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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Bildverarbeitung und Abtastung


Autor: Patrick (Gast)
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Hallo zusammen,
ich befasse mich aktuell mit den Geheimnissen des Anti - Aliasing und 
habe leider ein paar Aspekte, die mir einfach nicht in den Kopf wollen. 
Darum habe ich mir ein paar Fragen überlegt, und hoffe, dass ihr mir 
vielleicht helfen könnt

1. Prinzipiell ist mir das Konzept der Fourier - Transformation klar, 
unklar ist mir hierbei, wie ein Bild einer Fourier - Transformation zu 
interpretieren ist. Ich versuche hier immer, den Bezug zum Ausgangsbild 
herzustellen, scheitere aber meistens. Im Prinzip handelt es sich doch 
um eine Darstellung in den Dimensionen u und v => jeder Punkt in der 
Transformation gibt an, wie "häufig" eine räumliche Frequenz mit den 
Parametern u und v im Bild vorkommt. Ist hierbei die Intensität eines 
Punktes eine Funktion dieses Wertes und habe ich das prinzipiell richtig 
verstanden?

2. Ich habe in einem Lehrbuch einen Satz gefunden, bei dem ich mir nicht 
schlüssig bin, woher die Formel stammt. Konkret geht es um die Abtastung 
einer Ansichtsebene mit einem Raster quadratischer Pixel. Hier taucht 
jetzt der Satz auf: "möchte man ein kontinuierliches Bild in der 
Ansichtsebene mit einem Netz quadratischer Pixel abtasten, beträgt die 
höchstmögliche Frequenz entlang einer Abtastzeile: f = 1/2d, wobei d die 
Entfernung zwischen zwei Pixelzentren ist. Woher kommt diese Zahl?

3. Und als letztes geht es um Filter im Kontext des Supersampling. Auch 
hier ist mir das Prinzip eigentlich klar, ich stolpere aber wiederum 
über einen Satz. Es geht darum, dass mit steigender räumlicher 
Filterausdehnung eine Unschärfe entsteht. Hier kommt nun der Satz "ein 
größerer Filter hat eine niedrigere Grenzfrequenz" bzw. ein "kleinerer 
Filter eine höhere Grenzfrequenz". Wieso ist dies der Fall?

Vielen Dank schon mal im Voraus,
Patrick

Autor: Detlef _a (detlef_a)
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>>f = 1/2d, wobei d die Entfernung zwischen zwei Pixelzentren ist. Woher kommt 
>>diese Zahl?

Die kommt von Harry Nyquist und dessen Abtasttheorem. Das ist die 
Version für Bilder.

>> Ist hierbei die Intensität eines Punktes eine Funktion dieses Wertes
Nein, die 'Intensität' eines Punktes ist eine Funktion aller Werte im 
Frequenzbereich. Umgekehrt auch: Die Stärke einer Ortsfrequenz ist 
Funktion aller Punktintensitäten.

>>"ein größerer Filter hat eine niedrigere Grenzfrequenz"

Was ist denn ein 'großer' Filter? Üblich ist auch eher 'das Filter' 
wenns nicht gerade um Kaffeebrühen geht.

Cheers
Detlef

Autor: Patrick (Gast)
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Hi Detlef,
danke schon mal für deine Mühen.


>> Ist hierbei die Intensität eines Punktes eine Funktion dieses Wertes
>>>>Nein, die 'Intensität' eines Punktes ist eine Funktion aller Werte im
>>>>Frequenzbereich. Umgekehrt auch: Die Stärke einer Ortsfrequenz ist
>>>>Funktion aller Punktintensitäten.

hm, jetzt bin ich verwirrt. Die verschiedenen Basisfunktionen im Fourier 
- Raum werden doch über die Parameter u und v spezifiziert, also bei 
steigendem u und v steigt auch die Frequenz. Die Fourier - Darstellung 
zeigt mir doch jetzt im uv - Raum, am Punkt (u,v), wieviel der 
räumlichen Frequenz mit den Parametern u und v im gesamten Bild, also im 
Ortbereich vorkommt, oder nicht?



>>>>"ein größerer Filter hat eine niedrigere Grenzfrequenz"
>>Was ist denn ein 'großer' Filter? Üblich ist auch eher 'das Filter'
>>wenns nicht gerade um Kaffeebrühen geht.
Mit größerer Filter meinte ich ein Filter mit höherer räumlicher 
Filterausdehnung, also einem höheren Bereich, über den gefiltert wird. 
Ich sehe hier einfach nicht den Zusammenhang mit der Grenzfrequenz.

Autor: Detlef _a (detlef_a)
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Patrick wrote:
>steigendem u und v steigt auch die Frequenz. Die Fourier - Darstellung
> zeigt mir doch jetzt im uv - Raum, am Punkt (u,v), wieviel der
> räumlichen Frequenz mit den Parametern u und v im gesamten Bild, also im
> Ortbereich vorkommt, oder nicht?
>

Ja, so ist es. Die Frequnz bei (u,v) macht ne Aussage über das GESAMTE 
Bild. Das betrifft alle Pixel im Ortsbereich, nicht nur ein enziges. Du 
fragtest:

>>'Ist hierbei die Intensität eines Punktes eine Funktion dieses Wertes'
Klar ist sie das, aber sie hängt auch ab von allen anderen u,v Werten ab

>>>>>"ein größerer Filter hat eine niedrigere Grenzfrequenz"
> Mit größerer Filter meinte ich ein Filter mit höherer räumlicher
> Filterausdehnung, also einem höheren Bereich, über den gefiltert wird.
> Ich sehe hier einfach nicht den Zusammenhang mit der Grenzfrequenz.

Meinst Du mit 'Filtergröße' die Filterordnung, also, bei 2d, wie groß 
das Rechteck der Pixel ist, über das Du filterst? Das hat mit der 
Grenzfrequenz erstmal nichts zu tun. Vielleicht heißt Dein 'filtern' 
aber auch, den Mittelwert zu bilden über ein Rechteck. Dann wird die 
Grenzfrequnz kleiner mit zunehmender Filtergröße.

Cheers
Detlef

Autor: Patrick (Gast)
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>>Meinst Du mit 'Filtergröße' die Filterordnung, also, bei 2d, wie groß
>>das Rechteck der Pixel ist, über das Du filterst? Das hat mit der
>>Grenzfrequenz erstmal nichts zu tun. Vielleicht heißt Dein 'filtern'
>>aber auch, den Mittelwert zu bilden über ein Rechteck. Dann wird die
>>Grenzfrequnz kleiner mit zunehmender Filtergröße.

Sorry, genau das meinte ich, ich verwende ja beim Supersampling einen 
gewichteten Mittelwert über alle Pixel des höher aufgelösten Bildes 
(wobei die Art der Gewichtung ja eine Funktion des verwendeten Fensters 
ist). Aber warum sinkt denn dann die Grenzfrequenz mit steigender 
räumlicher Ausdehnung des Filters (und somit natürlich mehr Werten bei 
der Mittelwertbildung)?

>>>>'Ist hierbei die Intensität eines Punktes eine Funktion dieses Wertes'
>>Klar ist sie das, aber sie hängt auch ab von allen anderen u,v Werten ab

Hierbei beziehe ich mich jetzt nur auf einen Punkt im Fourier - Raum, 
also mit den Koordinaten (u,v) => mit Intensität meine ich, wie "hell" 
der Punkt erscheint. Dies sieht man ja, wenn man "künstliche" Bilder 
betrachtet, die meist helle "Streifen" im Fourier - Raum erzeugen. Wieso 
hängt denn dann die Intensität eines solchen Punktes im Fourier - Raum 
auch von allen anderen Werten im Fourier - Raum ab (also allen anderen 
(u,v)?

Autor: Detlef _a (detlef_a)
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>>Aber warum sinkt denn dann die Grenzfrequenz mit steigender räumlicher 
>>Ausdehnung des Filters (und somit natürlich mehr Werten bei der 
>>Mittelwertbildung)?

Für 1d wirds anschaulich: Der höchstfrequente abgetastete Sinus nach 
Nyquist sieht so aus: 1,-1,1,-1..... Da muß Du die Summe über zwei 
Abtastwerte nehmen, um den zu unterdrücken. Der Sinus mit Nyquist/2 
sieht so aus: 1,0,-1,0,1,0,-1,...., da muß Du schon vier Abtastwerte 
aufsummieren, um die Summe zu Null zu machen. Also: Je tiefer Frequenz, 
umso länger summieren, damit die Summe Null wird. Bei 2d ist das nicht 
anders. Extrembetrachtung: Die Summe über alle Pixel des Bildes ist das 
längste 'Filter', da bleibt dann nur der 'Gleichanteil' als mittlerer 
Grauwert übrig, alle höheren Frequenzen fallen raus.

>>Wieso hängt denn dann die Intensität eines solchen Punktes im Fourier - Raum
>>auch von allen anderen Werten im Fourier - Raum ab (also allen anderen
>>(u,v)?

Tut sie ja nicht, habe ich nicht gesagt. Was ich sagen möchte: Alle 
Punkte des Frequenzbereiches hängen von allen Punkten des 
Zeit/Orts-bereichs ab und umgekehrt. Die Punkte des Frequenzbereichs 
sind natürlich unabhängig voneinander genauso, wie die Punkte des 
Zeit/Ortsbereichs.

Cheers
detlef

Autor: Patrick (Gast)
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>>Für 1d wirds anschaulich: Der höchstfrequente abgetastete Sinus nach
>>Nyquist sieht so aus: 1,-1,1,-1..... Da muß Du die Summe über zwei
>>Abtastwerte nehmen, um den zu unterdrücken. Der Sinus mit Nyquist/2
>>sieht so aus: 1,0,-1,0,1,0,-1,...., da muß Du schon vier Abtastwerte
>>aufsummieren, um die Summe zu Null zu machen. Also: Je tiefer Frequenz,
>>umso länger summieren, damit die Summe Null wird. Bei 2d ist das nicht
>>anders. Extrembetrachtung: Die Summe über alle Pixel des Bildes ist das
>>längste 'Filter', da bleibt dann nur der 'Gleichanteil' als mittlerer
>>Grauwert übrig, alle höheren Frequenzen fallen raus.

Sorry, stehe scheinbar etwas auf dem Schlauch. Was meinst du mit 
"höchstfrequente abgetastete Sinus" nach Nyquist?
Heißt das im Prinzip, dass man über die Summation gezielt bestimmte 
Sinus - Wellen unterdrückt, so dass diese im gefilterten Signal nicht 
mehr vorkommen? Wäre dann der Sinus mit Nyquist/2 ein Sinus halber 
Frequenz gegenüber dem ersten betrachteten Sinus? Bekomme ich also durch 
einen "gößeren" Filter mehr Frequenzen in die Betrachtung und entferne 
dadurch mehr Frequenzen, so dass die Grenzfrequenz der gefilterten 
Funktion kleiner wird?

Danke nochmal für deine Mühe, ohne Hilfe würde ich das wohl allein durch 
google nicht auf die Reihe bekommen.

Autor: Detlef _a (detlef_a)
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Patrick wrote:
> Sorry, stehe scheinbar etwas auf dem Schlauch. Was meinst du mit
> "höchstfrequente abgetastete Sinus" nach Nyquist?

Laut Nyquist brauchst Du zwei Abtastwerte pro Sinuswelle. Du erwischst 
die Welle einmal auf dem Scheitel, einmal im Tal: Du erhälst die Folge 
+1,-1,...

> Heißt das im Prinzip, dass man über die Summation gezielt bestimmte
> Sinus - Wellen unterdrückt, so dass diese im gefilterten Signal nicht
> mehr vorkommen?

Summation ist ein einfaches Filter, und zwar ein Tiefpaß, der hohe 
Frequenzen unterdrückt. Trotz der Einfachheit haben die aber hohe 
Bedeutung, z.B. für Implementation digitaler Filter in FPGAs, Stichwort 
ist CIC, http://de.wikipedia.org/wiki/Cascaded-Integrator-Comb_Filter

>Wäre dann der Sinus mit Nyquist/2 ein Sinus halber
> Frequenz gegenüber dem ersten betrachteten Sinus?

Jawohl, vier Abtastwerte/Welle: Scheitel, Nulldurchgang, Tal, 
Nulldurchgang: 1,0,-1,0.......

> Bekomme ich also durch
> einen "gößeren" Filter mehr Frequenzen in die Betrachtung und entferne
> dadurch mehr Frequenzen, so dass die Grenzfrequenz der gefilterten
> Funktion kleiner wird?

Ja. Wenn du hohe Frequnzen entfernen willst, gibt es aber alternative 
'kleine' Filter (niedriger Ordnung), die auch geringe Grenzfrequnzen 
erlauben.

>
> Danke nochmal für deine Mühe,

Bitte.

Cheers
Detlef

Autor: Andreas Schwarz (andreas) (Admin) Benutzerseite Flattr this
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Detlef _a wrote:
> Patrick wrote:
>> Sorry, stehe scheinbar etwas auf dem Schlauch. Was meinst du mit
>> "höchstfrequente abgetastete Sinus" nach Nyquist?
>
> Laut Nyquist brauchst Du zwei Abtastwerte pro Sinuswelle. Du erwischst
> die Welle einmal auf dem Scheitel, einmal im Tal: Du erhälst die Folge
> +1,-1,...

Genauer gesagt > 2 Abtastwerte; sonst kannst du nicht wissen ob es die 
Scheitelwerte sind die du erwischst oder irgend ein Wert zwischen drin. 
Und wenn man sich überlegt wie ein Sinus mit 2.5-facher Frequenz 
abgetastet aussieht wird auch klar dass das mit dem Aufsummieren zu Null 
nicht ganz aufgeht.

@Patrick: ich würde die Bilder erst mal sein lassen und mir Abtastung 
und Filterung bei "klassischen" eindimensionalen Signalen anschauen. 
Darüber gibt es haufenweise Literatur im Internet, z.B. 
http://www.dspguide.com.

Autor: Patrick (Gast)
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Vielen Dank euch beiden (speziell natürlich an Detlef für seine Geduld 
mit mir).

Und noch einen schönen Sonntag,
Patrick

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