdings habe ich aus der 
Reihe eine Amplitude der Grundwelle mit (2*YDach)/PI = (2*5V)/PI=3,18V 
errechnet. Das wird aber nicht angezeigt sondern knapp 2V. Ich habe 
jetzt auch nachgelesen, dass ein Oszi das anscheinen nach der Formel 
20*lg(Ueff/Uref) berechnet. Wenn nun noch die Amplitude der 3. 
harmonischen rechnerisch 1,06V beträgt, was trage ich dann für die Werte 
ein und wie errechne ich die AMplituden koorekt. Kann mir da bitte 
jemand weiter helfen, da ich schon Tage kaputt gemacht habe das 
herauszufinden.
Ich habe auch mal für die AMplitude derGrundwelle folgenden wert 
errechnet.

20*lg(2,5V/3,18V)=-2,08974dB
U=U0*10^(x dB/ 20dB) --> =2,5V*10^(-2,08974dB/20dB)=1,9654V

Das würde ziemlich genau mit der Oszimessung übereinstimmen.
Ist das richtig oder mache ich hier auch schon Fehler?
Und wenn ja, was setzte ich bei der 3.harmonischen ein?

20*lg(2,5/1,06)=+7,4527dB
das kann ja nicht stimmen...

Bitte helft mir!

Gruß Andy

[Bernd G. (Gast)]

Wie hoch sind denn die Signalfrequenz und die Grenzfrequenz deines 
Oszilloskops?

[Mandrake (Gast)]

Man muss auch noch die Fensterfunktion die eingesetzt wird 
berücksichtigen.
Die bringt einem auch noch Frequenzanteile mit rein oder bedämpft 
diverse Harmonische.

Buchtipp: Fouriertransformation für Fußgänger

Da steht fast alles drin was man wissen muss.

Gruß

Mandrake

[Rüdiger K. (sleipnir)]

Ein periodisches Rechtecksignal der Periodendauer T und einem 
Puls-Pausen-Verhältnis von alpha:1-alpha läßt sich mathematisch wie 
folgt beschreiben:

$$u(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty \sqcap _{\alpha T}(t-kT)$$

bzw. unter Verwendung der Faltung als

$$u(t) = \sqcap_{\alpha T}(t)*\delta_T(t)$$

Aus der letzten Form folgt die Fouriertransformierte

$$U(j\omega) = \alpha\cdot \sum\limits_{k=-\infty}^\infty \delta\left(\omega-k\cdot\frac{2\pi}{T}\right)\cdot si (k\alpha\pi)$$

Dieses Spektrum besteht aus Spektrallinien bei ganzzahligen Vielfachen 
von 1/T, welche mit dem Faktor si (k*alpha*pi) gewichtet sind.

Für ein 1:1 Puls-Pausenverhältnis ist alpha=0.5 und der 
Gewichtungsfaktor somit

$$si\left(k\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\left\{\begin{array}{lcl}0 & : & k=2n\\ \frac{1}{k\pi} &:& k=2n+1\end{array}\right.$$

Alle geradzahligen Wiederholungen werden also ausgelöscht. Sehr 
praktisch für die sog. Pulsamplitudenmodulation....